5.2
平行线
1.平行线
【基本目标】
1.了解平行线的概念，理解同一平面内两条直线间的位置关系；
2.掌握平行公理及平行线的画法.
【教学重点】平行线的概念、画法及平行公理是重点.
【教学重点】平行公理及其推论的应用.
一、情境导入,激发兴趣
我们知道两条直线相交只有一个交点，除相交外，两条直线还存在其它的位置关系吗？看下面的图片（投影）：
双杆上面的两根横杆、支撑横杆的直杆所在的直线相交吗？游泳池中分隔泳道的线所在的直线相交吗？屏风的折处和边所在的直线相交吗？
【教学说明】几何的美感是新课程中使学生能体会到的一个重要方面，所以在讲解平行线时，应有意识加以引导.
二、合作探究，探索新知
1.平行线的概念
（1）根据上面的探究，我们知道，在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.
如下图：
直线a与直线b互相平行，记作“a∥b”，读作“直线a平行于直线b”.
【教学说明】仍然要注意几何图形的意义及其表现形式.对于平行线的表示方法要让学生自己写一遍加深印象.在此要注意：①“同一平面内”是前提，以后我们会知道，在空间即使不相交，可能也不平行；②平行线是“两条直线”的位置关系，两条线段或两条射线平行，就是指它们所在的直线平行；③“不相交”就是说两条直线没有公共点.
（2）请同学们观察思考：在同一平面内，两条不重合的直线位置关系有哪几种？
小结归纳：在同一平面内，两条不重合的直线位置关系有两种：相交或平行.
【教学说明】在此要注意：这里所指的两条直线是指不重合的直线.
2.过直线外一点画已知直线的平行线
(1)
做一做已知直线a外一点P，那么经过点P可以画多少条直线与已知直线a平行？动手画一画.
(2)通过观察和画图，可以体验一个基本事实：
经过直线外一点，
一条直线与这条直线平行.
【教学说明】要掌握过直线外一点作已知直线的平行线，这里必须提醒学生注意到，这个点必须是直线外的一点.
(3)如图,已知直线a和直线外两点B、C，请你按照上面的方法分别过B、C两点画直线a的平行线b和c，然后观察直线b和c有什么关系？
小结归纳：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．即如果b∥a，c∥a，那么b∥c．
【教学说明】这里要使用反证法来进行说明，教师要做引导，讲清楚相关的推导过程，使学生理解结论的科学性.
三、练习反馈，巩固提高
1.如图1所示，与AB平行的棱有条，与AA′平行的棱有
条．
2.如图2所示，按要求画平行线．
（1）过P点画AB的平行线EF；（2）过P点画CD的平行线MN．
3.如图3所示，点A，B分别在直线l1，l2上，
（1）过点A画到l2的垂线段；（2）过点B画直线l3∥l1．
4.下列说法中，错误的有（
）
①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交;
②若a∥b，b∥c，那么a∥c;
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;
④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行相交、垂线三种.
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
5.根据下列要求画图.
(1)如图(1)所示,过点A画MN∥BC;
(2)如图(2)所示,过点P画PE∥OA,交OB于点E,过点P画PH∥OB,交OA于点H;
(3)如图(3)所示,过点C画CE∥DA,与AB交于点E,过点C画CF∥DB,与AB的延长线交于点F.
（1）
（2）
（3）
【教学说明】第1题把平面中的平行线与简单的立体图形相结合对学生的学习是有所帮助的.第5题画图要注意看清题目的要求，教师可适当示范画法.
【答案】1.3,3
2.
3.
4.C
5.
四、师生互动，课堂小结
1.在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.在同一平面内，两条不重合的直线位置关系有两种：相交或平行.
2.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
3.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．即如果b∥a，c∥a，那么b∥c．
【教学说明】教师引导学生对本节课知识进行总结，加深印象，重点强调“过直线外一点”.对出现的疑惑及时予以解答，使学生更好的掌握本节课知识.
完成本课时对应的练习.
本节课的重点是平行线的概念和平行公理及其推论.难点在于画平行线、平行公理及其推论的应用.但是，由于平行线是直线，而直线在我们的实际生活中并不存在，所以，我们需要借助同学们的想象力，将线段想象为直线.
先通过图片展示让学生感受平行线的形象，然后让学生通过观察思考得出平行线的定义.教师要强调“在同一平面内”这一条件.画平行线时要强调“过直线外一点”.用几何语言进行叙述过程是学生学习的难点，教师可以通过示范引导，逐步让学生养成相应的习惯.
