2.2命题与证明
第1课时
定义、命题
【知识与技能】
了解命题、定义的含义；对命题的概念有正确的理解.会区分命题的条件和结论.
【过程与方法】
学生通过本节课内容的学习,使学生经历定义的产生过程,感受定义的必要性.同时对命题的含义有初步的体验.体验区分命题的条件和结论的重要性和必要性.
【情感态度】
通过与学生的交流互动,营造愉快、和谐的课堂氛围,积极鼓励学生参与活动,使学生感受到学习数学的快乐,培养学生主动探索数学知识的积极态度.
【教学重点】
找出命题的条件（题设）和结论.
【教学难点】
命题概念的理解.
一、情景导入，初步认知
父子对话
子：爸爸，什么是法律？
父：法律就是法国的律师.
子：那什么是法盲呢？
父：法盲就是法国的盲人.
（学生听后，大笑）
同学们为什么笑呢？
［生］父子俩对概念理解不清.
［师］同学们说得都很好，由于父子俩对法律、法盲的定义不理解，因而闹出了笑话，所以对某些特殊名称或术语，我们需要给出它们的定义.
这节课我们就要共同来研究“定义与命题”.
【教学说明】巧设现实情境，引入新课.
二、思考探究，获取新知
1.我们学习了许多有关三角形的概念，你能列举出一些与三角形有关的概念吗？
【归纳结论】对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规定的语句叫作这个概念的定义.如“把数与表示数的字母用运算符号连接而成的式子叫作代数式”是代数式的定义.
【教学说明】教给学生获取知识的方法和途径,让学生的学习可持续发展.
2.说一说“方程”、“三角形的角平分线”的定义.
3.下列叙述事情的语句中，哪些对事情作出了判断？
（1）三角形的内角和等于180°；
（2）如果|a|=3，那么a=3;
（3）1月份有31天；
（4）作一条线段等于已知线段；
（5）一个锐角与钝角互补吗？
【归纳结论】一般地，对某一件事情作出判断的语句（陈述句）叫作命题.
4.观察：下列命题的表述形式有什么共同点？
（1）如果a=b,且b=c,那么a=c;
（2）如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角.
在数学中，许多命题是由题设（或已知条件）、结论两部分组成的.题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，这样的命题常可写成“如果……，那么……”的形式.用“如果”开始的部分就是题设，而用“那么”开始的部分就是结论.
5.做一做,指出下列命题的条件与结论，并改写成“如果…，那么…”的形式：
①能被2整除的数是偶数.
②有公共顶点的两个角是对顶角.
③两直线平行，同位角相等.
④同位角相等，两直线平行.
上述命题③与④的条件与结论之间有什么关系？
【归纳结论】对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作逆命题.
【教学说明】学生感受命题中条件和结论的存在.使学生心中的命题结构化.为后面的题设、结论的认识、区分,更为命题的改写作铺垫.
三、运用新知，深化理解
1.下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？
（1）对顶角相等；
（2）画一个角等于已知角；
（3）两直线平行，同位角相等；
（4）a、b两条直线平行吗？
（5）高个的李明明;
（6）玫瑰花是动物;
（7）若a2＝4，求a的值;
（8）若a2＝b2，则a＝b.
2.下列语句中，哪些是命题?哪些不是命题?
(1)若a(2)三角形的三条高交于一点；
(3)在ΔABC中，若AB>AC，则∠C>∠B吗?
(4)两点之间线段最短；
(5)解方程x2-2x-3=0；
(6)1＋2≠3.
3.指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式：
（1）三条边对应相等的两个三角形全等；
解：条件是：两个三角形的三条边对应相等；结论是：这两个三角形全等.
改写成：如果两个三角形有三条边对应相等，那么这两个三角形全等.
（2）在同一个三角形中，等角对等边；
解：条件是：同一个三角形中的两个角相等；结论是：这两个角所对的两条边相等.
改写成：如果在同一个三角形中，有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.
（3）对顶角相等.
解：条件是：两个角是对顶角；结论是：这两个角相等.
改写成：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.
(4)同角的余角相等；
解：条件是：两个角是同一个角的余角；结论是：这两个角相等.
改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等.
(5)三角形的内角和等于180°；
解：条件是：三个角是一个三角形的三个内角；结论是：这三个角的和等于180°.
改写成：如果三个角是一个三角形的三个内角，那么这三个角的和等于180°.
(6)角平分线上的点到角的两边的距离相等．
解：条件是：一个点在一个角的平分线上；结论是：这个点到这个角的两边距离相等.
改写成：如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等.
4.写出下列命题的逆命题.
（1）直角三角形两个锐角互余.
（2）两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
【教学说明】巩固所学知识，培养学生独立思考的习惯.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
布置作业:教材P52“练习”.
在教学中，学生对定义与命题的把握还是比较清楚的.大部分学生可以口头完成导学案设计的题目.能够迅速地把一个命题转化成“如果……那么……”的形式.利用疑问句和祈使句的特点,判定二者不是命题的语句.学生的掌握情况还是比较可观的.
