第七讲 有理数乘法
【知识要点】
1．有理数乘法法则：
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
（2）任何数同0相乘都得0；
（3）多个有理数相乘：
a：只要有一个因数为0，则积为0。
b：几个不为零的数相乘，积的符号由“-”的个数决定，当“-”的个数为奇数，则积为负，当“-”的个数为偶数，则积为正。
2．乘法运算律：
（1）乘法交换律：两个数相乘交换因数的位置，积不变，即；
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变，即；
（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于这个数分别同两个数相乘，再把积相加，即。
3．一个数同1相乘，等于它本身；一个数同相乘得它的相反数。
【典型例题】
例1 （1） （2）
例2 （1） （2）
（3） (4)
例3 计算
例4 时，求的值
例5 若与互为相反数，求的值．
有理数乘法练习
一．填空题：
1．（1）（－1）×（－5）= （－2）×（－5）= （－3）×（－5）=
（2）（－5）×6= （－5）×7= （－5）×（+8）=
（3）
（4）（－2.6）×（－3.2）= （－4.5）×（－2.5）= －7.6×0.5=
（5）（－1）×（－2）×（-3）= ，（－0.1）×（－0.01）×（－100）=
－37×（－6.89）×0×（－13）=
2．（1）绝对值大于1且小于4的所有整数的积是 ．
（2）绝对值不大于5的所有负整数的积是 ．
（3）若，则 0．
（4）若，则 0， 0．
（5）如果2000个相同因数的积等于每一个因数，那么每一个因数是 ．
（6）如果2000个不同因数的积等于0，那么这2000个因数中，有且只有一个数为 ．
（7）如果2000个因数的积等于0，那么这2000个因数中至少有一个数为 ．
(8)如果10个有理数之积是负数，那么这10个有理数中有 个负数.
二、计算，能简算就简算：
1．（1）； （2） ； （3）；
（4） （5）
（6）；
（7）
三、解答题
1．若，求的值．
2.已知四个数的乘积为9,求这四个数的和.
有理数乘法作业
姓名： 成绩：
一、选择题
1．如果两个有理数在数轴上的对应点在原点的同侧，那么这两个有理数的积（ ）
A、一定为正数 B、一定为负数 C、为零 D、可能为正数，也可能为负数
2．若干个不等于0的有理数相乘，积的符号（ ）
A、由因数的个数决定 B、由正因数个数决定
C、由负因数的个数决定 D、由负因数的大小决定
3．若1000个有理数相乘的积为0，那么（ ）
A、每个因数一定都为0 B、每个因数都不为0
C、至多有一个因数不为0 D、至少有一个因数为0
4．一个数和它的相反数的积是（ ）
A、正数 B、负数 C、一定不小于0 D、一定不大于0
5．下列说法正确的是（ ）
A、同号两数相乘，符号不变 B、异号两数相乘，取绝对值大的乘数的符号
C、两数相乘，如果积为负数，那么这两个因数异号
D、两数相乘，如果积为正数，那么这两个因数都是正数
6．下列条件，能使成立的是（ ）
A、 B、 C、 D、
7．若满足等式成立，则应满足（ ）
A、 B、 C、同号 D、异号
8．若，则一定有（ ）
A、 B、 C、 D、中至少有一个是0
二、判断题
1．如果两个有理数在数轴上的对应点分别在原点的两侧，那么它们的积一定为负数．（ ）
2．两个有理数的和是正数，积是负数，则绝对值大的数是正数，另一个数是负数．（ ）
3．两个有理数的积是负数，则这两个数一定互为相反数． （ ）
4．两个有理数互为相反数，则这两个有理数的积一定为负数 （ ）
三、计算题
1.（―4）×（―1234）×（―25） 2.
3． 4． 5．
6． 7． 8．
9.
10.（0.1）×（－10）×（－0.01）×（－100）×（－0.001）×（+1000）.
思考题`
下列图形中 可以一笔画出．（不重复，也不遗漏，下笔后笔不离开纸）
（3）
（2）
（1）第五讲 有理数的加减（一）
【知识要点】
1．有理数的加法法则：
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
（2）异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值。
（3）任何数与0相加，仍得这个数。
2．加法交换律和结合律
（1）加法交换律：
（2）加法结合律：
3．有理数加法步骤：
（1）两数相加：确定和的符号
求绝对值的和或差（差是绝对值大的数减去绝对值较小的数）
（2）多个有理数相加：先把符号相同的相加
再用两数求和的步骤
4．巧算或简化运算的方法：（1）把符号相同的数结合在一起
（2）把同分母的结合在一起
（3）把凑整的结合一起，尤其把互为相反的数结合在一起！
5．有理数加法与算术加法的区别：
有理数加法不仅要进行绝对值的运算还要判断和的符号。其次，有理数的加法中，加数的符号可正可负，加法的结果也可正可负。因此，有理数加法中，和不小于每一个加数的结论不再成立。
6．有理数加法中“+”号“”号的意义
（1）表示运算符号（加号或减号）
（2）表示性质符号，一般单独的一个数前面的“+”或“”号表示性质符号。如“4”的“”表示负号。
【典型例题】
例1 计算
（1） （2）
（3）（+1）+（－2）+（+3）+（－4）+…+（-10）
（4）
例2 下表为某公司股标在本周内每股涨跌情况：
星期 一 二 三 四 五 ……
每股涨跌 +4.5 －3.20 －0.35 －2.75 +1.15
计算一周内该公司股票是涨是跌，涨跌的值是多少？
例3 若，则 。
例4 用简便算法计算：
（1）
（2）
（3）
例5 互为相反数，且，求下列各式的值。
（1） （2）
例6 讨论的大小关系。
有理数加减法（一）练习
一、判断题
1．两个有理数之和为零，则这两个有理数一定互为相反数． （ ）
2．两个有理数之和为正数，则这两个有理数一定都是正数． （ ）
3．两个有理数之和为负数，则这两个有理数中，至少有一个是负数 （ ）
4．两个有理数之和为零，则这两个有理数的绝对值一定相等． （ ）
5．． （ ）
6． （ ）
7． （ ）
8． （ ）
9． （ ）
10. （ ）
二、计算题
1．（1）； （2）； （3）；
（4）， （5）； （6）；
（7）；
（8）
三、解答题
1．8筐水蜜桃，以每筐25千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重的记录如下：+2，―1，―2，+3，―4，+1，―3，+2．总计超过（或不足）多少千克？8筐水蜜桃的总重量是多少？
2．飞机的飞行高度是2000米，下降500米，又下降400米，这时飞行高度是多少？
思考题：定义表示两个有理数中取较大的一个，表示两个有理数中取较小的一个，则 ．
有理数加减法（一）作业
姓名： 成绩：
一、填空题
1．（1） +； （2）－16+ =－16； （3） +（－16）=16
（4）－16+ =0； （5） +（－16）=6； （6）－16+ =－6
2．为有理数，从中选出一个或几个适当的式子填空，使下列说法正确：
（1）因为 ，所以不都为零．
（2）因为 ，所以至少有一个为正数；
（3）因为都为零，所以 ；
（4）因为都不为零，所以 ；
（5）因为不都为零，所以 ．
二、选择题
1．两个有理数的和的绝对值与它们的绝对值的和相等，则这两个有理数（ ）
A、都是正数 B、都是负数 C、同号 D、同号或至少有一个为零
2．若，则以下式子中，一定成立的是（ ）
A、 B、 C、 D、
3．使成立的是（ ）
A、任意一个数 B、任意一个大于－2000的数 C、任意一个负数 D、任意一个非负数
三、计算题
1． 2．
3． 4．
5.
