2.3
等腰三角形
第1课时
等腰（边）三角形的性质
【知识与技能】
能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理.
【过程与方法】
经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生初步的演绎逻辑推理的能力.
【情感态度】
启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系.
【教学重点】
探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法.
【教学难点】
明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等.
一、情景导入，初步认知
我们在前面已经学习了三角形的一些性质，那么等腰三角形除了具有一般三角形的性质外，还具有哪些性质呢？
【教学说明】明确本节课所要学习的内容，提高学生学习的兴趣.
二、合作探究，探索新知
1.探究：任意画一个等腰三角形ABC，其中AB=AC,如图，
作△ABC关于顶角平分线AD所在直线的轴反射，由于∠1=∠2，AB=AC，因此：
射线AB的像是射线AC,射线AC的像是射线AB
；
线段AB的像是线段AC,线段AC的像是线段AB
；
点B的像是点C，点C的像是点B
；
线段BC的像是线段CB.
从而等腰三角形ABC关于直线AD
对称.
由于点D的像是点D,因此线段DB的像是线段DC
，从而AD是底边BC上的中线
由于射线DB的像是射线DC
，射线DA的像是射线AD
，因此∠BDA
=
∠CDA=90°
°,从而AD是底边BC上的垂线
.
由于射线BA的像是射线CA,射线BC的像是射线CB
，因此∠B=
∠C.
由此，你能得到等腰三角形的哪些性质？
【归纳结论】等腰三角形的性质：
等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角角平分线所在的直线.
等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高三条线重合（简称“三线合一”).
等腰三角形的两个底角相等（简称为“对边对等角”）.
【教学说明】让学生经历这些定理的活动验证和证明过程.具体操作中，可以让学生先独自折纸观察、探索并写出等腰三角形的性质，然后再以六人为小组进行交流，互相弥补不足.
2.如图，△ABC是等边三角形，那么∠A,∠B,∠C的大小之间有什么关系呢？
【归纳结论】等边三角形的三个内角相等，且都等于60°.
【教学说明】引导学生证明.
3.议一议：如图，在三角测平架中，AB=AC,在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂，调整架身，使点A恰好在铅垂线上.
（1）AD与BC是否垂直，试说明理由；
（2）这时处于水平位置，为什么？
【教学说明】通过本题的探究，使学生明白数学来源于生活，并运用于生活.
三、运用新知，深化理解
1.教材P62例1.
2.（1）等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长是10
cm
；
（2）等腰三角形底角为75°,它的另外一个角为30°
；
（3）等腰三角形顶角为65°,它的另外两个角为57.5°57.5°
；
（4）等腰三角形一个角为70°
,它的另外两个角为70°40°或55°55°
；
（5）等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为35°35°
.
（6）在△ABC中，AB＝AC，
∠A＝50°，求∠B，∠C的度数.
【分析】
根据等腰三角形的性质：两底角相等.结合三角形的内角和等于180°来计算.
解：（6）在△ABC中，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C（在一个三角形中等边对等角）
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝50°
∴∠B＝∠C＝65°
3.如图，在△ABC中，AB
=
AC，AD⊥BC∠BAC
=
100°.
求∠1、∠3、∠B的度数.
解：∵在△ABC中，AB
=
AC，AD⊥BC
∴∠1=12∠BAC
=50°
∠3=90°(等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高三条线重合)
在△ABD中,AB
=
AC
∴∠B=∠C=40°
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，∠B=30°．求∠ADC和∠BAD的度数．
解：∵AB=AC，
D是BC边上的中点，∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，又∠B=30°，∴∠BAD=60°
5.如图，△ABC中，AB=AC，E在CA的延长线上，且ED⊥BC于D，求证：AE=AF.
证明：∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵ED⊥BC
∴∠B+∠BFD=90°
∠C+∠E=90°
∵∠BFD=∠EFA
∴∠B+∠EFA=90°
∵∠C+∠E=90°
∠B=∠C
∴∠EFA=∠E
∴AE=AF
6.如图，在△ABC中，∠A=20°，D在AB上，AD=DC，∠ACD∶∠BCD=2∶3，求：∠ABC的度数.