1第2课时
真命题、假命题与定理
【知识与技能】
了解命题、公理
、定理的含义；理解证明的必要性.
【过程与方法】
通过对真假命题的判断，培养学生科学严谨的学习方法.
【情感态度】
初步感受公理化方法对数学发展和人类文明的价值.
【教学重点】
判断一个命题的真假.
【教学难点】
正确认识公理、定理、命题（真命题）和定义的区别.
一、创设情境，导说新课
将“等角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式，并写出它的逆命题.
【教学说明】复习上节课的内容，为本节课的教学作准备.
二、思考探究，获取新知
1.议一议：下列命题中，哪些正确？哪些错误？并说明理由.
（1）每一个月都有31天；
（2）如果a是有理数，那么a是整数；
（3）同位角相等；
（4）同角的补角相等.
【归纳结论】我们把正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题.
要判断一个命题是真命题，常常要从命题的条件出发，通过讲道理，得出其结论成立，从而判断这个命题为真命题，这个过程叫证明.
要判断一个命题是假命题，只需要举出一个反例，它符合命题的条件，但不满足命题的结论，从而就可判断这个命题为假命题.我们把这种方法称为“举反例”.
2.以学生同桌为单位进行操练，一人负责说命题，然后另一个人来回答是真命题还是假命题，并要有适当的理由，然后反过来.
【教学说明】当遇到有不能解决的问题，或产生争论的时候，可以请老师裁决.
3.说一说:判断下列命题为真命题的依据是什么？
（1）如果a是整数，那么a是有理数.
（2）如果△ABC是等边三角形，那么△ABC是等腰三角形.
【归纳结论】人类经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据.这样公认为正确的命题叫做公理.
我们把经过证明为真的命题叫做定理.定理也可以作为判断其他命题真假的依据.由某些定理直接得出的真命题叫作这个定理的推论.
4.“如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2”是真命题吗？它的逆命题是什么？其逆命题是真命题吗？
【归纳结论】如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原命题的逆定理，这两个定理叫作互逆定理.
5.你能举出一对互逆定理吗？
【教学说明】学生小组合作交流、回答.
三、练习反馈，巩固提高
1.下列的命题中，哪些是真命题?哪些是假命题?请说明理由：
(1)对顶角相等；
(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
(3)三条直线两两相交，必有三个交点；
(4)若两个三角形的两边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等；
(5)“-a”是负数.
解：略.
2.“两点之间，线段最短”这个语句是（A）
A.定理
B.公理
C.定义
D.只是命题
3.“同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个语句是（C）
A.定理
B.公理
C.定义
D.只是命题
4.下列命题中，属于定义的是（D）
A.两点确定一条直线
B.同角的余角相等
C.两直线平行，内错角相等
D.点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度
5.下列句子中，是定理的是（E），是公理的是（B
），是定义的是（D）.
A.若a=b，b=c，则a=c；
B.对顶角相等；
C.全等三角形的对应边相等，对应角相等；
D.有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形；
E.两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.
6.下面命题中：
（1）旋转不改变图形的形状和大小.
（2）轴反射不改变图形的形状和大小.
（3）连接两点的所有线中，线段最短.
（4）三角形的内角和等于180°.
属于公理的有（C）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
7.下面关于公理和定理的联系说法不正确的是（B）
A.公理和定理都是真命题.
B.公理就是定理，定理也是公理.
C.公理和定理都可以作为推理论证的依据.
D.公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明.
8.仔细观察下面推理，填写每一步用到的公理或定理.
如图：在平行四边形ABCD中，CE⊥AB，E为垂足，如果∠A=125°，求∠BCE.
解：∵四边形ABCD是平行四边形(已知)
∴AD∥BC（
）
∵∠A=125°（已知）
∴∠B=180°-125°=55°（
）
∵△BEC是直角三角形（已知）
∴∠BCE=90°-55°=35°(
)
答案：平行四边形对边平行；两直线平行，同旁内角互补；直角三角形两锐角互余.
【教学说明】学生尝试解题，师生共同评价，巩固所学知识.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
布置作业:教材P55“练习”.
新课程的教学告诉我们，在学生进行数学学习的过程中，要对学生进行合理的评价，这就是要关注学生数学学习的水平，更要关注它们在数学学习过程中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我，建立信心.
1第3课时
证明与反证法
【知识与技能】
了解证明的含义.
【过程与方法】
通过证明步骤中由命题画出图形，写出已知、求证的过程，继续训练学生由几何语句正确画出几何图形的能力.
【情感态度】
让学生体验从实验几何向推理几何的过渡.
【教学重点】
证明的含义和表述格式.
【教学难点】
如何构造一个反例去证明一个命题是错误的.
一、情景导入，初步认知
1.一般地，判断一件事情正确或不正确的句子叫做命题，命题分为真命题与假命题.
2.说明一个命题是假命题，通常只用找出一个反例，但要说明一个命题是真命题，就必须用推理的方法，而不能光凭一个例子.
