2.5全等三角形
第1课时
全等三角形的概念和性质
【知识与技能】
借助具体情境和图案，经历观察、发现和实践操作、重叠图形等过程，了解图形全等的意义和全等三角形的定义，了解图形全等的特征和全等三角形的性质.
【过程与方法】
经历“我实践，我发现”，“几何常识我知道”，“实践问题我创造”的教学活动由此“感悟图形的全等——应用图形的全等——创造图形的全等”，带动知识发生、发展的全过程.
【情感与态度】
学生积极参与图形全等的探究过程，从中体会合作与成功的快乐，建立学习好数学的自信心，体会图形全等在现实生活中的应用价值.
【教学重点】
全等图形的概念.
【教学难点】
全等三角形的性质.
一、情景导入，初步认知
请同学们观察这些图片有何特征?
【教学说明】设置有趣的生活图片，一组是实物图形，一组是几何图形.让学生通过观察，对全等图形有一个感性认识.
二、思考探究，获取新知
1.做一做：如图，是两组形状、大小完全相同的图形，用透明纸描出每组中的一个图形，并剪下来与另一个图形放在一起，它们完全重合吗？
【归纳结论】我们把能够完全重合的两个图形叫作全等图形.
2.动脑筋：如图，△ABC经过平移、旋转、轴反射后得到△A′B′C′,问△ABC与△A′B′C′能完全重合吗？
【归纳结论】能完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
全等三角形中，互相重合的顶点叫作对应顶点，互相重合的边叫作对应边，互相重合的角叫作对应角.
比如，在图中，△ABC与△A′B′C′能够完全重合，它们是全等的.其中顶点A与A′重合，它们是对应顶点；AB边与A′B′边重合，它们是对应边；∠A与∠A′重合，它们是对应角.
△ABC与△A′B′C′全等，我们把它记作“△ABC≌△A′B′C′”.
记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
3.思考：根据全等三角形的定义，你能得到全等三角形的性质吗？
【归纳结论】全等三角形的对应边相等，对应角相等.
【教学说明】让学生知道三角形的对应顶点、对应边和对应角，并指出其中的对应角和对应边.
三、运用新知，深化理解
1.教材P75例1.
2.下列说法正确的是（C）
①用一张相纸冲洗出来的10张1寸相片是全等形；
②我国国旗上的4颗小五角星是全等形；
③所有的正方形是全等形；
④全等形的面积一定相等.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3.对于两个图形，给出下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，面积也相同．其中能获得这两个图形全等的结论共有（A）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4.下列图形：①两个正方形；②每边长都是1cm的两个四边形；③每边都是2cm的两个三角形；④半径都是1.5cm的两个圆．其中是一对全等图形的有（B
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5.全等图形的
大小
和
形状
都相同．
6.
找出图中的全等图形:
解：（1）和（8），（2）和（6），
（3）和（9），（5）和（7），
（13）和（14）.
7.
下列图形中，哪些是全等图形？用线把它们连接起来．
解：略
8.如图:△ABC≌△AEC,
∠B=30°,∠ACB=85°,求出△AEC各内角的度数.
解：在△ABC中,
∠B=30°,
∠ACB=85°∴∠BAC=180°-85°-30°=65°
∵△ABC≌△AEC
∴∠E=∠B=30°
∠ACE=∠ACB=85°
在三角形ACE中
∠CAE=180°-∠E-∠ACE=65°
即，△AEC各内角的度数分别为∠E=30°、∠ACE=85°、∠CAE=65°.
【教学说明】巩固新知.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
布置作业:教材“习题2.5”中第1题.
通过这节课的教学实践，使教师认识到；教学必须紧密联系学生的生活和实际，使学生对所学的内容兴趣盎然，乐于探究.教师最精彩的表现应该是高明的引导者、组织者、合作者，而不是舞台的主人——演员.全面的培养学生的创新意识与实践能力.
1第2课时
SAS
【知识与技能】
1.能主动积极探索出三角形全等的条件“SAS”.
