15.4角的平分线 第3课时 角平分线的判定 课件（共18张PPT）

(共18张PPT)
第3课时
角平分线的判定
15.4
角的平分线
沪科版·八年级数学上册
上课课件
学习目标
【知识与技能】
探索角平分线的逆定理.
【过程与方法】
通过探索角平分线逆定理的过程，体会这个定理的作用，增强几何空间意识.
【情感与态度】
培养良好的逻辑推理能力.
【教学重点】
重点是掌握角平分线的逆定理.
【教学难点】
难点是运用角平分线定理简化证明线段相等的问题.
导入新知
写出上面角平分线性质定理的逆命题.
这逆命题是真命题吗？如果是真命题请写出已知、求证，并指出证明.
【归纳结论】角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
如图所示，PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，则点P与∠AOB有什么特殊关系？
例1
如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，AC的距离相等.
证明：过点P作PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,
垂足分别为D,E,F.
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,
∴PD=PE.同理,PE=PF.
∴PD=PE=PF,
即点P到三边AB,BC,CA的距离相等.
1.如图所示，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，BE，CD相交于点O，且OB=OC.求证：点O在∠BAC的平分线上.
运用新知
证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDO=∠CEO=90°.
又∵OB=OC，（已知）∠BOD=∠COE，（对顶角相等）
∴△BOD≌△COE（AAS）
∴OD=OE.
∴点O在∠BAC的平分线上.（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）
2.如图所示，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD⊥OA于点D，E为OA上一点，∠PEO+∠PFO=180°.求证：OE+OF=2OD.
证明：如图所示，过点P作PM⊥OB于点M.
∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，（已知）
∴PD=PM.（角平分线上的点到角两边的距离相等）
在Rt△POD和Rt△POM中，
∴Rt△POD≌Rt△POM，（HL）
∴OD=OM.（全等三角形的对应边相等）
又∵∠PEO+∠PFO=180°，（已知）
∠PFM+∠PFO=180°，（平角定义）
∴∠PED=∠PFM.
又∵PD⊥OA，PM⊥OB，（已知）
∴∠PDE=∠PMF=90°.（垂直定义）
在△PDE和△PMF中，
∴△PDE≌△PMF，（AAS）
∴DE=MF，（全等三角形的对应边相等）
∴OE+OF=（OD+DE）+（OM-MF）=OD+DE+OD-DE=2OD.（等量代换）
随堂演练
1.如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，PC＝4，则PD＝(　
　)
C
A．4　　　　　B．3　　　　　
C．2　　　　　D．1
2.到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的(　
　)
A．三条中线的交点　　　　　　　
B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点
D．三条角平分线的交点
D
3.如图所示，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD＝CD.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED＝90°.
又∵∠BDF＝∠CDE，BD＝CD，∴△BDF≌△CDE(AAS)，
∴DF＝DE，
∴点D在∠BAC平分线上，AD平分∠BAC.
1.这两个定理之间有何区别？
2.你还能得到哪些结论？
课堂小结
1.从教材习题中选取完成练习；
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业
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