6.
四、粮食仓库第一天运进大米504包，第二天运出375包，第三天运进大米869包，第四天运出大米902包，第五天运进大米350包，这五天共运进多少包？（规定运进为正）
思考题
1．计算：
2．计算：第十七讲 整 式
【知识要点】
1．单项式：数与字母的乘积的形式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式的数字因数叫单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。
2．多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。
3．整式：单项式和多项式统称整式。
4．为了便于观察和书写整齐性，对多项式可按字母进行升（降）幂排列。
【典型例题】
例1 在下列各式：中，是单项式的有（ ）个
A．4 B．5 C．6 D．7
例2 单项式的系数是 ，次数是 ；单项式是 次单项式。
例3 若，求单项式的系数和次数。
例4 若多项式是一个三次三项式，且最高次项的系数是1，求的值。
例5 关于的多项式
（1）当为何值时，它是二次三项式？（2）若时，求此二次三项式的值。
例6 多项式,按字母的降幂排列是
按字母的降幂排列是
【巩固练习】
一、填空题
1．填表：
单项式
系数
次数
2．多项式是 次 项式，其中最高次项是 ，最高次项的系数是 ，常数项是 ．
3．多项式是 次 项式．其中多项式的项依次为 ．
4．把多项式按的降幂排列为 ．
按的升幂排列为 ．按的降幂排列为 ．
5．补入下列各项式的缺项，并按的降幂排列为：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
6．关于的多项式是二次三项式，则 ， ，当时，该二次三项式的值为 ．
7．如果关于的单项式的系数为，次数为4，则 ， ，当时，该单项式的值为 ．
8．一个两位数，它的十位数字为，个位数字为，则这两位数为 ，若把它的十位数字和个位数字对调，则新的两位数为 ．
9．一批货物吨，第一天售出一半又半吨，第二天售出剩下的一半又半吨，这时还剩
下 吨．
二、选择题
1．下列各式中，（ ）是单项式．
A、 B、 C、 D、
2．下列各式中，（ ）不是整式．
A、 B、 C、 D、
3．下列说法正确的是（ ）
A、分别是多项式的项
B、多项式是二次四项式
C、代数式都是单项式，也都是整式
D、三次多项式是指多项式中的各项均为三次单项式
4．将多项式按照字母升幂排列正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
5．在多项式中，次数最小的单项式是（ ）
A、 B、 C、 D、7
三、解答题
1．如单项式与单项式的次数相同，求的值．
2．若，求单项式的系数和次数．
3．如果关于的二次三项式的最高次项系数为，一次项系数为－5，常数项的绝对值为1，求此二次三项式．
4．已知多项式，分别按字母和作降幂排列．
5．关于的多项式．
（1）当为何值时，它是二次三项式？（2）若时，求此二次三项式的值．
6．试写出3个三次单项式．
整式基本概念作业
姓名： 成绩：
一、填空
1．代数式，它们都是 与 的 ，这样的代数式叫单项式．
2．单独一个 或一个 也是单项式．
3．单项式中的 叫做这个单项式的系数．例如的系数是 ，的系数是 ，的系数是 ．
4．如果一个单项式只含有字母因数，它的系数是 或者 ．例如的系数是 ，的系数是 ．
5．一个单项式中，所有字母的指数的 叫做这个单项式的次数．例如是 次单项，是 次单项式，是 次单项式．
6． 叫做多项式．在多项式中，每个 叫多项式的项．其中， 的项叫常数项．多项式中 是它的项， 是常数项．
7．多项式中，次数 的次数，就是这个多项式的次数，如是 次 项式．是 次 项式．
8．把一个多项式按某一个字母的 数，从 的顺序排列起来，叫把多项式按这个字母的降幂排列．
9．在重新排列多项式时，各项都要带着 移动位置．
10． 和 统称整式．
11．在中，单项式有 ；多项式有 ．
12．的系数是 ，次数是 ．
13．是 次 项式，其中和三项的系数为 ．
14．多项式中，按的降幂排列为 ，按的升幂排列为 ．
二、选择
15．下列各式中，（ ）是多项式．
A、 B、 C、 D、
16．下列说法正确的是（ ）
A、的指数是0 B、的系数是0 C、的系数是3 D、5是单项式
17．下列说法正确的是（ ）
A、是二次三项式 B、是二次一项式
C、是五次二项式 D、是三次三项式
18．下列叙述正确的是（ ）
A、是个单项式，其系数是2 B、是个二项式，其系数是
C、是个多项式，其各项的系数都是
D、是个多项式，其各项系数的和等于0
19．在下列叙述中正确的是（ ）
A、的系数是2，次数是3 B、的系数是2，次数是2
C、的系数是－2，次数是3 D、的系数是－2，次数是4
三、解答
20．对下列各多项式分别按字母和作升幂排列．
（1）
（2）
21．若多项式是一个三次三项式，且最高次项的系数是1，求的值．第九讲 有理数的混合运算
【知识要点】
1．有理数的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的，再算括号外面的。
2．运算律的应用：正确合理地进行有理数的混合运算，要注意灵活运用运算律的简化运算，培养解题能力，提高运算速度。
【典型例题】
例1
例2
例3 计算
（1）
（2）
例4 计算：
例5 已知互为相反数，互为倒数，试求的值。
例6 已知，求的值。
有理数混合运算练习
一、选择题
1．若，那么下面正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
2．若，则是（ ）
A、正数 B、负数 C、整数 D、任意有理数
3．如果一个数的平方等于它的绝对值，那么这个数是（ ）
A、－1 B、0 C、1 D、－1，0，1
4．下面四个命题中，正确的是（ ）
A、若，则 B、若，则
C、若，则 D、若，则
5．下列运算中，正确的是（ ）
A、―15―5=－10 B、
C、 D、
二、填空
1．直接定出下列各式的结果：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
2．已知，则：
（1） （2） （3）
3．计算：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
三、解答题
1．如果，求的值．
2．若，试确定的末位数字是几．
3．现定义两种运算 、 : 对于任意有理数， ，求：
（1）4 [6 （3 5）]的值；（2）若（7 ） （3 ）=8，求的值．
有理数混合运算作业
姓名： 成绩：
一、填空题
1．（1） ， ， ，3－
（2） ， ， ，2－
2．若，则 ，
3．绝对值大于2而小于5的所有整数的和为 ，积为 ．
4．当 时，代数式取得最大值 ，此时代数式的值为 ．
5．当 时，；当 时，．
6．当，则 ， ．
7．若，且，那么 ．
二、计算题
1．―3―4+19－12 2．
3． 4．
5． 6．
7．
8．
三、解答题
1．已知，求的值．
2.若，求的值.