2.能熟练运用“SAS”判别方法来进行有条理的思考并进行简单的证明.
3.初步综合运用四种判别方法来判定三角形全等.
【过程与方法】
学生经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程，由此带动知识发生、发展的全过程.
【情感态度】
通过多种手段的活动过程，让学生动手操作，激发学生学习的兴趣，并能通过合作交流解决问题，体会数学在现实生活中的应用，增强学生的自信心.
【教学重点】
掌握三角形全等的条件“SAS”，并能利用它来判定三角形是否全等.
【教学难点】
探索三角形全等的条件“SAS”的过程及几种方法的综合应用.
一、情景导入，初步认知
1.什么叫全等图形？什么叫作全等三角形？
2.全等的符号是什么？
3.如何判定两个三角形全等呢？
【教学说明】复习上节课的内容，为本节课的学习作铺垫.
二、思考探究，获取新知
1.探究：每位同学在纸上的两个不同位置分别画出一个三角形，它的一个角为50°，夹这个角的两边分别为2cm,2.5cm,将这两个三角形叠在一起，它们完全重合吗？
2.换两条线段和一个角试试，你发现了什么？
【归纳结论】两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.简写成“边角边”或简记为（SAS）.
【教学说明】通过学生实践,让学生在合作学习中共同解决问题,使学生主动探究三角形全等的条件,培养学生分析、探究问题的能力，提高他们归纳知识的能力和组织语言能力、表达能力.
三、运用新知，深化理解
1.教材P78例2.
2.如图，在△ABC和△DEF中，已知AB=DE，BC=EF，根据（SAS）判定△ABC≌△DEF，还需的条件是（B）
Ａ．∠A=∠DＢ
B.∠B=∠E
Ｃ．∠C=∠FＤ．以上三个均可以
第2题图
第3题图
3.如图，AD=AE，BE=CD，∠1=∠2=110°,∠BAE=60°,则∠CAE=
20°.
4.如图，已知AC⊥BD，BC=CE，则∠B与∠D的关系是
互余
.
第4图
第5题图
5.如图，AC=AD，AB平分∠CAD，那么BC=BD吗?为什么?
解：BC=BD，
理由是：
∵AB平分∠CAD,∴∠CAB=∠DAB.
在△ABC和△ABD中，
∵
AC＝AD;
∠CAB＝∠DAB;
AB＝AB.
∴△ABC≌△ABD（SAS）
∴BC＝BD.
6.如图,AD∥CB，AD＝CB，那么∠B=∠D吗?为什么?
解：∠B=∠D，
理由是：
∵AD∥CB
∴∠DAC＝∠BCA.
在△ABC和△CDA中，
AD＝CB;
∠BCA＝∠DAC;
AC＝CA.
∴
ABC≌△CDA
∠B＝∠D.
7.如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形.求证:AE=CD
证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形.
∴∠ABE=∠CBD=60°
∵AB=CB,
BE=BD
在△ABE与△CBD中，
AB=CB;
∠ABE=∠CBD;
BE=BD.
∴△ABE≌△CBD(SAS)
∴AE=CD
8.如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠1=∠2．
求证：AD⊥BC．
证明：在△ABD和△ACD中，
∵
AB=AC(已知)
∠1=∠2(已知)
AD=AD（公共边）
∴△ABD≌△ACD(SAS).
∴BD=CD,∠3=∠4.
又∵∠3+∠4=180°，
即2∠3=180°，
∠3=90°，
∴AD⊥BC．
【教学说明】检验学生的掌握情况,培养学生的逻辑思维能力.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
布置作业:教材P78“练习”.
本节在应用定理判定三角形全等时的练习有点多，可能有些学生思维有点跟不上，是本节课的一大遗憾.
另外，在小组交流时气氛不是很活跃.
最后，我考虑在这种情况下是否可以让一个小组展示，一个小组讲解可能会更好一些.
总之，从本节课的教学效果来看，学生能达到这个程度还算可以，实现了本节课的教学目标.自己以后要吸取教训.
