陕西省黄陵中学2021届高三（高新部）上学期期中考试数学（理）试题 Word版含答案

黄陵中学2020-2021学年度第一学期
高新高三数学（理）期中考试试题
选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A＝{0,2,3,5},B={2,3,4,5}，则(　　)
A．{2,3,5}
B．{0,3,5}
C．{0,2,5}
D．{0,2,3}
设x∈R，则“3－x≥0”是“|x－1|≤1”的(　　)
A．必要不充分条件
B.
充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，c＝2，cos
A＝，则b＝(　　)
A.
B.3
C．2
D．
4．“?x∈R，x2－πx≥0”的否定是(　　)
A．?x∈R，x2－πx<0
B．?x∈R，x2－πx≤0
C．?x0∈R，x－πx0<0
D．?x∈R，x－πx0≤0
5.下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg
x的定义域和值域相同的是(　　)
A．y＝x
B．y＝
C．y＝2x
D．y＝lg
x
6．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是(　　)
A．[－2，2]
B．[－1，1]
C．
[1，3]
D．[0，4]
7.若函数f(x)＝则f(f(－1))＝(　　)
A．
B.
C.2
D．log37
8．函数y＝2|x|sin
2x的图象可能是(　　)
9.函数f(x)＝ln
x－的零点所在的区间为(　　)
A．(0，1)
B．(2，3)
C．(1，2)
D．(3，4)
10．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)
11.已知sin＝，则cos的值等于(　　)
A.－
B.
C．
D．－
12.已知函数f(x)＝－2cos
ωx(ω>0)的图象向
左平移φ个单位，所得的部分函数
图象如图所示，则φ的值为(　　)
A.
B.
C.
D.
填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13．已知集合A＝{x|x2－5x－14≤0}，集合B＝{x|m＋114．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝________．
15．在△ABC中，若b＝a，B＝2A，则△ABC为________三角形．
16．由抛物线y2＝2x与直线y＝x－4围成的平面图形的面积为________.
解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
(本小题满分10分)
设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，q：实数x满足|x－3|<1.
若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
18．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝excos
x－x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
19．(本小题满分12分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝，sin
B＝3sin
C.
(1)求tan
C的值；
(2)若a＝，求△ABC的面积．
20.（本小题12分）
设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间上的最大值
21.（本小题12分）
已知函数f(x)＝4cos
ωx·sin(ω>0)的最小正周期是π.
(1)求函数f(x)在区间(0，π)上的单调递增区间；
(2)求f(x)在上的最大值．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax＋ln
x，x∈[1，e]．
(1)若a＝1，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
A
B
C
B
C
C
D
C
D
C
B
17．(本小题满分10分)解：(1)由x2－4ax＋3a2<0得(x－3a)(x－a)<0，
当a＝1时，1由|x－3|<1得－1即q为真时，实数x的取值范围是2若p∧q为真，则p真且q真，
所以实数x的取值范围是218．(本小题满分12分)解：(1)因为f(x)＝excos
x－x，所以f(0)＝1，
f′(x)＝ex(cos
x－sin
x)－1，所以f′(0)＝0，
所以y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(2)f′(x)＝ex(cos
x－sin
x)－1，令g(x)＝f′(x)，
则g′(x)＝－2sin
x·ex≤0在上恒成立，且仅在x＝0处等号成立，
所以g(x)在上单调递减，
所以g(x)≤g(0)＝0，所以f′(x)≤0且仅在x＝0处等号成立，
所以f(x)在上单调递减，
所以f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f＝－.
19．(本小题满分12分)
解：(1)因为A＝，所以B＋C＝，故sin＝3sin
C，所以cos
C＋sin
C＝3sin
C，
即cos
C＝sin
C，得tan
C＝.
(2)由＝，sin
B＝3sin
C，得b＝3c.
在△ABC中，由余弦定理，得
a2＝b2＋c2－2bccos
A＝9c2＋c2－2×(3c)×c×＝7c2，又因为a＝，所以c＝1，b＝3，
所以△ABC的面积为S＝bcsin
A＝.
20（本小题12分）
解：(1)因为f(1)＝2，
所以loga4＝2(a＞0，a≠1)，
所以a＝2.
由得－1＜x＜3，
所以函数f(x)的定义域为(－1，3)．
(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)
＝log2[(1＋x)(3－x)]
＝log2[－(x－1)2＋4]，
所以当x∈(－1，1]时，f(x)是增函数；
当x∈(1，3)时，f(x)是减函数，
故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.
21.（本小题12分）
解：(1)f(x)＝4cos
ωx
＝2sin
ωxcos
ωx－2cos2
ωx＝sin
2ωx－cos
2ωx－1
＝2sin－1，
因为f(x)的最小正周期为π，所以T＝＝π.又ω>0，所以ω＝1，
所以f(x)＝2sin－1.
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，
得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
所以函数f(x)在(0，π)上的单调递增区间为和.
(2)当∈时，2x∈，≤2x－≤.
当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值1.
22．(本小题满分12分)
解：(1)若a＝1，则f(x)＝x＋ln
x，
f′(x)＝1＋＝.
因为x∈[1，e]，所以f′(x)>0，所以f(x)在[1，e]上为增函数，所以f(x)max＝f(e)＝e＋1.
(2)依题意，不等式ax＋ln
x≤0对x∈[1，e]恒成立，
等价于a≤－，x∈[1，e]恒成立．
令g(x)＝－，x∈[1，e]，
则g′(x)＝，
因为x∈[1，e]，所以g′(x)≤0，
所以g(x)在[1，e]上单调递减，
所以g(x)min＝g(e)＝－，所以a≤－.
所以实数a的取值范围是.