第3章
实数
3.1
平方根
第1课时
平方根和算术平方根
【知识与技能】
1.了解平方根和算术平方根的概念；
2.会算出一个非负数的平方根及算术平方根；
3.了解平方与开平方是互逆运算.
【过程与方法】
通过学习平方根的概念，进一步建立数感和符号感，发展抽象思维.
【情感态度】
让学生体验到数学与生活息息相关，数学来源于生活又应用于生活，数学是有用的数学，是有价值的数学，所以要学好数学.
【教学重点】
理解开方与乘方是互逆运算,会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根和平方根.
【教学难点】
了解平方根与算术平方根的区别与联系.
一、情景导入，初步认知
1.一个正方形桌面的边长是4m，求这个桌面的面积是多少平方米？
2.已知一个正方形的面积是25cm2，求它的边长.
3.如果一个正方形展厅的地面面积为55平方米，求它的边长.
【教学说明】前两个问题学生能很快地回答出来，而第三个问题学生解答有困难，引发了学生的思维困惑，激发了学生的求知欲和学习兴趣.教师不直接告诉学生答案，表示学习了本节课的内容我们就可以解决这类问题，学生带着问题引入课堂.
二、思考探究，获取新知
1.动脑筋：某家庭在装修儿童房时需铺地垫10.8m2,刚好用去正方形的地垫30块，你能算出每块地垫的边长是多少吗？
每块地垫的面积是：
10.8÷30=0.36m2
即边长×边长=0.36
由于0.62=0.36
因此面积为0.36m2的正方形地垫的边长是0.6m.
2.上面的问题实际上是：已知幂及乘方的指数求底数，这是什么运算？
【教学说明】学生很容易想到是求乘方的逆运算，进而顺势引出平方根的概念.
【归纳结论】如果一个数r，使得r2=a,那么我们把r叫作a的一个平方根，也叫作二次方根.即：若r2=a，则r是a的一个平方根.如，由于22=4，因此2是4的一个平方根.
3.探究：4的平方根除了2以外，还有其它的数吗？
【归纳结论】如果r是正数a的一个平方根，那么a的平方根有且只有两个：r与-r.我们把正数a的正平方根叫作a的算术平方根，记作，读作“根号a”；把a的负平方根记作-，读作“负根号a”.这样正数a的平方根可以用“±”来表示.
例如：
2的平方根是“±”.
4.零的平方根是多少？负数有平方根吗？
【归纳结论】正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方.
【教学说明】形成“平方根”的概念.在列举一些具体数据的感性认识的基础上,由平方运算反推出平方根的概念和定义，让学生非常熟练地进行平方和平方根之间的互化，并明白它们之间的互逆关系.
5.一个数的平方根与算术平方根有什么区别和联系？
【归纳结论】平方根与算术平方根的联系与区别：
联系：①包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.②存在条件相同:只有非负数才有平方根和算术平方根.
区别：①个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根.②表示法不同：平方根表示为±，而算术平方根表示为.
【教学说明】注重学生原有认知结构，与原有的概念进行了比较与辨析.因此，学生对平方根和算术平方根概念掌握得比较牢靠,突出本节课的重点.
三、运用新知，深化理解
1.教材P107例1、例2.
2.下列五个命题：①只有正数才有平方根；②-2是4的平方根；③5的平方根是
；④±都是3的平方根；⑤(-2)2的平方根是-2；其中正确的命题是（
D
）
A．①②③
B．③④⑤
C．③④
D．②④
3.一个自然数的算术平方根是a，则下一个自然数的算术平方根是（
D
）
A．a+1
B．a2+1
C．a+1
D．
4.下列命题中，正确的个数有（
B
）
①1的平方根是1；②1是1的算术平方根；③(-1)2的平方根是-1；④0的算术平方根是它本身
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5.下列计算正确的是（
A
）
A．
=2
B.0.1=0.01
C.5=±
D.±
6.（1）若m的平方根是±3，则m
=
；
（2）若5x+4的平方根是±1，则x
=
.
答案：（1）9；（2）由5x+4
=
1得x
=-
7.在下列各数中，-2,(-3)2，-32,,-()有平方根的数的个数为：
.
答案：2个
8.若的算术平方根是3，则a
=
答案：81
9.求下列各数的值：
答案：①.±12；②.±；③.0.25；④.0.1；⑤.－4；⑥.-；⑦.5；⑧.0.
10.小刚同学的房间地板面积为16m2，恰好由64块正方形的地板砖铺成，求每块地板砖的边长是多少？
解：设每块地板砖的边长为x米，
由题意得64·x2
=
16，即x2
==，所以x
=±
(负的舍去)，即x
=
答：边长为0.5米．
【教学说明】这个环节围绕本节课的内容设置一组由浅入深的练习，来检测学生的掌握情况.前部分习题较基础巩固知识点，后部分稍有拓展让学有余力的学生思维得到拓展.在这个过程中，充分发挥学生的主体作用，由学生自己完成这些练习，在练习中享受学习的乐趣.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
布置作业:教材“习题3.1”中第1、2、3
题.
