2020-2021学年江苏省南京师大附中高一（上）10月考数学试题（Word解析版）

2020-2021学年江苏省南京师大附中高一（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单项选择题
1．（3分）不等式x2﹣3x﹣4＜0的解集为（　　）
A．（﹣1，4）
B．（﹣4，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）
D．[﹣1，4]
2．（3分）命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”的否定是（　　）
A．存在x∈Z使x2+2x+m＞0
B．不存在x∈Z使x2+2x+m＞0
C．对任意x∈Z使x2+2x+m≤0
D．对任意x∈Z使x2+2x+m＞0
3．（3分）已知M＝{x|﹣1＜x≤2}，N＝{x|x≤3}，则（?RM）∩N＝（　　）
A．[2，3]
B．（2，3]
C．（﹣∞，﹣1]∪[2，3]
D．（﹣∞，﹣1]∪（2，3]
4．（3分）“|a﹣b|＝|a|+|b|”是“ab＜0”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
5．（3分）已知命题“?x∈R，2x2+（a﹣1）x+≤0是假命题，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1）
B．（﹣1，3）
C．（﹣3，+∞）
D．（﹣3，1）
6．（3分）已知不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为（﹣∞，1）∪（b，+∞），则a，b的取值分别为（　　）
A．1，2
B．2，1
C．﹣1，3
D．﹣1，4
7．（3分）已知a＞b＞1且b＝，则a+的最小值为（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
8．（3分）已知命题p：?x0∈R，mx02+1≤0，命题q：?x∈R，x2+mx+1＞0，若p，q为假命题，则实数m的取值范围是（　　）
A．﹣2≤m≤2
B．m≤﹣2或m≥2
C．m≤﹣2
D．m≥2
9．（3分）设a，b，c∈R，且a＞b，则（　　）
A．ac＞bc
B．
C．a2＞b2
D．a3＞b3
10．（3分）系统找不到该试题
11．（3分）下列说法中正确的是（　　）
A．当x＞0时，+≥2
B．当x＞2时，x+的最小值是2
C．当x＜时，y＝4x﹣2+的最小值是5
D．若a＞0，则a3+的最小值为2
12．（3分）函数f（x）＝x2﹣2ax+1有两个零点，且分别在（0，1）与（1，2）内，则实数a的取值范围是（　　）
A．﹣1＜a＜1
B．a＜﹣1或a＞1
C．
D．
三、填空题
13．（3分）已知p：x≥k，q：＜1，若p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是　
　．
14．（3分）设集合A＝{x||2x﹣3|≤7}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，若A∪B＝A，则实数m的取值范围是　
　．
15．（3分）设题p：x2﹣4x+a2≥0恒成立：命题q：?m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立，如果命题p和q一个为真命题，一个为假命题，则实数a的取值范围是　
　．
16．（3分）设A＝{x|（x2+x﹣2）（x+1）＞0}，B＝{x|x2+ax+b≤0}，A∪B＝{x|x+2＞0}，A∩B＝{x|1＜x≤3}，则实数a，b的值为　
　．
四、解答题
17．已知集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}，B＝{x|x≤1或x≥4}．
（1）当a＝3时，求A∩B；
（2）若A∪B＝R，求实数a的取值范围．
18．求下列不等式的解集：
（1）2x2+5x﹣3＜0；
（2）﹣3x2+6x≤2；
（3）4x2+4x+1＞0；
（4）﹣x2+6x﹣10＞0．
19．设p：实数x满足A＝{x|x≤3a，或x≥a（a＜0）}．q：实数x满足B＝{x|﹣4≤x＜﹣2}．且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
20．若x，y∈（0，+∞），x+2y+xy＝30．
（1）求xy的取值范围；
（2）求x+y的取值范围．
21．某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．
（Ⅰ）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（Ⅱ）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入（x2﹣600）万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．
22．已知f（x）＝﹣3x2+a（6﹣a）x+b．
（1）解关于a的不等式f（1）＞0；
（2）若不等式f（x）≥b+4对于x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围．