3.判断下列命题的真假
（1）有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形.（真命题）
（2）素数不可能是偶数.（假命题）
（3）黄皮肤和黑皮肤的人都是中国人.（假命题）
（4）有两个外角(不同顶点)是钝角的三角形是锐角三角形.（假命题）
（5）若y(1-y)=0，则y=0.（假命题）
【教学说明】复习上节课的内容，为本节课的教学作准备.
二、思考探究，获取新知
1.做一做：采用剪拼或度量的方法，猜测“三角形的外角和”等于多少度.
此时，猜测出的命题仅仅是一种猜想，未必都是真命题，要确定这个命题是真命题，还需要通过推理的方法加以证明.
【教学说明】在实验几何中，常让学生通过观察、实验和归纳得出结论.增加学生的感官感受.使学生感受到凭实验、观察和归纳得出的结论不一定正确，使学生感受到直观是重要的，但有时也会欺骗人，这时就需要通过逻辑推理来判断，从而让学生理解证明的必要性.
2.证明命题“三角形的外角和等于360°”是真命题.
已知：如图，∠BAF,∠CBD,∠ACE分别是△ABC的三个外角.
求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°
证明：由题意得，在△ABC中
∠1+∠2+∠3＝180°
∵∠BAF+∠1=180°
∠CBD+∠2=180°
∠ACE+∠3=180°
故
∠BAF+∠CBD+∠ACE+∠1+∠2+∠3=180°+180°+180°＝540°
则
∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°
【教学说明】引导学生写出证明过程.
【归纳结论】证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤：
①画出图形；
②写出已知、求证；
③写出证明的过程.
3.已知：∠A,∠B,∠C是△ABC的内角.求证：∠A,∠B,∠C中至少有一个角大于或等于60°.
分析：这个命题的结论是“至少有一个”，也就是说出现“有一个”、“有两个”、“有三个”这三种情况，如果直接证明，比较困难，因此，我们将从另外一个角度来证明.
证明：假设∠A,∠B,∠C中没有一个角大于或等于60°.
则∠A+∠B+∠C<180°
这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，所以假设不正确.
因此，∠A,∠B,∠C中至少有一个角大于或等于60°.
【归纳结论】先假设命题不成立，然后利用命题的条件或结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确，这种证明方法称为反证法.
三、运用新知，深化理解
1.教材P57例1.
2.如图，BC⊥
AC于点C，CD⊥AB于点D，E是AC延长线上一点，连接BE，∠EBC=∠A，求证：BE∥CD
证明：∵BC⊥AC(已知)
∴∠ACD+∠BCD=90°(垂直的定义)
∵CD⊥AB
(已知)
∴∠A+∠ACD=90°（直角三角形的两锐角和为90°）
∴∠A=∠BCD（同角的余角相等）
又∵∠EBC=∠A（已知）
∴∠
EBC=∠BCD
∴BE∥CD（内错角相等，两直线平行）
3.已知如图，在△ABC中，CH是外角∠ACD的角平分线，BH是∠ABC的角平分线,
∠A=58°.求∠H的度数.
解：∵∠A=58°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-58°=122°…①，
∵BH是∠ABC的角平分线，
∴∠HBC=12∠ABC，
∵∠ACD是△ABC的外角，CH是外角∠ACD的角平分线，
∴∠ACH=12（∠A+∠ABC），
∴∠BCH=∠ACB+∠ACH=∠ACB+
12（∠A+∠ABC），
∵∠H+∠HBC+∠ACB+∠ACH=180°，
∴∠H+12∠ABC+∠ACB+12（∠A+∠ABC）=180°，即∠H+（∠ABC+∠ACB）+12∠A=180°…②，
把①代入②得，∠H+122°+12×58°=180°，
∴∠H=29°.
4.已知：三条直线a、b、c，其中a∥b，b∥c，求证：a∥c.
解：假设a与c不平行，那么就会相交.因为a∥b，
所以a，b永不相交，
同理，b，c也永不相交，
又因为a、b、
c在同一平面内，且互不重合，
所以a与c不会相交，即假设不成立.
所以a∥c.
5.已知：如图，P是△ABC内任一点，求证：∠BPC＞∠A．
证明：如图，延长BP交AC于D．
∵∠BPC＞PDC，
∠PDC＞∠A，
∴∠BPC＞∠A．
6.求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
已知：△ABC，求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°.
则∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°，
∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°，
即∠A+∠B+∠C>180°，
这与三角形的内角和为180°矛盾．假设不成立．
∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
【教学说明】巩固本节课所学的内容.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
布置作业:教材“习题2.2”中第6、7、9题.
反证法不仅能提高学生的演绎推理能力，而且在后续的学习中有着不可忽视的作用，虽然在初中教材中所占篇幅很少，但本人认为不应轻视，应让学生掌握其精髓，合理地去运用.
整节课的教学设计适合学生学习，切合教材与新课程要求，教学流程设计清晰流畅，教学效果良好.
但课堂容量较大，学生预习不够充分，时间不够用，学生没有足够的时间去思考，在一些环节的处理上存在粗糙的问题，有些问题还没有进行深层次地挖掘，下一节课还需进一步巩固提高.
4
