第2章
三角形
2.1
三角形
第1课时
三角形的有关概念及三边关系
【知识与技能】
1.理解三角形的有关概念.
2.掌握三角形的三边关系，并运用三角形的三边关系解决相关问题.
【过程与方法】
通过观察、操作、想象、推理、交流等活动,发展空间观念、推理能力和有条理的表达能力.
【情感态度】
学生通过观察、操作、交流和反思,获得必需的数学知识,激发学生的学习兴趣.
【教学重点】
三角形的有关概念.
【教学难点】
三角形三条边关系的应用.
一、情景导入，初步认知
观察下列图片，找一找图中的三角形，并把它们勾画出来.你还能列举生活中的一些实例吗？
【教学说明】通过观察图片、找三角形、举例等活动，为认识三角形概念、表示法、三要素、边的关系的学习奠定了基础.
二、合作探究，探索新知
1.什么样的图形是三角形？
【归纳结论】不在同一直线上的三角形线段首尾相接所构成的图形叫作三角形.
三角形可用符号“△”来表示，如图：
这个三角形可记作“△ABC”，读作“三角形ABC”.其中，点A,B,C叫作△ABC的顶点；∠A,∠B,∠C叫作△ABC的内角（简称△ABC的角）；线段AB,BC,CA叫作△ABC的边.通常∠A,∠B,∠C的对边BC,AC,AB可分别用a,b,c来表示.
2.三角形从“角”的角度来看，可分为哪些三角形？三角形从“边”的角度来看，有哪些特殊的三角形呢？
【归纳结论】两条边相等的三角形叫做等腰三角形.在等腰三角形中，相等的两边叫作腰，另外一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角.
三边都相等的三角形叫作等边三角形（或正三角形）.等边三角形是特殊的等腰三角形.
3.警察抓劫匪（一名罪犯实施抢劫后，经AB——BC的路线往山上逃窜.警察为了能尽快抓到逃犯，经路线AC追赶，终于在山顶上将罪犯捉拿归案.）
警察为什么能在这么短的时间内抓到罪犯呢？（学生各抒已见）
【归纳结论】三角形两边之和大于第三边.
4.做一做：有三根木棒，其长度分别为2
cm,3
cm,6
cm,它们能否首尾相接构成一个三角形？
三、运用新知，深化理解
1.教材P43例1.
2.三条线段的长度分别为：
(1)3cm、4cm、5cm
；
(2)8cm、7cm、15cm；
(3)13cm、12cm、20cm;
(4)5cm、5cm、11cm；
能组成三角形的有（B）组.
A.1
B.2
C.3
D.4
3.现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（B）.
A.1
B.2
C.3
D.4
4.已知三条线段的比是:①1∶3∶4;②1∶2∶3;③1∶4∶6;④3∶3∶6;⑤6∶6∶10;⑥3∶4∶5.其中可构成三角形的有(B)
A.1
个
B.2
个
C.3
个
C.4
个
5.已知等腰三角形的两边长分别为
3
和
6,则它的周长为(C)
A.9
B.12
C.15
D.12
或
15
6.已知一个三角形的两边长分别是3cm和4cm，则第三边长x的取值范围是1.若x是奇数，则x的值是
3、5
，这样的三角形有
2
个；若x是偶数，则x的值是
2、4、6
，这样的三角形又有3
个.
7.已知一个三角形的两边长分别是4cm、7cm，则这个三角形的周长的取值范围是什么？
解：根据三角形三边的关系可知，
3<第三条边<11
所以三角形的周长大于：4+7+3
三角形的周长小于：4+7+11
即三角形的周长的取值范围是大于14小于22.
8.已知等腰三角形的两边长分别为
4,9,求它的周长.
解：因为三角形是等腰三角形，
所以，当腰长为4时，三角形的三边分别为：4、4、9，而4+4<9
所以不能构成一个三角形，应舍去.
当腰长为9时，三角形的三边分别为：9、9、4，
4+9>9
所以能构成一个三角形.