2020-2021学年江苏省南京师大附中高一（上）月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、单项选择题
1．【分析】把不等式化为（x﹣4）（x+1）＜0，求出解集即可．
【解答】解：不等式x2﹣3x﹣4＜0可化为（x﹣4）（x+1）＜0，
解得﹣1＜x＜4，
所以不等式的解集为（﹣1，4）．
故选：A．
2．【分析】根据命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题，其否定命题是全称命题，将“存在”改为“任意的”，“≤“改为“＞”可得答案．
【解答】解：∵命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题
∴否定命题为：对任意x∈Z使x2+2x+m＞0
故选：D．
3．【分析】进行补集和交集的运算即可．
【解答】解：∵M＝{x|﹣1＜x≤2}，N＝{x|x≤3}，
∴?RM＝{x|x≤﹣1或x＞2}，（?RM）∩N＝（﹣∞，﹣1]∪（2，3]．
故选：D．
4．【分析】根据绝对值的意义，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：∵“|a﹣b|＝|a|+|b|”，
∴平方得a2﹣2ab+b2＝a2+2|ab|+b2，
即|ab|＝﹣ab，
∴ab≤0，
即“|a﹣b|＝|a|+|b|”是“ab＜0”的必要不充分条件．
故选：B．
5．【分析】写出原命题的否命题，据命题p与￢p真假相反，得到2x2+（a﹣1）x+＞0恒成立，令判别式小于0，求出a的范围．
【解答】解：∵“?x∈R，2x2+（a﹣1）x+≤0”的否定为“?x∈R，2x2+（a﹣1）x+＞0“
∵“?x∈R，2x2+（a﹣1）x+≤0”为假命题
∴“?x∈R，2x2+（a﹣1）x+＞0“为真命题
即2x2+（a﹣1）x+＞0恒成立
∴（a﹣1）2﹣4×2×＜0
解得﹣1＜a＜3
故选：B．
6．【分析】解法一、利用不等式的解集得出对应方程的实数根，由根与系数的关系求出a、b的值．
解法二、利用不等式的解集得出对应方程的实数根，把根代入方程求出a的值，再解不等式求出b的值．
【解答】解：解法一、不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为（﹣∞，1）∪（b，+∞），
所以不等式对应的方程ax2﹣3x+2＝0的实数解为1和b，
由根与系数的关系知，，
解得a＝1，b＝2．
解法二、因为不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，
所以1和b是方程ax2﹣3x+2＝0的两个实数根且a＞0，
把x＝1代入方程ax2﹣3x+2＝0中，得a﹣3+2＝0，解得a＝1；
将a＝1代入ax2﹣3x+2＞0，得x2﹣3x+2＞0，解得x＜1或x＞2，
所以b＝2．
故选：A．
7．【分析】由已知结合a，b的关系代入后利用基本不等式即可直接求解．
【解答】解：因为a＞b＞1且b＝，
所以a+＝a+＝a﹣1+＝3，
当且仅当a﹣1＝即a＝2时取等号，此时取得最小值3．
故选：A．
8．【分析】直接利用存在性问题和恒成立问题的应用及真值表的应用求出结果．
【解答】解：命题p：?x0∈R，mx02+1≤0为假命题，
所以m≥0，
命题q：?x∈R，x2+mx+1＞0，
所以△＝m2﹣4＜0，解得﹣2＜m＜2，
由于该命题为假命题，
所以m≥2或m≤﹣2．
当p，q为假命题时，故，
整理得m≥2．
故选：D．
9．【分析】对于A、B、C可举出反例，对于D利用不等式的基本性质即可判断出．
【解答】解：A、3＞2，但是3×（﹣1）＜2×（﹣1），故A不正确；
B、1＞﹣2，但是，故B不正确；
C、﹣1＞﹣2，但是（﹣1）2＜（﹣2）2，故C不正确；
D、∵a＞b，∴a3＞b3，成立，故D正确．
故选：D．
10．
11．【分析】由已知结合基本不等式的应用条件分别检验各选项即可判断．
【解答】解：x＞0时，≥2，当且仅当即x＝1时取等号，A正确；
当x＞2时，y＝x+单调递增，故y＞，没有最小值，B错误；
x＜可得4x﹣5＜0，y＝4x﹣2+＝4x﹣5++3＝﹣（5﹣4x+）+3≤1，即最大值1，没有最小值，C错误；
＝2a，当且仅当即a＝1时取等号，D正确．
故选：AD．
12．【分析】由题意可得f（0）×f（1）＜0，f（1）×f（2）＜0，解得实数a的取值范围，可得答案．
【解答】解：由题意可得：
f（0）×f（1）＜0，
且f（1）×f（2）＜0，
即：
解得
，
故选：C．
三、填空题
13．【分析】由题意可得集合{x|x≥k}是{x|＜1}的真子集，结合数轴可得答案．
【解答】解：∵p：x≥k，q：＜1，若p是q的充分不必要条件，
∴集合{x|x≥k}是{x|＜1}＝{x|x＜﹣1，或x＞2}的真子集，
∴k＞2，
故答案为：k＞2
14．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，根据A与B并集为A，分B为空集与B不为空集两种情况考虑，求出m的范围即可．
【解答】解：由A中的不等式解得：﹣7≤2x﹣3≤7，
解得：﹣2≤x≤5，即A＝[﹣2，5]；
当B＝?时，m+1＞2m﹣1，即m＜2，
当B≠?时，
∵B＝[m+1，2m﹣1]，A∪B＝A，
∴，
解得：﹣3≤x≤3，
综上，m的取值范围是（﹣∞，3]．
