山东省昌邑市第一中学人教版高中数学必修二课件：1.1.7 柱、锥、台和球体的体积(共38张PPT)
文档属性
| 名称 | 山东省昌邑市第一中学人教版高中数学必修二课件：1.1.7 柱、锥、台和球体的体积(共38张PPT) |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-12 09:04:32 | ||
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文档简介
1.1.7柱、锥、台和球体的体积
学习目标
1.了解祖暅原理及等体积变换的意义．
2．掌握柱、锥、台、球的体积公式并会求它们的体积．
复习回顾
1.正方体的体积公式
V正方体=a3(这里a为棱长)
2.长方体的体积公式
V长方体=abc(这里a,b,c分别为长方体长、宽、高)
或V长方体=sh(s,h分别表示长方体的底面积和高)
等底等高的三角形面积相等
等面积法：
取一摞作业本放在桌面上(如图所示) ，并改变它们的放置方法，观察改变前后的体积是否发生变化？
从以上事实中你得到什么启发？
一. 祖暅原理
祖暅原理：幂势既同，则积不容异.
也就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.
祖暅原理是推导柱、锥、台和球体积公式的基础和纽带，原理中含有三个条件，
条件一是两个几何体夹在两个平行平面之间；
条件二是用平行于两个平行平面的任何一平面可截得两个平面；
条件三是两个截面的面积总相等，这三个条件缺一不可，否则结论不成立.
祖冲之（ 公元429年─公元500年）是我国杰出的数学家，科学家。南北朝时期人，汉族人，字文远。生于宋文帝元嘉六年，卒于齐昏侯永元二年。其主要贡献在数学、天文历法和机械三方面。
祖暅，祖冲之之子，圆满解决了球面积的计算问题，得到正确的体积公式。祖暅总结了刘徽的有关工作，提出“幂势既同则积不容异”，即等高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积相等，这就是著名的“祖暅原理” （或刘祖原理）。祖暅应用这个原理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式。该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年。祖暅的儿子祖皓，续传家学，后来也成了数学家。
等底面积、等高的两个柱体是否体积相等？
体积相等
等高、等截面面积（不受截面形状影响）
二. 棱柱和圆柱的体积
柱体（棱柱和圆柱）的体积等于它的底面积S和高h的积. 即V柱体=S·h.
h
h
底面半径是R，高为的圆柱体的体积的计算公式是V圆柱=πR2h.
将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有什么关系？它们与三棱柱的体积有什么关系？
1
2
3
1
2
3
三. 棱锥和圆锥的体积
1. 如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是S，高是h，那么它的体积是V锥体= Sh.
2. 如果圆锥的底面半径是R，高是h，则它的体积是V圆锥= πR2h.
四. 棱台和圆台的体积
1. V台体= ；其中S、S’分别为台体上、下底面面积，h为台体的高.
2．V圆台=π(r2+Rr+R2)h,其中r、R分别为圆台的上、下底面的半径，高为h.
V柱体=sh
S=S/
S/ =0
S
S’
S
S
数
形
五. 球的体积
V球= ，其中R为球的半径.
实验:
给出如下几何模型
R
R
球的体积证明：
步骤
１．拿出圆锥
和圆柱
２．将圆锥倒立放入圆柱
结论:截面面积相等
R
则两个几何体的体积相等
３．取出半球和新的几何体做它们的截面
R
R
R
＝
５．球的体积计算公式：
R
S1
探究
球的表面积：
例1. 如图所示，在长方体ABCD－A’B’C’ D’中，用截面截下一个棱锥C－A’DD’，求棱锥C－A’DD’的体积与剩余部分的体积之比。
A
D
C
B
C/
D/
B/
A/
C
A/
D/
D
S
h
例1. 如图所示，在长方体ABCD－A’B’C’ D’中，用截面截下一个棱锥C－A’DD’，求棱锥C－A’DD’的体积与剩余部分的体积之比。
解：已知长方体可以看作是直四棱柱ADD’A’－BCC’B’。
设底面ADD’A’的面积是S，高为h，
则它的体积为 V=Sh.
因为棱锥C－A’DD’的底面面积是 S，高是h，
所以棱锥C－A’DD’的体积是
VC－A’DD’=
所以 棱锥C－A’DD’的体积与剩余部分的体积之比是1：5.
例2．有一堆规格相同的铁制(铁的密度是7.8g/cm3)六角螺帽共重5.8kg，已知螺帽底面是正六边形，边长为12mm,内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个（ 取3.14，可用计算器）？
解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，
因此约有
5.8×103÷(7.8×2.956) ≈252(个)
答：螺帽的个数约为252个.
练习题：
1．设六正棱锥的底面边长为1，侧棱长为 ，那么它的体积为（ ）
（A）6 （B）
（C）2 （D）2
B
2．正棱锥的高和底面边长都缩小原来的 ，则它的体积是原来的（ ）
（A） （B）
（C） （D）
B
3．直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V，已知点P、Q分别为AA1、CC1上的点，而且满足AP=C1Q，则四棱锥B－APQC 的体积是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
B
4．把一个大金属球表面涂漆，需油漆2.4kg，若把这个金属球熔化，制成64个半径相等的小金属球（设损耗为零），将这些小金属球表面涂漆，需用油漆 kg.
9.6
5．已知圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则它的体积是 .
6．一个正方体的所有顶点都在球面上，若这个球的体积是V，则这个正方体的体积是 .
7. 若球的大圆面积扩大为原来的3倍，则它的 体积扩大为原来的（ ）
（A）3倍 （B）9倍
（C）27倍 （D）3 倍
D
8. 圆台的上、下底面半径和高的比为1：4：4，母线长10，则圆台的体积为（ ）
（A）672π （B）224π
（C）100π （D）
B
祖暅原理
柱、锥、台的体积
小结
1.本节主要在学习了柱,锥,台及球体的体积和球的表面积.