3．已知为自然数，试比较与的大小．
＋
＋
×5
＋
＋
×5
＋
×
×
＋第二讲 数轴与相反数
【知识要点】
一、数轴
1．数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴。
2. 利用数轴比较大小：数轴上右边的数总比左边的数大。
二、相反数
1. 相反数：只有符号不同的两个数叫相反数。0的相反数是0。
2. 判断互为相反数的两种方法：①从式子上看，若，则互为相反数；
②从直观上看是互为相反数。
【典型例题】
例1 如下图所示，数轴中正确的是（ ）
例2 把下列各数在数轴上表示出来，并且从小到大用“＜”连接起来：
－2，，0，，1，，。
例3 已知A、B是数轴上的点。
（1）若点A表示－3，以点A出发，沿数轴移动4个单位长度到达B点，则B点表示的数是 。
（2）若将点A向左移动3个单位长度，再向右移动5个单位长度，这时点A表示的数是0，那么点A原来表示的数是 。
例4 试比较与的大小．
例5 点在数轴上原点左边，离原点个单位的一个点，如把点M沿着数轴向右移动7个单位，到达点，则点表示什么数？
数轴与相反数练习
一、选择题
1．下列所画数轴中正确的是（ ）
A B C D
2．下面说法中正确的是（ ）
①在―4与―3之间没有负数； ②在0与1之间有无数个数；
③在―4与―3之间没有其他整数； ④在0与1之间没有负数．
A、①②③ B、②③④ C、①③④ D、①②④
3．下面说法正确的是（ ）
A、任何一个有理数都可以用数轴上的点表示出来
B、数轴上右边的数表示正数，左边的数表示负数
C、数轴上离开原点距离越远的点所表示的数越大
D、0是最小的正整数
4．如果一个数的相反数是非负数，那么这个数一定是（ ）
A、正数 B、负数 C、非正数 D、非负数
5．下列说法正确的是（ ）
A、是－2的相反数 B、是－2的相反数
C、－2的相反数是 D、+3的相反数是
二、填空题
1．分别写出下列各数的相反数：－2，，0，－1.9，，
2．+3的相反数是 ，－3的相反数是 ，的相反数是 ，的相反数是 ．
3．的相反数是 ，的相反数是 ．
4．用“”或“”填空．
（1）若是正数，则 0 （2）若是负数，则 0
（3）若是正数，则 0 （4）若是负数，则 0
5．在数轴上用点A表示－3，则点A到原点的距离是 ，到原点的距离等于3的点表示的数为 ．
6．比较下列各组数的大小：
（1）3.5 0； （2）－2.8 0；（3） ；（4）－1.95 －1.59；
（5） ；（6） 0.3；（7）7.1 ；（8）7.1 ．
三、解答题
1．在下图中，点A、B、C、D、E、F、O各表示什么数？
2．在数轴上把数+、－2.5、0、表示出来，并用“”把它们连接起来．
3．在数轴上画出表示大括号内的一组数的点：
（1）； （2）
4.若为有理数，试确定在数轴上的位置，且比较其大小。
5．有理数在数轴上的对应点如下图所示，图中0为原点，且A到原点的距离比B到原点的距离大．
（1）在数轴上表示出和；
（2）试把这五个数从大到小用“”连接起来．
6．画图表示一个点从数轴上的原点开始，按下列条件移动两次后到达的终点，并说出它是表示什么数的点．
（1）向右移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度；
（2）向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度；
（3）向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度；
（4）向左移动3个单位长度，再向左移动2个单位长度．
7．观察数轴，然后回答下列问题：
（1）有没有最小的有理数？有没有最大的有理数？若有，请写下来。
（2）有没有最小的正整数？有没有最大的正整数？若有，请写下来。
（3）有没有最小的负整数？有没有最大的负整数？若有，请写下来。
（4）写出所有大于－5且不大于4的整数．
数轴与相反数作业
姓名： 成绩：
一、填空题
1．（1）的相反数是 ， 的相反数是－3.2．
（2）0.4与 互为相反数， 与－（－7）互为相反数．
2．（1）如果，那么 ， ；
（2）如果，那么 ， ；
（3）如果，那么 ， ；
（4）如果，那么 ， ；
3．A、B两点分别在原点的两旁，并且与原点的距离相等，在数轴上，点A表示－10，则点
B表示数 ．
4． 的相反数比它本身大， 的相反数等于它本身．
5．若，则为 数，若，则为 ，若，则为 数．
6．用“”或“”或“=”填空．
（1）－3 －5 （2）－4 +2 （3）－3 －3.5
（4） 0 －53 （5）0.9 1.1 （6）－0.9 －1.1
二、解答题
1．化简下列各数：
（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7） （8）
2．把下列各组数从小到大用“”号连接起来
（1）－3，4，2.5 （2），－1，0 （3）－2.3，2.3，－0.23 （4）5，2.7，4.2
3．指出数轴上A、B、C、D、E、O点各表示什么数．
4．把下列各数在数轴上表示出来，并用“”把它们排列起来
－2，1，，，0，1.5，
5．画一条数轴，并在数轴上找出比大且比小的整数．
6．如图，在数轴上有三个点A、B、C，回答下列问题：
（1）将B点向左移动3个单位后，三个点所表示的数， 最小；
（2）将A点向右移动3个单位后，三个点所表示的数， 最小；
（3）将C点向左移动6个单位后，三个点所表示的数， 最大；
（4）怎样移动A、B、C中的两个点，才能使三个点表示的数相同？有几种移动的方法？
7．在数轴上标出―10和―20的位置，并根据数轴回答：哪一个数所在的位置距原点更远些？
B
－1
0
1
A
－1
0
1
C
－1
0
1
D
1
2
3
4
5
-1
0
1
0
1
2
3
0
1
A
E
B
O
C
F
D
-2
-1
0
1
2
3
B
A
A
A
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
·
·
C
B
A
O
D
E
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
A
B
C第十讲 阶段性测试（一）
姓名： 成绩：
一、判断题（每题1分,共10分）
1．绝对值不大于2的自然数是0,1,2． （ ）
2．绝对值不大于2的整数是－2，－1，1，2 （ ）
3．绝对值等于其本身的数有无数多个． （ ）
4．若，则． （ ）
5．若两个数相等，则它们的绝对值亦相等． （ ）
6．若，则． （ ）
7．若，则一定是正数． （ ）
8．． （ ）
9．若，则． （ ）
10.若，则 （ ）
二、填空题（每空1分,共20分）
1．在有理数集合中，最小的正整数是 ，最大的负整数是 ．
2．-3.2的相反数是 ，倒数是 ，绝对值是 ．
3．的相反数是 ，的相反数是 ．
4． 的倒数的相反数是2000； 与－1的和的倒数是 ．
5．如果是一个负数，则 ；若，则 ．
6．即数轴上表示数 的点到 的距离．
7．既不是正数，也不是负数的数是 ．
8．绝对值小于的所有整数是 ．
9. +（－1.9）+（－0.1）+（－0.65）=－2；
10.（+3）－（+5）+（－2）－（－8）= － - +
三、选择题（每题2分,共20分）
1．零是（ ）
A、最小的正数 B、最小的整数 C、最小的有理数 D、绝对值最小的有理数
2．下面结论中不对的是（ ）
A、零是非负数 B、零是整数 C、零的相反数是零 D、零的倒数是零
3．若是任意有理数，则式子表示（ ）
A、正数 B、负数 C、0 D、非负数
4．下列说法中，正确的是（ ）
A、绝对值等于5的数是+5 B、绝对值小于的整数为1和－1
C、绝对值最小的有理数是1 D、5的绝对值等于5
5．下列判断中，正确的是（ ）