即周长为22.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充
布置作业:教材“习题2.1”中第1、2、6
题.
我在练习设计上主要采用了层层深入的原则，先是基础知识的练习；然后用三角形的知识解决实际问题；最后增加拓展延伸题，让优等生在这个知识点上的学习更进一步.而每一道题都运用了本节课的知识，每一道题目的呈现方式又都不同.这样既能让后进生跟得上，又能让优等生吃得饱，从而让全班同学共同进步.
从练习反馈中发现学生易错点，犯错的原因主要是学生未能认真审题.所以在以后审题教学中要重视抓关键词、培养审题习惯，提高解题效率.
1第2课时
三角形的高、中线、角平分线
【知识与技能】
1.掌握三角形有关的线段的概念及定理.
2.会画出任意三角形的角平分线、中线、高线，特别注意钝角三角形高的画法.
【过程与方法】
通过观察、操作、想象、推理、交流等活动,发展空间观念、推理能力和有条理的表达能力.
【情感态度】
学生通过观察、操作、交流和反思,获得必需的数学知识,激发学生的学习兴趣.
【教学重点】
三角形有关线段的概念及画法.
【教学难点】
结合三角形有关线段的定义探索相应的规律结论.
一、创设情境，导入新课
如图，试画出图中△ABC边上的高.
二、合作探究，探索新知
三角形中还有哪些特殊的线段呢？
①从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点到垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.如下图：
线段AH是△ABC的BC边上的高.
做一做：试画出△ABC的BC边上的高.
想一想：一个三角形有几条高？你能画出其它的高吗？
②在三角形中，一个角的角平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.如下图：
∠BAD=∠CAD,则线段AD是△ABC的一条角平分线.想一想：一个三角形有几条角平分线？你能画出其它的角平分线吗？
③在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线.如下图：
BE=EC，则线段AE是△ABC的BC边上的中线.
做一做：任意画出一个三角形，画出三边上的中线.你发现了什么？
【归纳结论】三角形的三条中线相交于一点，我们把这三条中线的交点叫作三角形的重心.
【教学说明】使学生通过画、折等实践操作活动理解三角形的中线、角平分线、高的概念和交点情况，并培养学生动手操作能力，自主探索、合作交流，发现三角形的三条角平分线交于一点的规律，体现了知识的获得不是教师传授的，而是学生自己探索得到的.
三、运用新知，深化理解
1.教材P45例2.
2.三角形的角平分线是（
C
）
A.直线
B.射线
C.线段
D.不确定
3.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（
B
）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.锐角三角形
4.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿直线AC翻折180°,使点B
落在点B′的位置,则线段AC是（
D
）
A.边BB′上的中线
B.边BB′上的高
C.∠BAB′的角平分线
D.以上答案都正确
5.如图，∠ACE=∠BCE.BD=CD，指出图中三角形的特殊线段.
解：CE是△ABC的角平分线.
AD是△ABC的中线.
ED是△EBC的中线.
CF是△ACD的角平分线.
6.如图，△ABC中，AD是角平分线，BE是中线，指出图中相等的线段和相等的角.
解：相等的线段有：AE=CE.
相等的角有：∠BAD=∠DAC.
【教学说明】通过练习及解决课前问题，进一步提高学生知识应用的能力.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结，教师作以补充.
布置作业:教材“习题2.1”中第3、4题.
本课时教学以“自主探究——合作交流”为主体形式，先给学生独立思考的时间，提供学生创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会，培养学生独立探究，合作学习的能力．
1第3课时
三角形的内角和与外角
【知识与技能】
1.掌握三角形内角和定理.
2.掌握三角形的内角与外角的关系.
【过程与方法】
通过观察、操作、讨论等活动，培养学生的动手实践能力和语言表达能力；通过小组合作学习，培养集体协作学习的能力及概括能力.
【情感态度】
让学生在自主参与、合作交流的活动中，体验成功的喜悦，树立自信，激发学习数学的兴趣.