1第3课时
ASA
【知识与技能】
使学生理解ASA的内容，能运用ASA全等判定法来判定三角形全等进而说明对应线段或角相等.
【过程与方法】
通过画图、实验、发现、应用的过程教学，树立学生知识源于实践用于实践的观念.
【情感态度】
通过多种手段的活动过程，让学生动手操作，激发学生学习的兴趣，并能通过合作交流解决问题，体会数学在现实生活中的应用，增强学生的自信心.
【教学重点】
掌握三角形全等的条件“ASA”，并能利用它来判定三角形是否全等.
【教学难点】
探索三角形全等的条件“ASA”的过程及几种方法的综合应用.
一、情景导入，初步认知
1.我们已学过判定两个三角形全等的简便方法是什么?判定三角形全等是不是还有其它方法呢？
2.有一块三角形纸片撕去了一个角,要去剪一块新的,如果你手头没有测量的仪器,你能保证新剪的纸片形状、大小和原来的一样吗?
【教学说明】既复习了全等三角形的“SAS”的判定方法，又唤起学生对新知识探索学习的渴望，激发学生的兴趣，从而提高学生学习的热情.
二、思考探究，获取新知
1.如图，在△ABC与△A′B′C′中，如果BC=B′C′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,你能通过平移、旋转和轴反射等变换使△ABC的像与△A′B′C′重合吗？
2.请同学们动手做一个实验：同桌两位同学为一组.
（1）共同商定画出任意一条线段AB，与两个角∠A、∠B（∠A+∠B<180°）
（2）两位同学各自在硬纸板上画线段A′B′的长等于商定的线段AB的长，在A′B′的同旁，画∠B′A′C′等于商定的∠A，画∠A′B′C′等于商定的∠B，设A′C′与B′C′相交于点C′，便得△A′B′C′.
（3）用剪刀各自剪出△A′B′C′，将同桌同学剪出的两个三角形重叠在一起发现了什么？其他各桌的同学是否也有同样的结论呢？
【归纳结论】两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.简记为“角边角”或为“ASA”.
【教学说明】通过学生实践,让学生在合作学习中共同解决问题,使学生主动探究三角形全等的条件,培养学生分析、探究问题的能力，提高他们归纳知识的能力和组织语言的能力、表达能力.
三、运用新知，深化理解
1.教材P79例3、P80例4.
2.如图，AB与CD相交于点O，O是AB的中点，∠A=∠B,△AOC与△BOD全等吗？为什么？
解：△AOC≌△BOD
理由是：
∵O是AB的中点(已知）
∴AO=BO（线段中点定义）
又∵AB与CD相交于点O（已知）
∴
∠1=∠2（对顶角相等）
在△AOC与△BOD中，
∠A=∠B（已知）；
AO=BO(已证）；
∠1=∠2（已证）.
∴△AOC≌△BOD（ASA)
3.如图，∠1=∠2，∠D=∠C，试说明△ADB
≌△ACB
证明：∵在△ADB中，
∠3=180°-∠1-∠D(三角形内角和定理）
∵在△ACB中，
∠4=180°-∠2-∠C(三角形内角和定理）
而∠1=
∠2，∠D=∠C（已知）
∴∠3=∠4（等量代换）
∴在△ADB和△ACB中
∠1=
∠2(已知）；
AB=AB（公共边）；
∠3=∠4（已证）.
∴△ADB
≌△ACB（ASA)
4.如图，AB＝AC，∠B＝∠C，你能证明△ABD≌△ACE吗？
证明：
△ABD和△ACE中
∠B=∠C(已知)；
AB=AC(已知)；
∠A=∠A（公共角）.
∴△ABD≌△ACE(ASA)
5.求证“等腰三角形两底角的平分线相等”.
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∴∠2=∠4．
在△ABD和△ACE中，
∠2=∠4；
AB=AC；
∠A=∠A．
∴△ABD≌△ACE(ASA)．
∴BD=CE
【教学说明】使学生对三角形全等条件有了一个更清楚的理解——两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.在学生做题的过程中，学生还能体会到严谨的数学思想.
