人教版数学九年级上册 24.1 .3 弧、弦、圆心角课件（28张PPT）

24.1 圆
第3课时 弧、弦、圆心角
第二十四章 圆
1. 能识别圆心角.
2. 探索并掌握弧、弦、圆心角的关系，了解圆的中心对称性和旋转不变性.
3. 能用弧，弦、圆心角的关系解决圆中的计算题、证明题.
垂径定理及逆定理
如图,在下列五个条件中:
只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
●O
A
B
C
D
M└
① CD是直径,
③ AM=BM,
② CD⊥AB,
⌒
⌒
④ AC = BC,
⌒
⌒
⑤ AD = BD.
回顾旧知
回顾旧知
弦
连接圆上任意两点的线段叫做弦．
O
A
B
C
D
E
F
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．
圆弧（弧）
O
A
B
半圆
圆是
图形
轴对称
___________
O
将⊙O沿任何一条直径所在的直线对折，两部分图形________．
重合
将⊙O 绕圆心 O 顺时针旋转180°，这两个图形________．
圆是
图形
轴对称
中心对称
___________
O
重合
·
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
O
B
A
二、概念
∠AOB为圆心角
判一判：判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
①
②
③
④
圆内角
圆外角
圆周角（后面会学到）
圆心角
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时，显然∠AOB＝∠A′OB′，射线OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，从而点A与A′重合，B与B′重合．
·
O
A
B
探究
·
O
A
B
A′
B′
A′
B′
三、
因此， 重合，AB与A′B′重合．
与
AB
⌒
A′B′
⌒
AB
⌒
A′B′
⌒
=
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角_____， 所对的弦________；
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角______，所对的弧_________．
这样，我们就得到下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
相等
相等
相等
相等
同圆或等圆中，
两个圆心角、两
条弧、两条弦中
有一组量相等，
它们所对应的其
余各组量也相
等．
·
O
A
B
A′
B′
∵∠AOB=∠A｀OB｀
AB
⌒
A′B′,
⌒
=
∴
想一想：
定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不可以，如图.
A
B
O
D
C

×
×
√
抢答题
1.等弦所对的弧相等. （ ）
2.等弧所对的弦相等. （ ）
3.圆心角相等，所对的弦相等. ( ）
4. 如图，AB 是⊙O 的直径，　 BC = CD = DE ，
∠COD=35°，∠AOE = ．
·
A
O
B
C
D
E
75°
1.如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
（1）如果AB=CD，那么___________，_________________．
（2）如果 ，那么____________，______________．
（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，____________．
·
C
A
B
D
E
F
O
AB=CD
AB=CD
练习
AB=CD
⌒
⌒
AB=CD
⌒
⌒
AB=CD
⌒
⌒
要点归纳
在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
①∠AOB=∠COD
②AB=CD
⌒　⌒
③AB=CD
A
B
O
D
C
弧、弦与圆心角关系定理的推论
如果弧相等
那么
弧所对的圆心角相等
弧所对的弦相等
如果弦相等
那么
弦所对应的圆心角相等
弦所对应的优弧相等
弦所对应的劣弧相等
如果圆心角相等
那么
圆心角所对的弧相等
圆心角所对的弦相等
在同圆或等圆中
题设
结论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦中，
有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。
圆心到弦的距离（即圆心到弦的垂线段的距离）．
弦心距
·
O
B
A
┓
C
·
O
B
A
┓
C
在⊙O中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′OB′，将∠AOB旋转一定角度，使OA和OA′重合．
探究
你能发现哪些等量关系?
·
O
A
B
·
O
A
B
A′
B′
A′
B′
根据旋转的性质，∠AOB＝∠A′OB′，OA与OA′重合，OB与OB′重合．
而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，
∴点 A与 A′重合，B与B′重合．
·
O
A
B
A′
B′
∴　 　　重合，AB与A′B′重合
分析
┓
C
┓
C′
再根据△AOB≌△A′O′B′，
OC=OC′
·
O
A
B
A1
·
O1
B1
·
如图，⊙O与⊙O1是等圆，∠AOB =∠A1OB1，请问上述结论还成立吗？为什么?
∵ ∠AOB=∠A1OB1
∴AB=A1B1 ，AB=A1B1 .
⌒
⌒
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．
●O
A
B
┓
C
A′
B′
C′
┏
①∠AOB=∠A′O′B′
②AB=A′B′
⌒　 ⌒
③AB=A′B′
④ OC=OC′
弧、弦、圆心角的关系定理
归纳
O
A
B
B’
A’
C
C’
(1)圆心角；
(2)圆心角所对的弧；
(3)圆心角所对的弦;
(4)圆心角所对弦的弦心距.
其中有一组量相等，
其他三组量也相等
知一得三
同圆或等圆的“四量关系”定理：
证明：
∴AB=AC．
又∠ACB=60°，
∴AB=BC=CA．
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC．
·
A
B
C
O
已知：在⊙O中， ，∠ACB=60°，
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC．
例题
∵AB=AC
⌒　⌒
课堂小结
顶点在圆心的角．
1． 圆心角
圆心到弦的距离（即圆心到弦的垂线段的距离）．
2． 弦心距
·
O
B
A
·
O
B
A
┓
C
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．
3． 弧、弦、圆心角的关系定理
●O
A
B
┓
C
A′
B′
C′
┏
60°或300°
90°
达标检测 反思目标
1.已知圆O的半径为5，弦AB的长为5，则弦AB所对的
圆心角∠AOB＝_______.
2.在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆周的1/4，圆半径等
于12，则圆心角∠AOB＝_____,弦AB的长为______.
40°
达标检测 反思目标
3.如图，在⊙O中， ∠B＝70°，则∠A
等于______.
4.在⊙O中，圆心角∠AOB＝90°，点O到弦AB的
的距离为4.同，则⊙O的直径长为________.
达标检测 反思目标
5.如图，AB是⊙O的直径， 求证：OC∥AD
证明：连接OD，∵ ，∴∠BOC＝∠COD
∴∠BOD＝2∠COD，∵OA=OD，∴∠OAD＝∠ODA
∴∠BOD＝∠OAD+∠ODA＝2∠ODA，
∴∠COD＝∠ODA
∴OC∥AD