42.平行线的判定
【基本目标】
1.使学生通过学习能掌握运用同位角相等、内错角相等、同旁内角互补来说明两条直线平行；
2.使学生通过对三种判定方法的学习，能灵活地利用平行线的三个识别方法解决问题.
【教学重点】对三种判定方法的灵活运用.
【教学重点】如何在不同情况下选择不同的方法.
一、情境导入，激发兴趣
1.经过直线外一点,有且只有
条直线与这条直线平行.
2.如图，直线a、b都与直线c相交，根据各个角的位置关系填空：
（1）∠1与∠2是
角；
（2）∠3与∠2是
角；
（3）∠2与∠4是
角.
【教学说明】这些知识点都是本节课需要用到的，通过复习，帮助学生进行回忆，为本节课知识的探究打下基础.
二、合作探究，探索新知
1.平行线的判定方法1
（1）按要求作图：用直尺和三角板过点P做已知直线AB的平行线.
画法：
（2）画图过程中，什么角始终保持相等？
（3）直线l1和l2位置关系如何？
（4）根据以上探究，请你总结判定两条直线平行的方法？
（5）小结归纳：两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.
简单地说:同位角相等,两条直线平行.
符号语言：∵∠1=∠2，∴a∥b.
【教学说明】学生边画图，边观察思考，总结发现的规律，主要从两个角的位置和大小关系上来进行探究，位置和大小的关系得出结果.教师要示范用符号语言表示这一判定方法，让学生了解几何说理的过程.
2.平行线的判定方法2、3
（1）如图，如果∠2=∠3，能得出a∥b吗？
（2）如果∠2＋∠4＝180°，能得出a∥b吗？
【答案】
（1）∵∠2=∠3∠1=∠3（已知）
∴∠1=∠2.
∴a∥b.（同位角相等，两直线平行）
你能用文字语言概括上面的结论吗？
结论：两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.
简单地说：内错角相等,两直线平行.
符号语言：∵∠2=∠3,
∴a∥b.
（2）∵
∠4+∠2=180°,∠4+∠1=180°（已知）
∴∠2=∠1
（同角的补角相等）
∴a∥b.
（同位角相等,两条直线平行）
你能用文字语言概括上面的结论吗？
结论：两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么两条直线平行.
简单地说：同旁内角互补,两直线平行.
符号语言：
∵∠4+∠2=180°,
∴
a∥b.
【教学说明】教师引导学生进行简单的推理，得出结论，然后再仿照方法一进行归纳，得出其它两个判定方法，同时渗透转化的数学思想.
三、示例讲解，掌握新知
例1如图，直线a、b被直线l所截，已知∠1=115°，∠2=115°，直线a、b平行吗？为什么？
【教学说明】学生可能会将它转化为同位角相等来进行说明，教师要引导学生发现直接利用内错角相等来说明更简单.
例2如图，在四边形ABCD中，已知∠B=60°，∠C=120°，AB与CD平行吗？AD与BC平行吗？
【教学说明】让学生观察两个角的位置关系，再结合判定方法来进行说明.注意过程的规范性.
例3在同一平面内，直线CD、EF均与直线AB垂直，D、F为垂足.试判断CD与EF是否平行.
小结归纳：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.
【教学说明】这个问题三种判定方法都可以使用，可以引导学生用不同的方法来进行证明.然后对得到的结论进行总结，形成新的判定方法.
四、练习反馈，巩固提高
1.如图，∠D=∠EFC，那么（
）
A.AD∥BC
B.AB∥CD
C.EF∥BC
D.AD∥EF
第1题图
第2题图
2.如图，判定AB∥EC的理由是（
）
A.∠B=∠ACE
B.∠A=∠ECD
C.∠B=∠ACB
D.∠A=∠ACE
3.如图，下列推理正确的是（
）
A.∵∠1=∠3，∴a∥b
B.∵∠1=∠2，∴a∥b
C.∵∠1=∠2，∴c∥d
D.∵∠1=∠5，∴c∥d
第3题图
第4题图
4.已知，如图∠1＋∠2＝180°，填空.
∵∠1＋∠2＝180°（
）
又∵∠2＝∠3（
）
∴∠1＋∠3＝180°
∴
（
）
5.如图所示,已知直线a,b,c,d,e,且∠1=∠2,∠3+∠4=180°,则a与c平行吗?为什么?