2.应用上述结论解决实际问题.
作业：P32习题A6，7，8，9，10
学习目标
1.了解祖暅原理及等体积变换的意义．
2．掌握柱、锥、台、球的体积公式并会求它们的体积．
复习回顾
1.正方体的体积公式
V正方体=a3(这里a为棱长)
2.长方体的体积公式
V长方体=abc(这里a,b,c分别为长方体长、宽、高)
或V长方体=sh(s,h分别表示长方体的底面积和高)
等底等高的三角形面积相等
等面积法：
取一摞作业本放在桌面上(如图所示) ，并改变它们的放置方法，观察改变前后的体积是否发生变化？
从以上事实中你得到什么启发？
一. 祖暅原理
祖暅原理：幂势既同，则积不容异.
也就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.
祖暅原理是推导柱、锥、台和球体积公式的基础和纽带，原理中含有三个条件，
条件一是两个几何体夹在两个平行平面之间；
条件二是用平行于两个平行平面的任何一平面可截得两个平面；
条件三是两个截面的面积总相等，这三个条件缺一不可，否则结论不成立.
祖冲之（ 公元429年─公元500年）是我国杰出的数学家，科学家。南北朝时期人，汉族人，字文远。生于宋文帝元嘉六年，卒于齐昏侯永元二年。其主要贡献在数学、天文历法和机械三方面。
祖暅，祖冲之之子，圆满解决了球面积的计算问题，得到正确的体积公式。祖暅总结了刘徽的有关工作，提出“幂势既同则积不容异”，即等高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积相等，这就是著名的“祖暅原理” （或刘祖原理）。祖暅应用这个原理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式。该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年。祖暅的儿子祖皓，续传家学，后来也成了数学家。
等底面积、等高的两个柱体是否体积相等？
体积相等
等高、等截面面积（不受截面形状影响）
二. 棱柱和圆柱的体积
柱体（棱柱和圆柱）的体积等于它的底面积S和高h的积. 即V柱体=S·h.
h
h
底面半径是R，高为的圆柱体的体积的计算公式是V圆柱=πR2h.
将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有什么关系？它们与三棱柱的体积有什么关系？
1
2
3
1
2
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三. 棱锥和圆锥的体积
1. 如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是S，高是h，那么它的体积是V锥体= Sh.
2. 如果圆锥的底面半径是R，高是h，则它的体积是V圆锥= πR2h.
四. 棱台和圆台的体积
1. V台体= ；其中S、S’分别为台体上、下底面面积，h为台体的高.
2．V圆台=π(r2+Rr+R2)h,其中r、R分别为圆台的上、下底面的半径，高为h.
V柱体=sh
S=S/
S/ =0
S
S’
S
S
数
形
五. 球的体积
V球= ，其中R为球的半径.
实验:
给出如下几何模型
R
R
球的体积证明：
步骤
１．拿出圆锥
和圆柱
２．将圆锥倒立放入圆柱
结论:截面面积相等
R
则两个几何体的体积相等
３．取出半球和新的几何体做它们的截面
R
R
R
＝
５．球的体积计算公式：
R
S1
探究
球的表面积：
例1. 如图所示，在长方体ABCD－A’B’C’ D’中，用截面截下一个棱锥C－A’DD’，求棱锥C－A’DD’的体积与剩余部分的体积之比。
A
D
C
B
C/
D/
B/
A/
C
A/
D/
D
S
h
例1. 如图所示，在长方体ABCD－A’B’C’ D’中，用截面截下一个棱锥C－A’DD’，求棱锥C－A’DD’的体积与剩余部分的体积之比。
解：已知长方体可以看作是直四棱柱ADD’A’－BCC’B’。
设底面ADD’A’的面积是S，高为h，
则它的体积为 V=Sh.
因为棱锥C－A’DD’的底面面积是 S，高是h，
所以棱锥C－A’DD’的体积是
VC－A’DD’=
所以 棱锥C－A’DD’的体积与剩余部分的体积之比是1：5.
例2．有一堆规格相同的铁制(铁的密度是7.8g/cm3)六角螺帽共重5.8kg，已知螺帽底面是正六边形，边长为12mm,内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个（ 取3.14，可用计算器）？
解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，
因此约有
5.8×103÷(7.8×2.956) ≈252(个)
答：螺帽的个数约为252个.
练习题：
1．设六正棱锥的底面边长为1，侧棱长为 ，那么它的体积为（ ）
（A）6 （B）
（C）2 （D）2
B
2．正棱锥的高和底面边长都缩小原来的 ，则它的体积是原来的（ ）
（A） （B）
（C） （D）
B
3．直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V，已知点P、Q分别为AA1、CC1上的点，而且满足AP=C1Q，则四棱锥B－APQC 的体积是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
B
4．把一个大金属球表面涂漆，需油漆2.4kg，若把这个金属球熔化，制成64个半径相等的小金属球（设损耗为零），将这些小金属球表面涂漆，需用油漆 kg.
9.6
5．已知圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则它的体积是 .
6．一个正方体的所有顶点都在球面上，若这个球的体积是V，则这个正方体的体积是 .
7. 若球的大圆面积扩大为原来的3倍，则它的 体积扩大为原来的（ ）
（A）3倍 （B）9倍
（C）27倍 （D）3 倍
D
8. 圆台的上、下底面半径和高的比为1：4：4，母线长10，则圆台的体积为（ ）
（A）672π （B）224π
（C）100π （D）
B
祖暅原理
柱、锥、台的体积
小结
1.本节主要在学习了柱,锥,台及球体的体积和球的表面积.
2.应用上述结论解决实际问题.
作业：P32习题A6，7，8，9，10