A、的相反数是2000 B、的相反数是－2000
C、的相反数是 D、的相反数是
6．有理数在数轴上的位置如图所示．则下列式子中，成立的是（ ）
A、 B、
C、 D、
7．数轴上的点A、B、C、D分别表示数，已知A在B的右侧，C在B的左侧，D在C、B之间，则（ ）
A、 B、 C、 D、
8．当时，下列各代数式的值互为相反数的是（ ）
A、与 B、与
C、与 D、与
9．当时，下列大小关系中，不正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
10.若不正确，则正确的为（ ）
A、一定是正数 B、一定是0 C、一定是负数 D、一定不是负数
三、计算题(1题每题3分,2题每题4分,共26分)
1.（1）－3.7+1.8－4.9+6.1 （2）
（3） （4）
（5） （6）
2．（1）（+7954）―（―2047）+（―4463）―6009―（―3406）―2934
（2）
四、解答题(共24分)
1．把下列各数在数轴上表示出来，并用“”把各数连接起来．(4分)
，，，，0，
2．比较和的大小。(3分)
3．观察数轴并完成后面的问题(6分)
（1）判断的符号；
（2）判断的符号；
（3）判断的符号．
4．已知．计算的值．(5分)
5．在什么条件下，下列各式成立？(6分)
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
附加题(10分)
如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连．连线标注的数字表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为 ．
0
0
A
B
3
5
12
12
6
4
7
6
6
8第十六讲 找规律—数与图形
【典型例题】
例1 观察下列算式：
……
用你所发现的规律写出的末位数字是__________。
观察下列式子：
；；；……
请你将猜想得到的式子用含正整数n的式子表示来__________。
例4 图3—4①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点，得到图3—4②；再分别连结图3—4②中间的小三角形三边的中点，得到图3—4③，按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数的规律，完成下列问题。
……
(1)将下表填写完整
图形编号 1 2 3 4 5 …
三角形个数 1 5 9 …
（2）在第n个图形中有____________________个三角形（用含n的式子表示）。
例6．如图，把一个面积为1的正方形分等分成两个面积为的矩形，接着把面积为的矩形等分成两个面积为的正方形，再把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，如此进行下去，试利用图形提示的规律计算：
例7．把棱长为的正方体摆成如图的形状，从上向下数，第一层1个，第二层3个……按这种规律摆放，第五层的正方体的个数是
例8.观察下列图形并填表。
个数 1 2 3 4 5 6 7…
周长 5 8 11 14 …
【巩固练习】
2．用黑白两颜色的正六边形地面砖按如图所示规律，拼成若干个图案：
（1）第4个图案中有白色地面砖 块；
（2）第个图案中有白色地面砖 块。
……
3．下列每个图形都是若干个棋子围成的正方形图案，图案的每条边（包括两个顶点）上都有个棋子，每个图案棋子总数为S，按下图的排列规律推断，S与之间的关系可以用式子 来表示。
……
7．观察与分析下面各列数的排列规律，然后填空。
①5，9，13，17， ， 。
②4，5，7，11，19， ， 。
③10，20，21，42，43， ， ，174，175。
④4，9，19，34，54， ， ，144。
⑤45，1，43，3，41，5， ， ，37，9。
⑥6，1，8，3，10，5，12，7， ， 。
⑦0，1，1，2，3，5， ， 。
⑧180，155，131，108， ， 。
⑨5，15，45，135， ， 。
⑩60，63，68，75， ， 。
10．你能很快算出吗？
为了解决这个问题，我们考察个位上的数为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成10 +5,即求的值（为自然数），你试分析这些简单情况，从中控索其规律，并归纳，推测出结论（在下面空格内填上你的控索结果）。
通过计算，控索规律：
可写成
可写成
可写成
可写成
…………
可写成
可写成
从第（1）的结果，归纳、推测得：
根据上面的归纳、推测，请算出：
11．观察下列几个算式，找出规律：
1＋2＋1=4
1＋2＋3＋2＋1=9
1＋2＋3＋4＋3＋2＋1=16
1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1=25
……
利用上面规律，请你迅速算出：
①1＋2＋3＋…＋99＋100＋99＋…＋3＋2＋1=
②据①你会算出1＋2＋3＋…＋100是多少吗？
③据上你能推导出1＋2＋3＋…＋的计算公式吗？
12．给出下列算式：，，，，…，观察上面的一系列等式，你能发现什么规律？用代数式表示这个规律是 。
13．研究下列算式，你会发现有什么规律？
；；；……
请将你找出的规律用公式表示出来： 。
14．如图的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律填写：
所表示的数： 。
所表示的数： 。
15．因为，，
那么 。
17．将1，，，，，，…按一定规律排成下表：
试找出在第 行第 个数
18．如下图：
（1）
（2）
19．把1到200的数像下表那样排列，用正方形框子围住横的3个数，竖的3个数，这9个数的和是162。如果在表的另外的地方，也用正方形围住另外的9个数。
当正方形左上角的数是100时，这9个数的和是多少？
当正方形中9个数的和是1557时，最大的数是多少？
20．将1至1001个数如下图的格式排列。用一个长方形框入12个数，要使这12个数的和等于（1）1986；（2）2529；（3）1989是否办得到？如果办不到，简单说明理由：如果办得到，写出长方形框里的最大的数和最小的数。
③
②
①
1
1
2
第三个
第二个
第一个
9
25
31
36
43
466
17
21
227
45
24
285第三讲 绝 对 值 (一)
【知识要点】
一、绝对值的概念
1．定义：一个数的绝对值就是数轴上表示的点与原点的距离，数的绝对值记作，读作的绝对值。
2．绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值还是0。
3．绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小。
4绝对值的非负性：由于距离总是正数或0，故有理数的绝对值不可能是负数，即对任意有理数，总有0。
5．互为相反数的两个数的绝对值相等，但绝对值相等的两个数相等或互为相反数。
6．绝对值等于它本身的数一定是非负数，绝对值等于它的相反数的数一定是非正数。
二、绝对值的求法
绝对值是一种运算，这个运算符号是“”，求一个数的绝对值就是想办法去掉绝对值符号，对于任意有理数，有
（1） （2） （3）
【典型例题】
例1 求下列各数的绝对值。
（1）= ； （2）= ； （3）= ； （4）= ；
例2 （1）一个数的绝对值是3，则这个数是 。
（2）一个数的绝对值是0，则这个数是 。
（3）有没有一个数的绝对值是-4？ 。
思考：与0的大小关系
例3 （1）若，求的值；（2）若，则的关系是什么？
例4 写出绝对值不大于3的所有整数，并求出它们的和。
例5 如果的相反数是最大的负整数，是绝对值最小的数，那么与的和是多少