五、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
布置作业:教材P80“练习”.
本节课从复习旧知识入手，把知识点问题化，在教学设计时提供充分探索与交流的空间，使学生进一步经历实验、猜测、推理、交流、反思等活动，培养学生类比的思想方法，让学生学会一些探究的基本方法与思路，并体会到数学教材在内容安排上螺旋上升的特点.采用自主探究、合作学习、组内交流的学习方式，让学生自己当老师，一方面让其他学生容易接受，另一方面可增强学生的自信心和学习数学的兴趣，让学生在经历知识产生发展的过程中，体会“学数学”的乐趣.
1第4课时
AAS
【知识与技能】
1．知道“角角边”的内容.
2．利用“AAS”证明全等，为证明线段相等和角相等创造条件.
【过程与方法】
经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力.
【情感态度】
学生积极参与三角形全等条件的探究过程，从中体会证明与成功的快乐，增强学习好数学的自信心，体会三角形全等条件在现实生活中的应用价值.
【教学重点】
三角形“角角边”的全等条件.
【教学难点】
用三角形“角角边”的条件进行有条理的思考并进行简单的推理.
一、情景导入，初步认知
1.什么叫作全等三角形，如何判定两个三角形全等？
2.判定三角形全等是不是还有其它方法呢？
【教学说明】复习上节课的知识，同时为本节课的教学作铺垫.
二、思考探究，获取新知
1.如图，在△ABC与△A′B′C′中，如果∠A=∠A′,∠B=∠B′,BC=B′C′,那么△ABC与△A′B′C′
全等吗？
2.你能证明吗？
3.动手画一画：比如∠A=45°，∠C=60°，AB=3cm，你能画这个三角形吗？
提示：这里的条件与实验中的条件有什么相同点与不同点？你能将它转化为实验中的条件吗？
你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
【归纳结论】两个角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．简写成：“角角边”或“AAS”.
【教学说明】通过学生实践,让学生在合作学习中共同解决问题,使学生主动探究三角形全等的条件,培养学生分析、探究问题的能力，提高他们归纳知识的能力和组织语言能力.
三、运用新知，深化理解
1.教材P81例5、P82例6.
2.如图，
应填什么就有△AOC≌△BOD？
∠A=∠B（已知）；
AC=BD（已知）；
∠C=∠D（已知）.
所以△AOC≌△BOD（
ASA
）
如图，
应填什么就有△AOC≌△BOD？
∠A=∠B（已知）；
CO=DO（已知）；
∠C=∠D（已知）.
所以△AOC≌△BOD（
AAS
）
如图，应填什么就有△AOC≌△BOD？
∠A=∠B（已知）；
AO=BO（已知）；
∠C=∠D（已知）.
所以△AOC≌△BOD（AAS）
3.已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．
求证：PD=PE．
证明：∠1=∠2，OP=OP，
∴△PDO≌△PEO(AAS)．
∴PD=PE
4.已知：如图，BC=DC，∠1=∠2，求证：△ABC≌△ADC．
证明：∵∠1=∠2
∴∠ACB=∠ACD
∵AC=AC,BC=DC
∴△ABC≌△ADC（SAS）.
5.如图，∠B＝∠C
，AD平分∠BAC，你能证明△ABD≌△ACD吗？
若BD＝3
cm，则CD有多长？
证明：∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD（角平分线的定义）
在△ABD和△ACD中
∠B=∠C(已知)；
∠BAD=∠CAD；
AD=AD.
∴△ABD≌△ACD（AAS）
∴BD＝CD
∵BD＝3
cm（已知）
∴CD＝BD＝3
cm（等量代换)
6.如图，在△ABC中，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，且BE＝CF，那么BD与DC相等吗？你能说明理由吗？
解：BD＝DC.理由如下：
∵BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F.