【教学说明】学生独立完成，第4题是帮助学生熟悉证明的一般过程，注意理由的填写规范性.第5题是一个证明题，学生在书写的时候可能不是很规范，教师要及时予以纠正和强调.
【答案】1.D
2.D
3.B
4.已知对顶角相等a∥b,同旁内角互补，两直线平行
5.解：a与c平行.∵∠1=∠2，∴a∥b.∵∠3+∠4=180°，∴b∥c，∴a∥c.
五、师生互动，课堂小结
【教学说明】教师引导学生对本节课知识进行总结，加深印象.重点是如何将文字语言转化为几何语言，对出现的疑惑及时予以解答，使学生更好的掌握本节课知识.
完成本课时对应的练习.
这节课的主要内容是平行线的判定方法，这也是本章的重点内容.难点是利用同位角判定两直线平行的方法和平行线的画法.在画平行线时，三角尺移动要紧靠直尺，三角尺的大小不变，也就是同位角相等.利用内错角和同旁内角来判定两直线平行，教师采用教科书的探讨问题的方式，通过分析，引导学生去发现这些角之间的关系，要求学生自己完成.学生在推导方法二时，总认为此时已知同位角相等，而不是经过简单的推理证明得到.学生推导方法三时，大有好转，能用方法一或方法二得出方法三.
学生刚刚接触用演绎推理方法证明几何定理或图形的性质，对几何证明的意义还不太理解．有些同学甚至认为从直观图形即可辨认出的性质，没必要再进行证明．这些都使几何的入门教学困难重重．因此，教学中既要有直观的演示和操作，也要有严格推理证明的板书示范．创设情境，不断渗透，使学生初步理解证明的步骤和基本方法，能根据所学知识在括号内填上恰当的公理或定理．所以理解由判定公理推出判定定理的证明过程是重点，也是难点．
13.平行线的性质
【基本目标】
1.探索平行线的性质，并掌握它们的文字语言、符号语言和图形语言；
2.会用平行线的性质进行简单的计算和推理，结合平行线对图形进行简单的平移.
【教学重点】掌握平行线的性质.
【教学重点】平行线的性质的应用.
一、情境导入，激发兴趣
1.如何用同位角、内错角、同旁内角来判定两条直线是否平行？
2.把它们已知和结论颠倒一下，可得到怎样的语句？它们正确吗？
【教学说明】平行线的判定与平行线的性质有密切的联系，通过第2个问题，让学生对要探究的问题有一个初步的印象，为后面的总结归纳奠定基础.
二、合作探究，探索新知
1.实验观察，发现平行线第一个性质
（1）请同学们观察你的练习本，每一页上都有许多互相平行的横线条，任取其中两条平行的线条，如图l1∥l2，请同学们任意的画一条直线l3与它们相交，请度量∠1和∠2的大小，你能发现什么关系？
（2）请同学们再作出直线l4与它们相交，再度量一下∠3和∠4的大小，你还能发现它们有什么关系？
小结归纳：平行线性质：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说就是：两直线平行，同位角相等.
如上图：∵
l1∥l2（已知）
∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）
【教学说明】学生通过动手操作发现规律，再通过∠3和∠4的测量进行验证，教师再提示学生对照平行线的判定方法一进行总结，归纳出平行线的性质一.
2.演绎推理，发现平行线的其它性质
（1）已知：如图①，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD．
求证：∠1=
∠2．
图①
（2）已知：如图②，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD．
求证：∠1+∠2=180°．
图②
小结归纳：两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.简单说成：两直线平行,
内错角相等.
如图①：∵
AB∥CD．（已知）
∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）
两条平行线被第三条线所截,同旁内角互补.简单说成：两直线平行,
同旁内角互补.
如图②
∵
AB∥CD．（已知）
∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）
【教学说明】渗透逻辑推理的思想将是本节教学中的一个非常重要的知识.在几何学上，对数学语言的训练是初学者最难以理解的东西，所以在教学中必须时时重视.
3.平行线判定与性质的区别与联系
投影：将三条判定与性质全部打出．
（1）性质：根据两条直线平行，去证角的相等或互补．
（2）判定：根据两角相等或互补，去证两条直线平行．
联系：它们的条件和结论是互逆的.
区别：性质与判定要证明的问题是不同的．
【教学说明】平行线的判定与平行线的性质两者间的关系应该加以注意，毕竟两者的联系是非常紧密的，而且借助平行线的识别来学习可以达到事半功倍作用.
三、示例讲解，掌握新知
例1如图，已知直线a∥b，∠1=50°，求∠2的度数.