绝对值(一)练习
一、填空题
1．的绝对值是 ，的绝对值是 ， 的绝对值是．
2.一个正数的绝对值为8，这个数是 ，一个负数的绝对值为8，这个数是 ．
3. 的绝对值是它本身， 的绝对值是它的相反数．
4.若，则 ；若，则 ；若，则 ．
5.若，则 0，若，则 0．
6. 的绝对值比它的本身大．
7.一个数的绝对值等于3，则这个数可能是 ．
二、选择题
1．下列等式中，成立的是（ ）
A、 B、 C、 D、
2．下列计算中，错误的是（ ）
A、 B、
C、 D、
3．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数必满足（ ）
A、相等 B、都是0 C、互为相反数 D、相等或互为相反数
4．下列各式中，不正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
5．下列判断正确的是（ ）
A、若，则 B、若，则
C、若，则 D、若，则
三、解答题
1．试写出：（1）绝对值小于5的所有负整数 ；
（2）绝对值小于5.2而又大于2.1的所有整数 ．
2．已知一组数；4，－3，，+5.1，，0，－2.2．在这组数中：
（1）绝对值最大的数为 ；绝对值最小的数为 ；
（2）相反数最大的数为 ；相反数最小的数为 ．
3．如图，直线上有三个不同的点A、B、C，且AB≠BC，那么，到A、B、C三点距离的和最小的点（ ）
（A）是B点 （B）是AC的中点 （C）是AC外一点 （D）有无穷多个
4．对任意有理数，式子，，，中，取值不为0的是 。
5．绝对值小于2002的所有整数之和是 。
6．指出下列各式中为什么数．
（1） （2）
7．若，且，试求的值．
8.已知，，,则= 。
绝对值(一)作业
姓名： 成绩：
1．求出下列各数的绝对值．
（1）1 （2）－2 （3） （4） （5）0
2．绝对值小于3.5的所有整数有 ．
3．绝对值大于1.2而小于3.7的负整数有 ．
4．（1） ；（2）若，则 ．
5．化简： ； ．
6.绝对值最小的数是 ；绝对值等于它本身的数是 ；绝对值是它的相反数的是 ．
7．一个数的绝对值是4，则这个数是 ．
8．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A、与 B、与 C、与 D、与
9．下列各式：①②③④，则⑤．其中正确的个数有（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
10．下列说法正确的是（ ）
A、如果两个数的绝对值相等，则这两个数必相等
B、如果两个数不相等，那么它们的绝对值肯定不相等
C、在中有两个负数
D、若，则互为相反数
11．数在数轴上的位置如图，观察数轴，并回答：
（1）比较和的大小；
（2）比较和的大小；
（3）判断的符号；
（4）试化简
A
B
C
0第十二讲 代数式求值(一)
【知识要点】
1．代数式的值的意义：用数值代替代数式里的字母，按照代数式里的运算符号计算出的结果就是代数式的值。
2．求代数式的值的一般步骤：
（1）代入。将指定的字母数值代替代数式里的字母，代入数值时，必须将相应的字母换成数值，其他的运算符号，原来的数字都不能改变，对原来省略的乘号应还原。
（2）计算。按照代数式指明的运算计算出结果，运算时应分清运算种类及运算的顺序，按照先乘除，后加减，有括号的先算括号的顺序进行。
3.求代数式值的一般方法:(1)直接带入求值,(2)整体带入求值
4.对于比较复杂的代数式，往往需要先化简再求值.
【典型例题】
例1 当时，求代数式的值。
例2 已知是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，求代数式的值。
例3．已知，求代数式的值。
例4 已知，求代数式的值。
例5 当时，代数式的值为7；当时，代数式的值为多少？
例6 已知当时，代数式的值是10，求时，代数式的值。
【巩固练习】
1．当，时，求的值。
2．已知，；求代数式的值。
3.已知，互为相反数，，互为倒数，，求代数式213的值。
4．已知，求代数式的值。
5．当时，求代数式的值。
6．已知的值是8，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．11 D．不能确定
7．已知当时，代数式的值是5，那么当时，求代数式的值。
8．已知当时，代数式的值为5.当时，代数式的值为多少？
9．已知当时，代数式的值等于2，代数式的值是0，求这时代数式的值。
代数式求值(一)作业
姓名： 成绩：
1．若，，，求代数式的值。
2．已知为3的倒数，为最小的正整数，求代数式的值。
3．已知，试求代数式的值。
4．已知当时，代数式的值为5.求时，代数式的值。
5．已知代数式的值为8，求代数式的值。
6．已知，，求代数式的值。第十四讲 合并同类项
【知识要点】
1．同类项：含有相同的字母，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，单独一个字母或数也是同类项。
2．合并同类项的方法：
（1）找出同类项；
（2）将同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母及字母的指数不变。
3．去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变符号。括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”去掉，括号里各项都改变符号。
4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号，添括号后，括号前面是“－”号，括到括号里的各项都要改变符号。
【典型例题】
例1 下列代数式中，是同类项的组数有（ ）个
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧0
A．1 B．2 C．3 D．4
例2 合并同类项：
（1）= ；（2）= 。
例3 去括号：=
例4 去括号，并合并同类项：
例5 已知，求代数式的值。
例6 若和是同类项，求的值。
【巩固练习】
一、填空
1．去括号： ， ； ，
2. 添括号：；；
；．
3.单项式的和是 ，与的差是 ．
二、选择
1．下列叙述的语句，其中错误的有（ ）个
①如两个单项式所含的字母完全相同，那么这两个单项式是同类项；
②如两个单项式的次数相同，所含的字母也相同，那么这两个单项式就是同类项；
③所含字母相同且相同字母的次数也分别相同的项叫同类项；
④系数互为相反数的同类项合并后为零．
A、0 B、1 C、2 D、3
2．合并同类项就是（ ）
A、把相同的项合并 B、把各项系数相加
C、把各项合并成一项 D、把多项式中的同类项合并成一项
3．下面式子中正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
4．下列各式中成立的是（ ）
A、 B、 C、 D、
5．下列去括号正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
6．把的二次项放在添“+”的括号里，把一次项放在添“－”号的括号里，按要求完成并正确的是（ ）
A、
B、
C、
D、
7．（ ）
A、 B、 C、 D、
8．（ ）
A、 B、 C、 D、
三、解答题
1．去括号再合并同类项
(1) (2)
(3) （4）
（5） （6）
2．若互为相反数，求的值．
3．若和是同类项，求的值．
4．如果三个连续奇数的和是381，则其中一个奇数是119、121、123、125中的哪一个？
5. 当时，求代数式的值．
合并同类项作业
姓名： 成绩：
1．下列各组式子中，不是同类项的是（ ）
A、 B、 C、 D、