在△BED与△CFD中，
∠BED＝∠CFD；
∠BDE＝∠CDF；
BE＝CF.
∴△BED≌△CFD（AAS）
∴BD＝DC
【教学说明】使学生对三角形全等条件有了一个更清楚的理解——两个角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.在学生证明的过程中，学生还能体会到严谨的数学思想.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
布置作业:教材P82“练习”.
本节课从复习旧知识入手，把知识点问题化，培养学生类比的思想方法，让学生学会一些探究的基本方法与思路，并体会到数学教材在内容安排上螺旋上升的特点.采用自主探究、合作学习、组内交流的学习方式，让学生自己当老师，一方面让其他学生容易接受，另一方面可增强学生的自信心和学习数学的兴趣.
1第5课时
SSS
【知识与技能】
了解三角形的稳定性，三角形全等的条件“边边边”，
经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.
【过程与方法】
使学生在自主探索三角形全等的过程中，经历画图、观察、比较、交流等过程，从而获得正确的学习方式和良好的情感体验.
【情感态度】
培养学生的空间观念以及推理能力，培养学生有条理的表达能力，积累数学活动经验.
【教学重点】
三角形的全等条件“边边边”.
【教学难点】
用三角形的全等条件“边边边”进行有条理地思考并进行简单的推理.
一、情景导入，初步认知
请问同学，老师在黑板上画的两个三角形，当△ABC与△A′B′C′满足什么条件时，这两个三角形全等.还有其它方法来判定它们全等吗？
【教学说明】既对上节课的知识复习，又为本节课的教学作铺垫.
二、合作探究，探索新知
1.探究：如图，在△ABC与△A′B′C′中，如果AB=A′B′,AC=A′C′,BC=B′C′,那么△ABC与△A′B′C′
全等吗？
【教学说明】教师引导学生证明.
2.做一做：画一个三角形，使它
的三边的长度分别为3cm、4cm、5cm，你能画出这个三角形吗？
3.你所画的三角形与其他同学画的三角形全等吗？请你结合画图、对比，说说你发现了什么？
【归纳结论】三边分别相等的两个三角形全等.简写为“边边边”或“SSS”.
【教学说明】以问题串的形式引导学生逐步深入地思考可以使三角形全等的条件，问题的提出从条件的由少到多，由简到繁，一步步深入、引导，通过一系列的活动最终得出正确的结论.
4.探究：取三根长度适当的木条，用钉子钉成一个三角形的框架，你所得到的框架的形状固定吗？用四根木条钉成的框架的形状固定吗？
【归纳结论】三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性.
【教学说明】让学生感受实例，直观，生动，便于理解.
在此基础上，向学生提出：
（1）.你能举出一些生活中应用三角形的稳定性的例子吗？
（2）.图（2）的形状是可以改变的，它不具有稳定性.，你如何才能使图（2）的框架不能活动，也具有稳定性？
【教学说明】从理论上升到实践，将知识延伸开去，应用到生活实践，才真正做到学有所用.
5.根据下列条件，分别画出△ABC与△A′B′C′.
（1）AB=A′B′=3
cm，AC=A′C′=2.5
cm,∠B=∠B′=45°;
(2)∠A=∠A′=80°,∠B=∠B′=30°,∠C=∠C′=70°.
分别满足上述条件画出的△ABC与△A′B′C′一定全等吗？因此你能得出什么结论？
【归纳结论】两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等；三个对应角相等的两个三角形不一定全等.
三、运用新知，深化理解
1.教材P83例7、P84例8.
2.教材P85例9.
1.如图，已知AB=AC，BD=DC，那么下列结论中不正确的是（C）
A．△ABD≌△ACD
B．∠ADB=90°
C．∠BAD是∠B的一半
D．AD平分∠BAC
2.如图，AC=DF，BC=EF，AD=BE，∠BAC=72°，∠F=32°，则∠ABC=
76°
.
3.如图，是一个风筝模型的框架，由DE=DF，EH=FH，就说明∠DEH=∠DFH.试用你所学的知识说明理由.
