2.4线段的垂直平分线
第1课时
线段垂直平分线的性质和判定
【知识与技能】
证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理.
【过程与方法】
经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力，丰富对几何图形的认识.
【情感态度】
通过小组活动，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.
【教学重点】
运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题.
【教学难点】
垂直平分线的性质与判定的运用.
一、情景导入，初步认知
如图，直线l垂直平分线段AB，P1、P2、P3是l上的点.
（1）P1到端点A、B的距离是什么？分别表示为_______、_______.
（2）量一量这两个距离，你能猜想出什么结论？
（3）你能用什么方法来证明你的猜想，试写出论证(或说明).
二、思考探究，获取新知
1.观察：如图，人字形屋顶的框架中，点A与A′关于线段CD所在的直线l对称，问线段CD所在的直线l与线段AA′有什么关系？
【归纳结论】垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.
2.探究：如图，在线段AB的垂直平分线l上任取一点P,连接PA,PB，线段PA,PB之间有什么关系？
【归纳结论】线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.
3.动脑筋：如图，我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反过来，如果一点P到线段AB两端的距离PA,PB相等，那么点P在线段AB的垂直平分线上吗？
【归纳结论】线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.
【教学说明】引导学生分析证明过程.
三、运用新知，深化理解
1.教材P69例题.
2.已知：如图，在
△ABC
中，AB
=
AC，O
是
△ABC
内一点，且
OB
=
OC.
求证：直线
AO
垂直平分线段BC．
证明：∵
AB
=
AC
∴
点
A
在线段
BC
的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.
同理，点
O
在线段
BC
的垂直平分线上.
∴
直线
AO
是线段
BC
的垂直平分线（两点确定一条直线）
3.如图，DE为△ABC的AB边的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E，
AC
=
5，BC
=
8，求△AEC的周长.
解：∵DE为△ABC的AB边的垂直平分线
∴AE=BE
∴C△AEC=AC+AE+CE=AC+BE+CE
=AC+BC=5+8=13
4.如图，已知：线段CD垂直平分AB，AB平分∠DAC.
求证：AD∥BC.
证明：∵CD是AB的垂直平分线，
∴AC=BC，
∴∠CAB=∠B，
又∵∠CAB=DAB，
∴∠DAB=∠B，
∴AD∥BC.
5.如图，已知：AD是△ABC的高，E为AD上一点，且BE=CE.
求证：△ABC是等腰三角形.
证明：∵BE=CE,AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形.
6.如图，已知：AB⊥BC，CD⊥BC，∠AMB=75°，∠DMC=45°，AM=DM.
求证：AB=BC.
证明：连接AC
∠AMD=180°-75°-45°=60°，且AM=DM，
∴△AMD是等边三角形
∴AM=AD.
又∵∠MDC=90°-45°=45°，
∴∠MDC=∠DMC，
∴CD=CM，
∴AC为DM的垂直平分线，
又∵CD=CM
∴CH是△CDM的角平分线
∴∠ACM=90°-45°=45°，
∴BC=AB.
【教学说明】学生是第一次证明一条直线是已知线段的垂直平分线，因此老师要引导学生理清证明的思路和方法并给出完整的证明过程.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
布置作业:教材“习题2.4”中第1、2、6题.
由于本节课是对垂直平分线的性质与判定的综合应用，学生掌握起来难度较大，所以要引导学生理清证明的思路和方法并给出完整的证明过程.
1第2课时
线段垂直平分线、垂线的作法
【知识与技能】
掌握线段垂直平分线、垂线的作法.
【过程与方法】
联系线段垂直平分线的知识，经历探索线段的垂直平分线的作画过程.
【情感态度】
通过小组活动，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.
【教学重点】
掌握线段垂直平分线、垂线的作法.
【教学难点】
垂直平分线的性质定理在实际问题中的运用.
一、情景导入，初步认知
如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?
【教学说明】从实际问题入手，提高学生学习兴趣，使学生明白数学来源于生活，应用于生活.
二、思考探究，获取新知
1.作出线段AB的垂直平分线
作法：
（1）分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C、D；
（2）作直线CD
所以直线CD就是线段AB的垂直平分线.
问：（1）这样所作的直线为什么是线段的垂直平分线？
（2）你能作出线段AB的中点吗？
2.过一点作已知直线的垂线
问题1：过已知直线l外一点P你能做这条直线l的垂线CD吗？（只用圆规和直尺）
作法：（1）以P点为圆心，以大于点P到直线l的距离为半径画弧，交直线l于A、B两点；
（2）分别以点A、B为圆心，以大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点C、D；
（3）作直线CD
所以直线CD就是直线l的垂线.
问题2：过已知直线l上一点P,你能做这条直线l的垂线CD吗？（只用圆规和直尺）
（类似问题2作法）
【教学说明】活动时可以先让学生讨论，然后点名学生板演，下面学生可以模仿着做，最后教师进行归纳和总结.
三、运用新知，深化理解
要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短.
解：作点A关于l（街道看成是一条直线）的轴对称点A′，连接A′B与l交于C点.奶站应建在C点处，才能使从A、B到它的距离之和最短.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结，教师作以补充.
布置作业:教材“习题2.4”中第5题.
本课教学力求充分体现内容的基础性，方法的灵活性，学生学习的主体性和教学的主导性，在学习活动中，要求学生主动参与，认真思考，比较观察、动手交流和表述，并借助多媒体的手段辅助教学，增强直观性、激发学习兴趣，强调分组讨论，学生与学生之间很好的交流与合作，利用师生的双边活动，激发学生学习兴趣，教师从中发现、搜集学生的学习情况，查漏补缺，适时调度，从而顺利达到教学的目的.
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