实际生活问题情境的引入，激发了学生的好奇心及求知欲，同时让学生感受到数学来源于实践又服务于实践.注重数学思维方式的养成.从具体到抽象，从特殊到一般，逐渐形成平方根的概念；通过分类讨论探究平方根的本质特征；运用类比思想区分“平方根”与“算术平方根”两个概念，“平方”与“开平方”两种运算.
鼓励学生探索和交流：由学生自主合作探究平方根的本质特征，共同归纳“平方根”与“算术平方根”两个概念的区别及联系.学生在交流中互相提高，享受学习的乐趣，同时发挥了学生的主体作用.
精选习题：围绕本节课的重点，精选了有层次,有梯度的习题，既巩固新知又有拓展提升，让学生的思维得到充分的训练.
1第2课时
无理数
【知识与技能】
1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.
2.探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想.
3.能判断给出的数是否为无理数，并能说出理由.
【过程与方法】
让学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养学生的动手能力和合作精神.
【情感态度】
了解有关发现无理数的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的精神.
【教学重点】
会判断一个数是否为无理数.
【教学难点】
正确理解无理数的意义.
一、情景导入，初步认知
讲故事：
早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，也就是一切现象都可用有理数去描述.后来，这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，
他认为在生活中还存在除有理数之外的另一种数.
到底谁的观点正确呢？我们以前学的有理数范围是否能满足我们实际生活的需要呢？
这节课我们就共同来研究这个问题.
【教学说明】以故事引入新课首先能激起学生的学习兴趣，同时让学生带着问题听讲新课会收到良好的效果.
二、思考探究，获取新知
1.做一做：如图，将一个长为4cm，宽为2cm的长方形纸片剪拼成一个正方形，最后得到的这个正方形的面积是多少？它的边长是整数吗？
【教学说明】小组合作剪拼.小组合作，加强学生的合作意识.
2.观察下列结果：
2.82=7.84
2.92=8.41
2.822=7.9524
2.832=8.0089
2.8282=7.997584
2.8292=8.003241
……
从上述数据，你能猜想出面积为8的正方形的边长是多少吗？
【归纳结论】既不是有限小数，也不是无限循环小数，这种小数叫作无限不循环小数.我们把无限不循环小数叫作无理数.
3.你能列举一些无理数吗？无理数有没有正负之分？
【教学说明】通过探究、举例、交流让学生自己总结出什么是无理数，有利于培养学生自己解决问题的能力.
三、运用新知，深化理解
1.教材P110例3.
2.填空题.
（1）我们把能够写成分数形式(m、n是整数，n≠0)的数叫做
.
（2）有限小数和
都可以化为分数，它们都是有理数.
（3）
叫做无理数.
（4）写出一个比-1大的负有理数
.
答案：（1）有理数
（2）无限循环小数
（3）无限不循环小数
（4）答案不唯一，如：-0.5
3.判断题.
（1）无理数与有理数的差都是有理数；
（2）无限小数都是无理数；
（3）无理数都是无限小数；
（4）两个无理数的和不一定是无理数.
（5）有理数不一定是有限小数.
答案：（1）错，如3π-0=3π.
（2）错，如：0.333….
（3）对，无理数的两个前提条件之一无限.
（4）对，3π+（-3π）=0.
（5）对，如：0.333….
4.下列说法正确的是：（
B
）
A.整数就是正整数和负整数
B.分数包括正分数、负分数
C.正有理数和负有理数统称有理数
D.无限小数叫做无理数
5.m，n分别是6-的整数部分和小数部分，那么2m-n的值是（
C
）
A.3-
B.4-
C.6+
D.2+
6.的整数部分为
，小数部分为
.
答案：5；-5.
7.满足6
.
8.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
-3；；-；0.333…；3.30303030…；42；-3.1415926；0；3.101001000……（相邻两个1之间0的个数逐个加1）；面积为π的圆半径为r.
答案：无理数有：，3.101001000……，（相邻两个1之间0的个数逐个加1）
有理数有：-3，-，0.333…，3.30303030…，42，-3.1415926,0，面积为π的圆半径为r.
9.把下列各数填在相应的集合中：－7，3.5，－3.14，π，0，，0.03%，－3，10．
自然数集合：
{
}；
整数集合：
{
}；
负数集合：
{
}；
正分数集合：
{
}；
正有理数集合：{
}；
无理数集合：
{
}．
答案：0，10；
－7，0，10；
－7，－3.
14，－3；3.5，，0.03%；3.5，，0.03%，10；π
【教学说明】练习的目的既是检查又是巩固、深化，帮助学生对本节课所学的知识形成更为清晰和深刻的认识，同时可以让学生在探索与被肯定当中获得积极的情感体验.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
布置作业:教材“习题3.1”中第7、8、9
题.
怎样更好地培养学生的直觉思维能力是我在教学中经常思考的一个问题.我发现不仅应当经常提问学生，而且更应努力促进学生由“被动状态”向相应的“自觉状态”转变，也就是由被动地去回答老师的问题而发展成为经常地向自己提出问题.而这一转化过程的引导有待进一步的研究和探讨.
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