故答案为：（﹣∞，3]
15．【分析】分别求出命题p，q都为真命题时a的取值范围，再分别讨论p真q假，p假q真的情况，从而求出a的范围．
【解答】解：x2﹣4x+a2≥0恒成立，则△＝16﹣4a2≤0，解得a≤﹣2或a≥2，
对m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立，
得a2﹣5a﹣3≥（）max＝3，
解得a≥6或a≤﹣1．
若p真q假，则，解得2≤a＜6；
若p假q真，则，解得﹣2＜a≤﹣1．
综上，实数a的取值范围为﹣2＜a≤﹣1或2≤a＜6．
故答案为：﹣2＜a≤﹣1或2≤a＜6．
16．【分析】由A，B，以及A与B的交集，得到3属于B，即可求出a的值．
【解答】解：A＝{x|（x2+x﹣2）（x+1）＞0}＝{x|﹣2＜x＜﹣1或x＞1}；
A∪B＝{x|x+2＞0}＝{x|x＞﹣2}，
A∩B＝{x|1＜x≤3}，
∴x2+ax+b＝0的解有一个是x＝3，另一个解x＝﹣1，
即，解得a＝﹣2，b＝﹣3
故答案为：﹣2，﹣3．
四、解答题
17．【分析】（1）当a＝3时，求出集合A，由此能求出A∩B．
（2）推导出，由此能求出实数a的取值范围是[2，+∞）．
【解答】解：（1）当a＝3时，集合A＝{x|﹣1≤x≤5}，
B＝{x|x≤1或x≥4}．
∴A∩B＝{x|﹣1≤x≤1或4≤x≤5}．
（2）∵集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}，B＝{x|x≤1或x≥4}．
A∪B＝R，
∴，解得a≥2．
∴实数a的取值范围是[2，+∞）．
18．【分析】（1）方法一（因式分解法），把不等式可化为（2x﹣1）（x+3）＜0，求出解集即可．
方法二（配方法），把不等式化为，求出解集即可．
（2）不等式化为，求出解集即可．
（3）不等式可化为（2x+1）2＞0，写出不等式的解集即可．
（4）不等式可化为（x﹣3）2+1＜0，写出不等式的解集．
【解答】解：（1）方法一（因式分解法）因为2x2+5x﹣3＝（2x﹣1）（x+3），
所以原不等式可化为（2x﹣1）（x+3）＜0，
解得，
所以原不等式的解集为．
方法二（配方法）原不等式化为，
因为，
所以原不等式可化为，
即，
两边开平方，得，
即，
所以．
所以原不等式的解集为．
（2）原不等式化为，
因为，
所以原不等式可化为，
即．两边开平方，得，
即或．
所以或，
所以原不等式的解集为．
（3）原不等式可化为（2x+1）2＞0，
所以原不等式的解集为．
（4）原不等式可化为x2﹣6x+10＜0，即（x﹣3）2+1＜0，
即（x﹣3）2＜﹣1，原不等式的解集为?．
19．【分析】根据q是p的充分不必要条件，建立条件关系即可求实数a的取值范围．
【解答】解：若q是p的充分不必要条件，
则B?A，
∴﹣2≤3a或﹣4≥a，
解得a≥﹣，或a≤﹣4，∵a＜0，
∴a的取值范围是[﹣，0）∪（﹣∞，﹣4]．
20．【分析】（1）由已知可得30﹣xy＝x+2y，从而可求；
（2）由已知可得30＝x+2y+xy＝x+y+y（x+1）≤x+y+（）2，解不等式可求．
【解答】解：（1）因为x，y∈（0，+∞），x+2y+xy＝30，
所以30﹣xy＝x+2y，当且仅当x＝2y时取等号，
解可得，0＜xy≤18，
（2）因为x，y∈（0，+∞），30＝x+2y+xy＝x+y+y（x+1）≤x+y+（）2，
当且仅当x+1＝y时取等号，
所以（x+1+y）2+4（x+1+y）﹣124≥0，
解可得，x+y+1或x+y+1（舍），
故x+y≥8﹣3
21．【分析】（Ⅰ）设每件定价为x元，则提高价格后的销售量为，根据销售的总收入不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定价；
（Ⅱ）依题意，x＞25时，不等式有解，等价于x＞25时，有解，利用基本不等式，我们可以求得结论．
【解答】解：（Ⅰ）设每件定价为x元，则提高价格后的销售量为，根据销售的总收入不低于原收入，有，（3分）
整理得x2﹣65x+1000≤0，
解得25≤x≤40．
（5分）
∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．
（6分）
（Ⅱ）依题意，x＞25时，
不等式有解，（8分）
等价于x＞25时，有解，（9分）
∵（当且仅当x＝30时，等号成立），（11分）
∴a≥10.2．此时该商品的每件定价为30元（12分）
∴当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．
（13分）
22．【分析】（1）将f（1）带入可得﹣a2+6a+b﹣3＞0，把b看成参数讨论关于a的不等式即可；
（2）分离参数，利用对勾函数的性质求解最大值，即可求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）由f（1）＞0，
可得﹣a2+6a+b﹣3＞0，
即b﹣3＞a2﹣6a，
那么（a﹣3）2＜6+b
当b≤﹣6时，此时a无解；
当b＞﹣6时，，
∴所以不等式的解集为（3，3+）．
（2）由f（x）≥b+4，即﹣3x2+a（6﹣a）x≥4．
∵x∈[1，2]，
∴a（6﹣a）≥＝，
又x∈[1，2]，
∴函数y＝的最大值8，此时x＝2．
∴a（6﹣a）≥8，
即a2﹣6a+8≤0，
解得2≤a≤4；
故得实数a的取值范围[2，4]