第5章
二次根式
5.1
二次根式
第1课时
二次根式的概念及性质
【知识与技能】
1.了解二次根式的概念.
2.掌握二次根式的基本性质.
3.会判断二次根式，能求简单的二次根式中的字母的取值范围.
【过程与方法】
经历二次根式的基本性质、运算法则的探究过程，培养学生从具体到抽象的概括能力.
【情感态度】
经历观察、比较、总结和应用数学等活动，感受数学活动充满了探索性与创造性.体会发现的快乐，并提高应用的意识.
【教学重点】
二次根式的概念及意义.
【教学难点】
利用“（a≥0）”解决具体问题.
一、情景导入，初步认知
1.什么叫做一个数的平方根？如何表示？
2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？
3.16的平方根是什么?
算术平方根是什么？
4.0的平方根是什么？算术平方根是什么？
5.－7有没有平方根？有没有算术平方根？
【教学说明】评价学生与本节课相关的旧知识的掌握情况.
二、思考探究，获取新知
1.说一说：
（1）5的平方根是什么？正实数a的平方根是什么？
（2）运用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度，才能克服地球引力，从而将飞船送入环地球运行的轨道，而第一宇宙速度u与地球半径R之间存在如下关系：u2=gR，其中重力加速度常数g≈9.5m/s2.如已知地球半径R，则第一宇宙速度v是多少？
我们已经知道：每一个正实数a有且只有两个平方根，一个记作，称为a的算术平方根，另一个是-.
【归纳结论】我们把形如的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数.
2.思考二次根式“”中被开方数a能取任意实数吗？
【归纳结论】只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义.
对于非负实数a,由于是a的一个平方根，因此（）2=a(a≥0)
3.做一做：填空.
根据上述结果猜想，当a≥0时，
=
.
【归纳结论】=a(a≥0)
4.议一议：
当a<0时，=a是否依然成立？为什么?
【归纳结论】二次根式的性质：
【教学说明】学生小组交流期间师巡回指导,引导学生小结形成新知，理解新知;引导学生对二次根式的性质做出合理的解释.
三、运用新知，深化理解
1.教材P155例1、P156例2、例3.
2.已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（B）
A．5
B．
C．
D．以上皆不对
3.使式子有意义的未知数x有（B）个．
A．0
B．1
C．2
D．无数
4.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：
5.当x是多少时，
在实数范围内有意义？
【分析】由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义．
6.当x是多少时，
在实数范围内有意义？
7.当x是多少时，在实数范围内有意义？
【分析】要使在实数范围内有意义，必须同时满足
中的2x+3≥0和中的x+1≠0．
8.已知a、b为实数，且
，求a、b的值．
答案：a=5，b=-4
【教学说明】检测本节课学生对新知识的掌握情况，了解不足，以便查缺补漏，个别辅导.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
布置作业:完成教材第159页“习题5.1”中第1
、2
题.
学生已学过平方根、立方根、实数等概念及求法，对实数运算与性质有初步感受，为本节知识打下了基础.本节知识是前面相关内容的发展，同时是后面学习的直接基础，起到了承上启下的作用.
通过复习引入新知，注重将新知识与旧知识进行联系与对比.随后从学生熟悉的四个实际问题出发，用已有的知识写出这四个问题的答案，并分析所得的结果在表达式上的特点，由此引入二次根式的概念，对于二次根式的一些结论，让学生参与思考、探索、学会分类讨论的方法，在教学过程中让学生感受到研究二次根式是实际的需要，二次根式与实际生活联系紧密，以此充分调动学生学习的兴趣.
1第2课时
二次根式的化简
【知识与技能】
1.了解最简二次根式的意义，并能作出准确判断.
2.能熟练地把二次根式化为最简二次根式.
3.了解把二次根式化为最简二次根式在实际问题中的应用.
【过程与方法】
进一步培养学生运用二次根式的性质进行二次根式化简的能力，提高运算能力.
【情感态度】
通过多种方法化简二次根式，渗透事物间相互联系的辩证观点.
【教学重点】
会把二次根式化简为最简二次根式.
【教学难点】
准确运用化二次根式为最简二次根式的方法.
一、情景导入，初步认知
1.什么叫二次根式？使二次根式有意义的条件是什么？
2.当a≥0时，
叫什么？当a<0时，有意义吗？
【教学说明】复习上节课的内容，为本节课的教学作铺垫.
二、思考探究，获取新知
1.计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？
2.化简下列二次根式
（1）
（2）
（3）
【教学说明】化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外.（注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数）
3.化简下列二次根式
4.观察上面几个二次根式化简的结果，它们有什么特点？
【归纳结论】我们把被开方数中不含开方开得尽方的因数（因式），被开方数不含分母的二次根式，叫作最简二次根式.
在二次根式的运算中，一般要把最后的结果化为最简二次根式.
【教学说明】引导学生计算，观察计算结果，总结规律.
三、运用新知，深化理解
1.下列二次根式中哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？
【分析】判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件是否同时满足，同时满足两个条件的就是，否则就不是.
解：最简二次根式有
不是最简二次根式.因为
，
被开方数中含能开得尽方的因数９，所以它不是最简二次根式.
2.化简
(x>0)
6.化简：
7.一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm的铁桶中，当铁桶装满水时，玻璃容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？
【分析】根据倒出的水的体积等于铁桶的体积，列出方程求解即可．
解：设正方形铁桶的底面边长为x，则10x2=30×30×20，
x2=1800，
解得x=（厘米）．
答：正方形铁桶的底面边长是厘米．
【教学说明】检测本节课学生对新知识的掌握情况，了解不足，以便查缺补漏，个别辅导.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
布置作业:完成教材P160“习题5.1”中第4、5、8
题.
学生的主体意识和自主能力不是生来就有的，主要靠教师的激励和主导，才能达到彼此互动.正是在这一教育思想的指导下，促进学生的认知活动与情感活动的协调发展，有效地唤起学生的主体意识，在和谐、愉快的情境中达到师生互动，生生互动.互动式教学模式的目的是让教师乐教、会教、善教，促使学生乐学、会学、善学，从而优化课堂教学、提高教学质量，在和谐、愉快的情景中实现教与学的共振.
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