2．下面的式子中，正确地进行了合并同类项的是（ ）
A、 B、
C、 D、
3．如两个单项式是同类项，那么下列叙述错误的是（ ）
A、这两个单项式中，相同字母的指数一定相同
B、这两个单项式所含的字母一定相同
C、这两个单项式的次数一定相同
D、这两个单项式的和不一定是单项式
4．当时，代数式的值是（ ）
A、2 B、－10 C、－6 D、－14
5．在下列等号右边的括号前的横线上填上适当的符号，使等式成立．
（1） ； ； ；
（2） ； ；
6．化简
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7）． (8)
7．若三角形的第一边等于，第二边比第一边长，第三边等于，求此三角形的周长，并求当厘米，厘米时，三角形的周长．
8．当时，求的值．
9．若和是同类项，且，求的值．
10．若，化简：．第一讲 有 理 数
【知识要点】
1．正数和负数
为了表示具有相反意义的量，我们把其中一种意义的量规定为正的，另一种与它的意义相反的量规定为负的，正的量用算术数前面加“+”号表示，如+6，等，带有正号的数叫正数（正号可省略不写），负的数量用算术数前加“－”号表示，如－4，等，带有负号的数叫负数。
2．有理数
正整数，0，负整数统称为整数，正分数，负分数统称分数，整数和分数统称有理数。
3. 有理数的分类：
(1) (2)
【典型例题】
例1（1）如果把上升20m记作+20m，那么下降15m记作 。
（2）海平面的高度一般用海拔 表示，比海平面高8848m的山峰处，它的高度记作海拔 m，比海平面低11034m的海沟，它的高度记作海拔 m。
（3）粮食产量增产12%，记作+12%，则减产8%记作 。
例2 把下列各数填在相应的大括号里。
－1，0，+0.8，－，，，，，
整数集合 …； 负整数集合；
正分数集合； 负分数集合；
例3 数学考试成绩85分以上为优秀，以85分为标准，老师将某一小组五名同学的成绩简记为：+9，－4，+11，－7，0，则这五名同学的实际成绩分别为多少？
例4 表达出下列语句所表示的意义：
（1）向东走－100米
（2）气温上升－3℃
（3）支出－100元
思考并回答：（1）0和1之间有没有正数？（2）0和－1之间有没有负数？
有理数练习
1．（1）如果零上2℃记做+2℃，那么零下4℃记作 ．
（2）如果收入50元记作+50元，那么支出30元记作 ．
（3）如果下降10米记作－10米，那么上升20米记作 ．
（4）如果向南走5米记作－5米，那么向北走10米记作 ．
2．请将下列数据填入相应的大括号内：
，，－2，80，0.001，3.14，，0，－100
正数集合 ，负数集合 ，
整数集合 ，分数集合 ．
3．下列说法正确的是（ ）
A、有理数不是正数就是负数 B、0是最小的有理数
C、正数和负数统称为有理数 D、是分数也是有理数
4．下列说法正确的个数有（ ）
（1）0既不是正数，也不是负数 （2）是负数，但不是分数
（3）自然数都是正数 （4）负分数一定是负有理数
A、2个 B、3个 C、4个 D、1个
5．下列说法正确的是（ ）
A、一个有理数不是正数，就是负数 B、整数一定是正数
C、最小的整数是0 D、自然数是整数
6．关于0，下列说法正确的个数有（ ）个
①0既不是正数，也不是负数；②零既不是整数，也不是分数；③0不是自然数，但它是整数
A、0 B、1 C、2 D、3
7．有理数集合是（ ）
A、正数与负数的集合 B、正整数、负整数与分数的集合
C、整数与分数的集合 D、整数与负数的集合
8．说出下列语句的意义：
（1）收入－20元 ；
（2）支出－120元 ；
（3）前进－2米 ．
9．一艘潜水艇的高度是－80米，如果它上浮－10米，这时它所在位置是海平面以下 米．
10．粮食每袋标准重量是50千克，现测得甲、乙、丙三袋粮食重量如下：51千克、52千克、49千克，如果超重部分用正数表示，不足部分用负数表示，请用正数和负数记录甲、乙、丙三袋粮食的超重数．
11．一条笔直的公路，A、B两地相距6千米，某同学骑自行车从A地去B地，他骑车走了2千米，却与B地相距8千米．你能说出这是为什么吗？
12．某校对初三40名男生进行了引体向上的测试，以能做7个标准，超过的次数用正数表示，不足的次数用负数表示，其中8名男生的成绩如下表：
（1）这8名男生各做了多少个引体向上？
（2）你能否预测一下这40名男生中达标的人数是多少？
有理数作业
姓名： 成绩；
一、填空题
1．在下列各数中：－8, 0.07, , －0.3, 1999, －, －3456, 88.8, 0,
是正数； 是负数．
2．把下列各数填在相应的大括号里（将各数用逗号分开）：
－8, 0.07, , －0.3, 1999, －, －3456, 88.8, 0,
（1）正整数集合： …；（2）负整数集合： …；
（3）整数集合： …；
（4）正分数集合： …；（5）负分数集合： …；
3．如果+120吨表示运进仓库粮食120吨，那么－50吨表示 ．
4．冬天某地的某一天，早晨5时的气温是零下2度，记作－2℃，上午10时，气温上升到零上2度，应记作 ，正午12时比上午10时上升了1度，这时的气温应记作 ，下午6时比正午12时下降了4度，这时的气温应记作 ，晚间12时比下午6时又下降了5度，这时的气温应记作 ．
5．用正数或负数表示下列数量：
（1）珠穆朗玛峰高出海平面8848.13米； ；
（2）太平洋最深处低于海平面11022米． ．
6．小R编制了一个计算程序．当输入任何一个有理数时，显示的结果总等于输入有理数的平方与1之和．若输入－1，并将显示的结果再次输入，这样显示的结果应当是 ．
二、解答题
1．7筐苹果，以每筐25千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重的记录如下：+2，－1，－2，+1，+3，－4，－3．这七筐苹果实际各重多少千克？
2．判断正确或错误，分别用“√”或“×”填在各题后面的括号内：
（1）零是自然数：（ ） （2）零是正数；（ ） （3）零是非负数；（ ）
（4）零是整数；（ ） （5）零是偶数．（ ）
-1
-2
0
1
2
0
2
3第十九将 阶段性测试(二)
姓名： 成绩：
一、选择题（每空2分，共30分）
1．下列各式中：，是代数式的有（ ）
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
2．对代数式的叙述正确的是（ ）
A、与的差的2倍 B、与的2倍的差
C、与的2倍 D、的2倍与的差
3．下列语句正确的是（ ）
A、是代数式 B、一定是偶数
C、时，的值是12 D、与的差除可表示为
4．若是整数，则三个连续整数的表示方法错误的是（ ）
A、 B、
C、 D、
5．若一长方表的长和宽分别是，则它的周长是（ ）
A、 B、米 C、 D、
6．某农场2000年的粮食产量为，又已知2001年的粮食产量较上的一年增长了10%，若以同样的增长率增长，估计2002年的粮食产量是（ ）
A、 B、 C、 D、
7．一辆汽车在秒内行驶米，则它在2分钟内行驶（ ）米．
A、 B、 C、 D、
8．A、B两地相距千米，甲每小时行千米，乙的速度是甲的1.2倍，那么乙从A到B的时间是（ ）小时．
A、 B、 C、 D、
9．下列各组中的两项，属于同类项的是（ ）
A、 B、 C、 D、－8,7
10．已知，则的值为（ ）
A、9 B、8 C、7 D、6
二、填空题（每空2分，共30分）
11．箱苹果重千克，则平均每箱苹果重 ．
12．每件元的上衣，九五折优惠的售价是 ．
13．已知，则的值为 ．
14．梯形的下底比上底长4厘米，又知上底与下底之和是16厘米，则下底长是 ．
15．研究下列算式，你发现什么规律？
1×3+1=4=22，2×4+1=9=32，3×5+1=16=42，4×6+1=25=52，…
请你将发现的规律用公式表示出来： ．