【教学重点】
三角形内角和定理.
【教学难点】
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
一、创设情境，导入新课
我们都知道一个三角形的三个内角的和为180°，你知道三角形的内角和为什么是180°呢？
【教学说明】通过问题，提高学生的学习兴趣.
二、合作探究，探索新知
1.每个学生画出一个三角形，并将它的内角剪下，分小组做拼角实验，能否拼出一个角的和为180°.为什么是180°?通过小组合作交流，讨论有几种拼合方法？
开展小组竞赛（看哪个小组的发现多？说明清楚.），各小组派代表展示拼图，并说出理由.
2.你能运用几何证明的方法证明三角形的三个内角的和为180°吗？试一试.
【教学说明】学生通过动手拼图，再通过证明，总结出三角形的三个内角和是180°，能够加深理解.
3.议一议：一个三角形的三个内角中，最多有几个直角？最多有几个钝角？
4.直角三角形可用符号“Rt△”来表示，例如直角三角形ABC可以记作“Rt△ABC”,在直角三角形中，夹直角的两边叫作直角边，直角边的对边叫作斜边.两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形.
5.三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角，如下图中∠ACD是∠ACB的一个外角，它与内角∠ACB相邻.
6.探究：在图中，外角∠ACD和∠A、∠B之间有什么大小关系？
【归纳结论】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
【教学说明】通过证明，加深对定理的理解.
三、运用新知，深化理解
1.判断：
（1）一个三角形的三个内角可以都小于60°.（
×
）
（2）一个三角形最多只能有一个内角是钝角或直角.
（
√
）
2.已知AB∥CD，∠A=60°，∠C=25°，则∠E等于（C）
A.60°
B.25°
C.35°
D.45°
第2题图
3.如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=110°，则∠A=（B）
A.50°
B.40°
C.70°
D.35°
第3题图
4.观察三角形，并把它们的标号填入相应的括号内：
锐角三角形（3
、5）
直角三角形（1、4、6）
钝角三角形（2、7）
5.在△ABC中：
①∠A=35°∠C=90°
则∠B=55°
②∠A=50°∠B=∠C
则∠B=65
°
③∠A∶∠B∶∠C=3∶2∶1
则△ABC是直角三角形
.
④∠A－∠C
=35°，∠B－∠C
=10°，
则∠B
=55°
.
6.在△ABC中∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.
解：△ABC中,设∠A=x,则∠C=∠ABC
=2x
x+2x+2x=180°(三角形内角和为180°)
∴得∠C=2x=72°
在△BCD
中,∠BDC=90°
则∠DBC
=90°-∠C=18°
7.
如图，△ABC中，∠A=50°，点D，E分别在AB，AC上，则∠1+∠2为多少度？
解：∵△ABC中，∠A=50°，
∴∠AED+∠ADE=130°，
∴∠1+∠2=360°-（∠AED+∠ADE）=230°.
8.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为多少度？
【分析】如图连接CE，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和∠1=∠A+∠B=∠2+∠3，在△DCE中有∠D+∠2+∠DCB+∠3+∠AED=180°，即可得∠D+∠A+∠DCB+∠B+∠AED=180°．
解：如图连接CE，根据三角形的外角性质得
∠1=∠A+∠B=∠2+∠3，
在△DCE中有，
∠D+∠2+∠DCB+∠3+∠AED=180°，
∴∠D+∠A+∠DCB+∠B+∠AED=180°．
【教学说明】通过练习巩固本节课所学的内容.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
布置作业:教材“习题2.1”中第4、5、7
题.
在教学过程中学生在教师创设的情境下，自己动手操作、动脑思考、动口表达、探索未知领域、寻找客观真理、成为发现者，学生自始至终地参与这一探索过程，发展了学生的创新精神和实践能力．通过有条理的表达“三角形内角和为180°”的拼图及“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”的证明过程，为今后的几何证明打下基础．
1