证明：由于已知DE=DF，EH=FH，连结DH，这是两个三角形的公共边，于是，
在△DEH和△DFH中，
DE=DF；
EH=FH；
DH=DH.
所以△DEH≌△DFH（SSS），
所以∠DEH=∠DFH（全等三角形的对应角相等）.
4.如图,已知线段AB、CD相交于点O,AD、CB的延长线交于点E,OA=OC,EA=EC,请说明∠A=∠C.
【分析】根据条件OA=OC,EA=EC，OA、EA和OC、EC恰好分别是△EAO和△ECO的两条边，故可以构造两个三角形，利用全等三角形解决.
解:连结OE
在△EAO和△ECO中，
OA=OC(已知);
EA=EC（已知）;
OE=OE(公共边).
∴△EOA≌△EOC（SSS）
∴∠A＝∠C（全等三角形的对应角相等）
5.如图,AD=BC,AB=DC.
求证：∠A+∠D=180°.
证明：连结AC
在△ABC和△ACD中，
∵
AD=BC;
AB=DC;
ＡＣ＝ＣＡ.
∴△ＡＢＣ≌△ＣＤＡ(SSS)
∴∠ＢＡＣ=∠ACD
∴ＡＢ∥ＣＤ
∴∠Ａ＋∠Ｄ＝180°
6.已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CB,AD=CD.
求证：∠C=∠A.
证明：连结BD.
在△ABD和△CBD中，
∵AB=CB；
AD=CD；
BD=BD.
∴△ABD≌△CBD.
∴∠C=∠A.
【教学说明】巩固练习，对课上的探索结论有更深一步的认识.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
布置作业:教材“习题2.5”中第3、5、9、10
题.
在课堂上要给予学生充分的时间去思考、动手实践，而不是使合作流于形式.要把合作交流的空间真正的还给学生.教师在课堂中还要照顾到每一名学生，让全体的学生都动起来.在把他们的结论互相比较之前，应该留给学生足够的时间，使大部分的学生都能完成画图的活动，不能以一些思维活跃的学生的完成时间作为标准，剥夺了其他学生的操作时间.教师还应对画图有困难的学生给予适当的指导.
1第6课时
全等三角形的性质和判定的应用
【知识与技能】
会综合用各种方法判定两个三角形全等.
【过程与方法】
经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力.
【情感态度】
学生积极参与三角形全等条件的探究过程，从中体会证明与成功的快乐，增强学习好数学的自信心，体会三角形全等条件在现实生活中的应用价值.
【教学重点】
三角形全等的判定方法的综合运用.
【教学难点】
作辅助线构建全等三角形.
一、情景导入，初步认知
如图，两车从路段AB的两端同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同时间后分别到达C，D两地，若CE⊥AB，DF⊥AB，则C，D两地到路段AB的距离相等吗？为什么？
二、合作探究，探索新知
如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB=DE，AC=DF，BF=EC．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由．
【归纳结论】（1）先证明BC=EF，再根据S.S.S.即可证明；（2）AB∥DE，AC∥DF，根据全等三角形的性质即可证明.
三、运用新知，深化理解
1.教材P86例10.
2.将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中∠ACB=∠CED=90°，∠A=45°，∠D=30°．把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图②，连结D1B，求∠E1D1B的度数.
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠DCE=60°，由旋转的性质可得∠BCE1=15°，然后求出∠BCD1=45°，从而得到∠BCD1=∠A，利用“边角边”证明△ABC和△D1CB全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BD1C=∠ABC=45°，再根据∠E1D1B=∠BD1C-∠CD1E1计算即可得解．
解：∵∠CED=90°，∠D=30°，
∴∠DCE=60°，
∵△DCE绕点C顺时针旋转15°，
∴∠BCE1=15°，
∴∠BCD1=60°-15°=45°，
∴∠BCD1=∠A，在△ABC和△CD1B中，
AC=CB,
∠A=∠BCD1,
AB=CD1,
∴△ABC≌△CD1B（S.A.S.），
∴∠BD1C=∠ABC=45°，
∴∠E1D1B=∠BD1C-∠CD1E1=45°-30°=15°．
3.如图，已知BE与CD相交于点A，M为BC的中点，∠1=∠2，AB=AC，求证：∠DBM=∠ECM．
【分析】连结MA，可证得△ABM≌△ACM，可得出∠MAB=∠MAC，∠MAD=∠MAE，由题干中的条件可得∠AMD=∠AME，可证得△AMD≌△AME，得MD=ME，再证明△MBD≌△MCE即可得出结论．
证明：如图，连结MA.