16．甲数是，乙数是，“用甲数的3倍与乙数的差去除甲数与乙数2倍的和”写成代数式是
17．已知与是同类项，则m= ，n=
18．若，且，则与的关系是
19．合并同类项：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） ．
三、解答题(每题10分,共40分)
20．根据图示条件解题
（1）用含的代数式表示图中阴影部分的面积；
（2）若，求阴影部分面积（可不必计算）．
21．求值
(1)当时，求代数式的值．
(2)已知，求代数式
22．某地区欲组织人前往韩、日观看2002年世界杯足球赛，计划平均每人收费元．现甲旅行社承诺给予七五折优惠；乙旅行社给予3人免费，其余人八折优惠，请你回答：
（1）随甲、乙旅行社前往各需多少元？（用代数式表示）
（2）当时，应当选择哪家旅行社为好？
23．H市若干个学校的青少年足球队进行单循环比赛（参加比赛的每一个队都与其他所有的队名各赛一场）．球队数与总的比赛场数如下表所示：
球队数 2 3 4 5 ……
总的比赛场数 ……
（1）写出用球队数表示总的比赛场数的公式；
（2）计算10个球队进入单循环比赛时的比赛场数．
附加题(10分)
一只小蚂蚁想从小立方体的顶点A处爬到顶点B处，你能帮它找到最短的路线吗？请画图说明。如果立方体的边长为1cm,那么最短路程应该为多少
A
B第十三讲 代数式求值(二)
【知识要点】
求代数式值的方法还有消元、降次、设参数、代数变形等数学方法。
【典型例题】
例1．已知，，求的值。
例2．已知：，则的值为多少
例3 已知且，求的值。
例4 已知，求的值。
例5 如果不论取什么值，代数式（分母不为零）都得到同样的值，那么与应满足什么条件？
例6 已知，求的值。
【巩固练习】
1．已知，求代数式的值。
2．若，且，求的值。
3．已知，求代数式的值。
4.已知，求的值。
5．已知，，求代数式的值。
6．若不论取什么值，代数式的值都相同，试求与的关系。
7．已知，试求的值。
8．代数式的最大值是（ ）
A．17 B．18 C．1000 D．无法确定
9．代数式，当时值为8，当时值为1，求当时，该代数式的值。
代数式求值(二)作业
姓名： 成绩：
1．若、均为正数，且，试求的值。
2．已知，求的值。
3．若，且，试求的值。
4．已知，，求的值。 5．若，求的值。
6．设，求：（1）;
（2）;（3）第四讲 绝 对 值 (二)
【知识要点】
绝对值的应用
1．比较有理数的大小：两个正数比较绝对值大的数大；两个负数比较绝对值大的反而小。
2．化简求值：即去掉绝对值符号再运算,关键是判断绝对值符号里面的整体是正数，零还是负数。
3．非负数的应用：若。
【典型例题】
例 1 试比较-0.3，，，的大小，并用“”连接起来。
例 2 已知，，并且，，求的值。
例 3 有理数在数轴上对应的点分别为A，B，C，其位置如图所示，
试化简.
例 4 当时，求的值。
例5 若，则的值为多少？
绝对值(二)练习
一、选择题
1．如果一个数的绝对值大于另一个数的绝对值那么（ ）
A．这个数必大于另一个数 B．这个数必小于另一个数
C．这两个数的符号必相反 D．以上说法都不对
2．若，，且，那么a-b的值是（ ）。
A．-78或116 B．78或116 C．-78或-116 D．78或-116
3．a是负数且，那么的值（ ）
A．等于1 B．小于0大于－1 C．小于－1 D．大于1
4. 当时，的关系是（ ）
A．a与b互为相反数 B．a=1，b=1 C．a与b异号 D．
二、解答题
1．比较下列每对数的大小：
（1） ；（2） ；（3） ；（4）
2．若，则 。
3．a、b为有理数且，则ab的值为 。
4.若，求的值。
5.已知，，，求的值。 6．求的值。
7.若，求的值。 8.已知，求的值。
9．如果，求的值。 10.化简
绝对值(二)作业
姓名: 成绩:
1．比较大小．
（1） 2.85； （2） （3）－2.85 ；
（4） （5） （6）
2．计算： 。
3．有理数a、b、c的对应点在数轴上的位置如下图：
则在，，，中最大的一个是 。
4．已知，，，且a>b>c，那么 。
5．已知，且，求的值。
6.已知，求的值。
7.数a、b在数轴上对应的点如图所示试化简：
8．已知，且，，那么= 。
B
CB
000
A
－1
a
b
c
0
1
a
o
b第十五讲 去括号与添括号
【知识要点】
同类项、合并同类项、合并同类项的法则
1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。
2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
3．合并同类项的法则：
（1）法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。
（2）合并同类项的具体步骤：
①准确地找出同类项；②利用分配律，把同类项的系数相加在一起（用小括号）字母和字母的指数不变写在括号的后面，不是同类项的项包括符号照写上；③写出合并同类项后的结果。
4．去括号法则
（1）要注意括号前面的符号，它是去括号括号内各项是否变号的依据；
（2）去括号时应将括号前的符号连同括号一起去掉；
（3）要注意括号前是“－”号时，去掉括号后，括号内的各项都要改变符号，不能只改变括号内第一项或前几项的符号，而忘记改变其余的符号。
（4）若括号前是数字因数时，应利用乘法分配律先将该数与括号内的各项分别相乘再去括号，以免发生符号错误；
（5）多层括号的去法；
①对于含有多层括号的问题，应先观察式子的特点，再决定去掉多层括号的顺序，以使运算简便，一般由内到外，先去小括号，再去中括号，最后去大括号，有时也可从外到内，先去大括号，再去中括号，最后去小括号，去大括号时，要将中括号视为一个整体，去中括号时，要将小括号视为一个整体。
5．添括号法则。
（1）所添括号前面的符号是添括号后括到括号里各项是否变号的依据；
（2）尤其要注意括号前面是“－”号时，括到括号时的各项都改变符号。
（3）添括号是否正确可用去括号来检验。
6．去括号与添括号的顺序刚好相反。
去括号与添括号（一）
1．下列各式中，去括号正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
2．下列各式中计算结果是的是（ ）
A、 B、
C、 D、
3．化简的结果是（ ）
A、 B、 C、 D、
4．去括号法则是：括号前面是“+”号，把括号和 去掉，括号里的各项都 ；括号前面是“－”号，把括号和 去掉，括号里的各项都 ．
5．写出每一步的依据：
6．化简：
（1） （2）
7．先化简再求值：，其中．
8．长方形一边等于，另一边比它大，求此长方形的周长．
9．观察下列等式：
1＋2＋3=6 2＋3＋4=9 3＋4＋5=12，…
这些等式反映出自然数间的某种规律，设表示自然数，试用关于的等式表示出你所发现的规律．
去括号与添括号（二）
1．，括号里所填的各项应是（ ）
A、 B、
C、 D、
2．括号里所填的各项分别是（ ）
A、 B、 C、 D、
3．下列去括号、添括号的结果中，正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
4．将括号前的符号变成相反的符号，而代数式的值不变的是（ ）
A、 B、 C、 D、
5．在下列各式的括号内填上适当的项：
（1）
（2）
（3）
6．把的前末两项放在前面带有“+”号的括号里，把中间两项放在前面带有“－”号的括号里得 ．
7．当为何值时，代数式与的值互为相反数．
8．证明：代数式的值与无关．
9．已知一根铁丝长（）米，用剩下的铁丝默围成一个矩形，其长为米，宽为米，求剪去的铁丝的长度．
去括号与添括号作业
1．单项式与多项式的差是（ ）
A、 B、 C、 D、
2．已知，则的值为（ ）
A、1 B、5 C、－5 D、－1