解：∵AD=DC
∴∠ACD=∠A=20°
∵∠ACD∶∠BCD=2∶3
∴∠BCD=30°
∴∠ACB=50°
∴∠ABC=110°
【教学说明】在此练习过程中，一定要注意学生的书写格式，必要时教师要在黑板上板书几何过程.
五、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
布置作业:教材“习题2.3”中第1、2、3
题.
在本节课的教学中，要采用小组合作的方式教学，在小组合作的基础上，教师通过分析、提问，和学生一起完成以上几个性质定理的证明，注意最好让两至三个学生板书证明,其余学生挑选其证明过程的书写是否规范.然后，教师补充强调.
4第2课时
等腰（边）三角形的判定
【知识与技能】
探索等腰三角形的判定定理.
【过程与方法】
理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明.
【情感态度】
通过探索一个三角形是等腰三角形的条件，培养学生的探索能力.
【教学重点】
理解等腰三角形的判定定理.
【教学难点】
理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明.
一、情景导入，初步认知
如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得∠B=∠C，如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边是什么关系？
【教学说明】由现实中的实际问题入手，设置问题情境，导入本课的主题，为学生提供参与活动的时间和空间，调动学生的主观能动性.
二、思考探究，获取新知
1.探究：如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB与AC之间有什么关系吗？
你能用什么方法得出你的结论？请相互交流，归纳、总结.
【归纳结论】有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）.
【教学说明】培养学生的动手能力，探究归纳得出等腰三角形的判定定理.
2.动脑筋：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？为什么？
【教学说明】引导学生证明.
【归纳结论】有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
三、运用新知，深化理解
1.教材P64例2、P65例3.
2.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=36，BD,CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，则图中等腰三角形有（A）
A.5个B.4个C.3个D.2个
3.如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是
.
答案：∠BAD=∠CAD或∠ABD=∠ACD
4.在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝70°，则△ABC中是
三角形.
答案：等腰
5.已知，如图，等腰△ABC，AB=AC：
（1）若AB=BC，则△ABC为
等边
三角形；
（2）若∠A=60°，则△ABC为
等边
三角形；
（3）若∠B=60°，则△ABC为
等边
三角形.
第5题图
第6题图
6.如图，已知△ABC是等边三角形，AD∥BC，CD⊥AD，垂足为D，E为AC的中点，AD=DE=6
cm则∠ACD=（
）°,AC=
cm,∠DAC=(
)°，△ADE是
三角形.
答案：30
12
60
等边
7.如图，△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD
=
CE.求证：△ABC是等腰三角形.
证明：∵S△ABC=12(AB·CE)=12(AC·BD)
且BD
=
CE
∴AB=AC
∴△ABC是等腰三角形.
8.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，∠B=30°，∠DAB=45°.(1)求∠DAC的度数；(2)求证：DC=AB.
解：（1）∵AB=AC
∴∠B=∠C=30°
∵∠C+∠BAC+∠B=180°
∴∠BAC=180°-30°-30°=120°
∵∠DAB=45°
∴∠DAC=∠BAC-∠DAB=120°-45°=75°；
（2）∵∠DAB=45°
∴∠ADC=∠B+∠DAB=75°
∴∠DAC=∠ADC
∴DC=AC
∴DC=AB.
【教学说明】及时巩固、反馈，开放式的变式训练，培养学生思维的发散性.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
布置作业:教材“习题2.3”中第4、6题.
学生刚刚学过等腰三角形的性质，对等腰三角形已经有了一定的了解和认识.初二学生在这个阶段逐渐在各方面开始成熟，思维深刻性有了明显提高，有着独特的认识问题和解决问题的思维方式.
因此在课堂教学中先引出等腰三角形的判定定理及推论，并能够灵活应用它进行有关论证和计算.培养学生的动手、归纳猜想的能力；培养学生证明用文字表述的几何命题的能力；使它们进一步掌握归纳思维方法，领会数学分类思想、转化思想.再进一步培养学生独立思考、勇于探索的创新精神和关于数学内容间普遍存在的相互联系、相互转化的观点.
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