人教版八年级数学上册一课一练13.4 课题学习 最短路径问题(word版，含答案解析）

人教版八年级数学上册13.4
课题学习
最短路径问题
一、选择题（共16小题；共80分）
1.
如图，直线
是一条河，，
两地相距
千米，，
两地到
的距离分别为
千米，
千米，欲在
上的某点
处修建一个水泵站，向
，
两地供水，现有如图所示的四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是
A.
B.
C.
D.
2.
如图，在等边三角形
中，
边上的高
，
是高
上的一个动点，
是边
的中点，在点
运动的过程中，存在
的最小值，则这个最小值是
A.
B.
C.
D.
3.
如图，把一副常用的三角板如图所示拼在一起，那么图中
的度数为
A.
B.
C.
D.
4.
如图所示，等边
的边长为
，
是
的平分线
上一点，
是
边上的一个动点，则
的最小值为
A.
B.
C.
D.
5.
直线
是一条河，，
是两个村庄，欲在
上的某处修建一个水泵站，向
，
两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是
A.
B.
C.
D.
6.
如图，直线
表示一条河，点
、
表示两个村庄，计划在
上的某处修建一个水泵向两个村庄供水．在下面四种铺设管道的方案中，所需管道最短的方案是
（图中实线表示铺设的管道）
A.
B.
C.
D.
7.
如图，，，
分别是边
，
上的定点，，
分别是边
，
上的动点，记
，，当
最小时，则关于
，
的数量关系正确的是
A.
B.
C.
D.
8.
如图，四边形
中，，，，
分别是
，
上的点，当
的周长最小时，
的度数为
A.
B.
C.
D.
9.
如图，点
是
内任意一点，且
，点
和点
分别是射线
和射线
上的动点，当
周长取最小值时，则
的度数为
A.
B.
C.
D.
10.
如图，，
内有一定点
，且
，在
上有一动点
，
上有一动点
．若
周长最小，则最小周长是
A.
B.
C.
D.
11.
如图，，点
是
内任意一点，，点
和点
分别是射线
和射线
上的动点，若
周长的最小值是
，则
的值是
A.
B.
C.
D.
12.
如图，已知直线
，且
与
之间的距离为
，点
到直线
的距离为
，点
到直线
的距离为
，．试在直线
上找一点
，在直线
上找一点
，满足
且
的长度最短，则此时
A.
B.
C.
D.
13.
如图，在
中，，，，
为
上一点，且
，
平分
交
于
．若
是
上的动点，则
的最小值等于
A.
B.
C.
D.
14.
如图，直线
是一条河，，
是两个村庄．欲在
上的某处修建一个水泵站，向
，
两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是
A.
B.
C.
D.
15.
如图，正
的边长为
，过点
的直线
，且
与
关于直线
对称，
为线段
上一动点，则
的最小值是
A.
B.
C.
D.
16.
如图，在
中，，，
是
的两条中线，
是
上一个动点，则下列线段的长度等于
最小值的是
A.
B.
C.
D.
二、填空题（共5小题；共25分）
17.
如图，等边
的边长为
，
是
边上的中线，
是
边上的动点，
是
边上一点．若
，当
取得最小值时，则
的度数为
?．
18.
如图：点
为
内一点，分别作出
点关于
、
的对称点
，，连接
交
于
，交
于
，，则
的周长为
?．
19.
如图，在
中，
边上的垂直平分线
交边
于点
，交边
于点
．若
的周长为
，
与四边形
的周长之差为
，则线段
的长为
?．
20.
如图，是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个"半圆柱"而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为
的半圆，其边缘
，小明要在
上选取一点
，能够使他从点
滑到点
再到点
的滑行距离最短，则他滑行的最短距离为
?
．（
取
）
21.
在平面直角坐标系
中，点
，，当点
在第一象限，且坐标为
?
时，
为等腰直角三角形．
三、解答题（共3小题；共45分）
22.
用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
如图所示，某汽车探险队要从
城穿越沙漠到
城，途中需要到河流
边为汽车加水，则汽车在河边哪一点加水，才能使行驶的总路程最短?请你在图上画出这一点．
23.
如图，在旷野上，一个人骑着马从
到
，半路上他必须先到河岸
的
点去让马饮水，然后在让马到河岸
的
点再次饮水，最后到达
点，他应该如何选择饮马地点
、
，才能使所走的路程的
为最短?（
假定河岸
、
是直线）
24.
如图，已知平面直角坐标系中，，
两点的坐标分别为
，．
（1）若
是
轴上的一个动点，则当
?
时，
的周长最短．
（2）若
，
是
轴上的两个动点，则当
?
时，四边形
的周长最短．
（3）设
，
分别为
轴和
轴上的动点，请问：是否存在这样的点
，，使四边形
的周长最短?若存在，请写出
和
的值；若不存在，请说明理由.
答案
第一部分
1.
B
2.
B
【解析】连接
，
等边
中，
是
边上的高线，即
垂直平分
，
，
当
，，
三点共线时，，
等边
中，
是
边的中点，
，
的最小值为
．
3.
D
4.
B
5.
D
6.
D
7.
D
8.
D
【解析】作
关于
和
的对称点
，，连接
，交
于
，交
于
，则
即为
的周长最小值．作
延长线
.
，
.
.
.
，，
.
.
9.
B
【解析】分别作点
关于
，
的对称点
，，连接
，分别交
，
于点
，，如图所示：
此时
的周长取最小值．
，
，
，
，，
，
，
．
10.
B
【解析】设
，则
，作
与
相交于
，并将
延长一倍到
，即
，
作
与
相交于
，并将
延长一倍到
，即
，
连接
与
相交于
，与
相交于
，再连接
，，连接
，，则
即为周长最短的三角形，
是
的垂直平分线，
；
同理，
是
的垂直平分线，
，
的周长
，
，且
，
是等边三角形，
，即在保持
的条件下
的最小周长为
．
11.
B
12.
B
13.
D
【解析】如图，作点
关于
的对称点
，连接
交
于
，连接
，此时
的值最小，作
于
．
，，，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
14.
D
15.
A
【解析】如图所示.
过点
作
的对称点
，连接
，与
的延长线交于点
.
此时，
为最小值
.
点
在线段
上，
点
在点
处.
的最小值为
．
16.
B
【解析】如图连接
，
，，
，
，
，
，
，，
共线时，
的值最小，最小值为
的长度．
第二部分
17.
【解析】如图，
取
的中点
，连接
交
于点
，
因为等边
的边长为
，，
所以点
是
的中点，
所以点
和点
关于
对称，
此时
最小，
根据等边三角形的性质可知：．
所以
的度数为
．
18.
19.
20.
【解析】其侧面展开图如图：作点
关于
的对称点
，连接
．
中间可供滑行的部分的截面是半径为
的半圆，
．
．
在
中，．
21.
，，
第三部分
22.
如下图所示，本题可以进行数学建模，即在直线
上作一点
，使它到同侧点
，
的距离之和最小．
作法：作点
关于直线
的对称点
，连接
，则
与直线
的交点
即为所求的点．
23.
如图，分别作
点关于直线
的对称点
、
点关于直线
的对称点
，连接
，分别交
于点
，交
于点
，连接
、
，所以路程
最短．
24.
（1）
如图点
即为所求.
．
【解析】直线
的解析式为
.
??????（2）
如图点
即为所求.
．
【解析】直线
的解析式为
.
??????（3）
如图点
，
即为所求.
，．
【解析】直线
的解析式为
.
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