3．已知，化简的结果为（ ）
A、 B、 C、 D、
4．判断下列语句，其中正确的有（ ）个
①任何三个连续整数的和都能被3整除；
②任何一个两位数与把它的数字位置对调所成的数的和一定能被11整除；
③两个奇数的和是一个偶数；
④任何一个两位数与把它的数字位置对调所成的数的差一定能被9整除．
A、1 B、2 C、3 D、4
5．把下列多项式的二次项放在前面带有“+”号的括号里，同时把剩余的项结合起来放在前面带有“－”号的括号里：
①（ ）－（ ）
②（ ）＋（ ）
6．化简 ，当时，原式的值为 ．
7．已知，求下列各式的值：
① ②
8．一个三位数，它的十位数字比百位数字大2，个位数字比十位数字少4，如设百位数字为．（1）试用含的代数式表示这个三位数；（2）求满足此条件的最大的三位数．
9．若，化简．
去括号
添括号
－a+b－c
（ ）
（ ）第十八将 整式的加减
【知识要点】
1．整式加减的一般步骤：①根据题意列出算式；②若有括号，则应按去括号的法则先去括号；③合并同类项；④整式加减的结果还是整式；
2．灵活地去（添）括号：
如有多层括号，去括号有三种方法：一是从里向外去；二是可以从外向里；三是可以里外同时去。同时在去括号后，在不影响计算结果的前提下，也可以边去括号边去合并同类项，从而简化计算。
3．利用竖式计算整式加减的步骤是：①把一个加式或被减式排成一行②再把另一个加式或者减式写在它的下面，使同类项对齐，不是同类项的留出空位，③然后相加或相减。
【典型例题】
例1
例2 计算：
（1）与的和。
（2）与的差。
例3 计算并求值
，其中、满足
例4 若A和B都是6次多项式，则A+B一定是（ ）
A．12次多项式 B．6次多项式
C．次数不高于6的整式 D．次数不低于6的多项式
例5 已知多项式减去另一个多项式，所得的差是，求该多项式。
【巩固练习】
一、填空题
1．说出下列各单项式的和：
（1） ； （2） ；
（3） ； （6） ；
（4） ；
（5） ；
2．写出下列各题中第一式减去第二式的差；
（1） ； （2）
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） ．
3．填上适当的代数式，使下列等式成立：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）； （8）；
二、计算题
1． 2．
3． 4．
5． 6．
三、解答题．
1．一个多项式减去得，求这个多项式；并求时，该多项式的值．
2．已知，求（1）A+B；（2）2A-2B．
3．若和是同类项，且，求．
4．若，求．
5．已知甲、乙两个三位数，甲数的个位数字是，十位数字是，百位数字是，乙数的个位数字是，十位数字是，百位数字是，写出甲数的3倍与乙数的2倍的差，并化简．
整式的加减作业
姓名： 成绩：
一、填空题
1．
2. =
3.+( )=( )
4.
二、选择题
1．若n为自然数，则等于（ ）
A、0 B、2 C、-2 D、2或-2
2．化简等于（ ）
A、 B、 C、+ D、-
3．若n为自然数，且的值为（ ）
A、8 B、-8 C、-4 D、0
4．无论取任意有理数，永远成立，则的值依次为（ ）
A、4，―7，―1 B、－4，―7，―1 C、4，7，―1 D、4，7，1
5．三角形的第一边长，第二边比第一边长．第三边比第二边的还多，若三角形的周长为16，则第二边的长为（ ）
A、2 B、4 C、6 D、8
6．若互为相反数，则的值为（ ）
A、0 B、1 C、－1 D、随的不同而不同
三、解答题
1．
2．
3.已知A=，B=，求当，的值。
4.多项式，其中互为相反数，求A+B的值．
5．如果某三位数的百位数字是，十位数字是，个位数字是．（1）列出这个三位数的代数式并化简；（2）当时，求这个三位数．有理数的除法与乘方
【知识要点】
一、有理数除法
1．倒数的定义
（1）乘积为1的两个数互为倒数，即如果，则互为倒数。反之，两数互为倒数，则两数的乘积为1，即若、互为倒数，则，
（2）数的倒数就是
（3）0没有倒数
（4）负倒数的定义：乘积为－1的两个数互为负倒数，数的负倒数为
2．有理数除法法则
（1）法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数
（2）符号确定：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
（3）0除以任何一个非零数，等于0；0不能作除数！
3．1和的倒数等于它本身，即倒数等于它本身的有两个，是。
4．1除以非零数，得到它的倒数。
二、有理数乘方
1．个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做幂；用字母表示记作，其中叫做底数，叫做指数，的结果叫做幂；读法：读作的次方。
2．正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
3．科学计数法：把一个大于10的数记作的形式，其中，比整数部分的位数少1，这种记数法叫科学记数法。
【典型例题】
例1 求下列各数的倒数和负倒数。
（1）2 （2） （3） （4）20%
例2 计算：
（1） （2） （3）
例3 计算：
（1） （2）
（3） （4）
例4 计算：
； ； ； ； ；
例5 若为自然数，求.
例6 科学计数法表示下列各数或写出原数
（1）6842000 （2）-3680000 （3） （4）
例7 已知,求:（1） ;（2） .
有理数的除法及乘方练习
一．填空题：
1. －7的倒数是 , 的倒数是 , 的倒数是
2．化简下列分数：
（1） （2） （3） （4）
3．读作 ，其中底数是 ，指数是 ．
4.（1）（－21）× =－7 （2） ×（－8）= （3）
（4） , （5） ,（6）
5．若，则 ；若，则必满足 ．
二.选择题
1．下列等式中，正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
2．若，则满足（ ）
A、 B、或 C、 D、或
3．下列式子的值为正的是（ ）．
A、 B、 C、 D、
4．用科学记数法表示的数，原来的数有（ ）个数位．
A、3 B、4 C、5 D、无法确定
5.如果，则（ ）
A、都为0 B、不都为0 C、至少有一个为0 D、都不为0
6.下列说法正确的是（ ）
A、任何正数大于它的倒数 B、任何小于1的数，它的倒数一定大于1
C、任何数都有倒数 D、两数互为倒数，它们的相同次幂仍互为倒数
7．一个有理数和它的相反数之积（ ）
A、符号必为正 B、符号必为负 C、一定不小于零 D、一定不大于零
8．若且，那么只要（ ）
A、 B、
C、，异号 D、，中必有一正一负且正数绝对值较大
三.计算
1.（1） （2） (3)
2．若有理数在数轴上位置如图所示，试化简：= .
有理数的除法及乘方作业
姓名: 成绩:
一、填空题
1． ； .
2．用科学记数法表示：地球的表面积约是510000000km2= km2．
3．5.002×107是用科学记数法记出的数，则原数为 ．
4．某数除－8商为2，则此数为 ．
5．平方为9的数为 ，绝对值为9的数为 ．平方小于20的所有整数的和为
6．倒数是它本身的数为 ，相反数是它本身的数为 ；平方为它本身的数为 ，绝对值为它本身的数为 ；立方为它本身的数为 ．
7.在中，指数为 ，底数为 ．
二、选择题
1．若，则一定有（ ）
A、 B、 C、 D、或
2．一个数加上它的相反数再减去这个数与它的倒数的积，结果为（ ）
A、0 B、1 C、－1 D、－2
3．如果一个有理数的正偶次幂是非负数，则这个数是（ ）
A、正数 B、负数 C、非负数 D、任何有理数
4．，是两个有理数且，则一定有（ ）
A、 B、 C、 D、
三、解答题
1．计算
（1） (2)
2．若，求的值.
-1
0
1