分析：由于a∥b，根据两直线平行，内错角相等，可得∠1=∠2.又∠1=50°，因此∠2=50°.
【教学说明】这个例题比较简单，可以让学生自主完成，但是要注意格式的规范性.
例2如图在四边形ABCD中，已知AB∥CD，∠B=60°，求∠C的度数.能否求得∠A的度数
？
分析：由于AB∥CD
，
根据两直线平行，同旁内角互补
，
可得
.
又∠B=60°
，因此∠C=
.
根据题目的已知条件，无法求出
∠A的度数.
【教学说明】对于第一问，可以让学生自主完成，第二问教师可适当引导学生进行观察思考后回答，对于出现的问题及时予以纠正和强调.
例3结合平行线对图形进行简单的平移，
将如图所示的方格纸中的图形向右平移4格，并向上平移3格，画出平行移动后的图形.
【教学说明】先让学生观察思考，提出思路，再让学生比较各种方法，找到最佳方案，然后教师再引导学生总结规律.平移时，找到关键的点进行平移，再进行连接.有关图形的平移，应抓其点与形的关系，即如何做到以点代形，以点代面.
四、练习反馈，巩固提高
1.如图1，已知∠1=100°，AB∥CD，则∠2=
，∠3=
，∠4=
．
2.如图2，直线AB、CD被EF所截，若∠1=∠2，则∠AEF
+∠CFE
=
．
3.如图3所示
（1）若EF∥AC，则∠A
+∠
=
180°，∠F
+
∠
=
180°（
）．
（2）若∠2
=∠
，则AE∥BF．
（3）若∠A
+∠
=
180°，则AE∥BF．
4.如图4，AB∥CD，∠2
=
2∠1，则∠2
=
．
5.如图5，推理填空：
图5
（1）∵∠A
=∠
（已知），
∴AC∥ED（
）；
（2）∵∠2
=∠
（已知），
∴AC∥ED（
）；
（3）∵∠A
+∠
=
180°（已知），
∴AB∥FD（
）；
（4）∵∠2
+∠
=
180°（已知），
∴AC∥ED（
）.
【教学说明】学生独立完成，对于第3题，图形比较复杂，可以提示学生将图形进行分解，得出结论，第5题是对学生的推理能力进行训练，要注意学生语言的规范性.
【答案】1.100°100°80°
2.180°
3.(1)∠AEF∠ABF两直线平行，同旁内角互补（2）∠4（3）∠1
4.120°
5.(1)∠BED同位角相等，两直线平行
（2）∠DFC内错角相等，两直线平行
（3）∠AFD同旁内角互补，两直线平行
（4）∠AFD同旁内角互补，两直线平行
五、师生互动，课堂小结
1.平行线性质：
（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等
.简单说就是：两直线平行，同位角相等．
（2）两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.简单说成：两直线平行,内错角相等.
（3）两条平行线被第三条线所截,同旁内角互补.简单说成：两直线平行,
同旁内角互补.
2.平行线判定与性质的区别与联系
（1）性质：根据两条直线平行，去证角的相等或互补.
（2）判定：根据两角相等或互补，去证两条直线平行.
联系：它们的条件和结论是互逆的.区别：性质与判定要证明的问题是不同的．
【教学说明】教师引导学生对本节课知识进行总结，加深印象，重点是总结平行线的判定与性质的区别与联系.对出现的疑惑及时予以解答，使学生更好的掌握本节课知识.
完成本课时对应的练习.
本节课首先提出问题：
1.请同学们回顾前面学过的平行线的判定方法，并说出它们的已知和结论分别是什么？
2.把这三句话的已知和结论颠倒一下，可得到怎样的语句？它们正确吗？
这样通过复习旧知,引出新知，通过提问,让学生思考,针对问题,敢于发表自己的见解.紧接着让学生动手操作，画出两条互相平行的直线的截线，找出其中的同位角.让学生通过测量验证同位角之间的关系，把验证的结论告诉大家，从而得出平行线的性质一.用这样的方法可以让学生都参与到教学中来，提高了他们动手、动脑的能力，而且增加了学习兴趣.再让学生用“∵”、“∴”的推理形式，也就是数学符号语言的形式把性质一.表示出来.这样可以增强学生的数学符号感.另外两个性质让学生想办法验证，再利用性质一来推导，加强了学生的逻辑推理能力.在教学过程中，进行推理论证是学生学习的难点，教师要做好引导.注意格式的规范性和严密性.
1