∵AB=AC，M为BC中点.
在△ABM和△ACM中，
AB=AC,
BM=CM,
AM=AM,
∴△ABM≌△ACM(SSS),
∴∠MAB=∠MAC，∠AMB=∠AMC，
∴∠DAM=∠EAM，
∵∠1=∠2，∴∠AMD=∠AME.
在△AMD和△AME中，
∠DAM=∠EAM,
AM=AM,
∠AMD=∠AME,
∴△AMD≌△AME（ASA），
∴MD=ME，在△MBD和△MCE中，
MD=ME,
∠1=∠2,
MB=MC,
∴△MBD≌△MCE（SAS），
∴∠DBM=∠ECM．
4.如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，AD是BC边上的中线，求AD的取值范围.
【分析】延长AD到E，使DE=AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=BA，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出AE的取值范围，然后由AE=2AD即可求解．
解：如图，延长AD到E，使DE=AD，连结CE.∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，在△ABD和△ECD中,
BD=CD，
∠ADB=∠EDC，
AD=ED，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE=AB，∵AB=3，AC=4，
∴4-3＜AE＜4+3，即1＜AE＜7，
∵AE=2AD，∴0.5＜AD＜3.5.
5.如图①，AB∥CD，BE、CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，点E在AD上．
求证：BC=AB+CD．
分析：有两种思路：①
截长：在BC上取点F，使BF=BA，连结EF，先证△ABE≌△FBE，得出∠A=∠BFE，再证△CDE≌△CFE，就可以得出CD=CF，即可证明结论．②补短：延长BA、CE交于F,证明△FBE≌△CBE,△FAE≌△CDE即可得出结论.
证明：方法一：截长.
如图②，在BC上取点F，使BF=BA，连结EF，
∵BE、CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
在△ABE和△FBE中，
AB=FB，
∠1=∠2，
BE=BE，
∴△ABE≌△FBE（S.A.S.），
∴∠A=∠5．∵AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，
∴∠5+∠D=180．
∵∠5+∠6=180°，
∴∠6=∠D．在△CFE和△CDE中，
∠6=∠D，
∠3=∠4，
CE=CE，
∴△CFE≌△CDE（AAS），
∴CF=CD．
∵BC=BF+CF，∴BC=AB+CD．
方法二：补短.
如图③，延长BA、CE交于点F.
∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°.
∵BE、CE分别平分∠ABC和∠BCD，
∴∠1=∠2=∠ABC，∠3=∠4=∠BCD.
∴∠2+∠3=(∠ABC+∠BCD)=90°.∴∠BEC=90°.
在△BEC和△BEF中，
∠2=∠1，
BE=BE，
∠BEC=∠BEF=90°，
∴△BEC≌△BEF（A.S.A.），
∴BC=BF，EC=EF.
∵AB∥CD，∴∠7=∠D，∠F=∠4.
在△EAF和△EDC中，
∠7=∠D，
∠F=∠4，
EF=EC，
∴△EAF≌△EDC（A.A.S.），
∴FA=CD.
∴BC=BF=BA+AF=AB+CD.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
布置作业:教材“习题2.5”中第6、7题.
本课时教学应突出学生主体性原则，即通过探究学习，指引学生独立思考，自主得到结果，再让学生相互交流，或上台展示自己的发现，或表述个人的体验，从中获取成功的体验，激发学生探究的激情.
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