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8 数学广角——数与形
【教学内容】
教材第107页例1和例2及第108页做一做和练习二十二第1~4题。
【教学目标】
1.通过数与形的教学，使学生初步学会一种重要的解题方法与策略。促进学生数学思维的发展。
2.借助相关图形的操作与剪拼等情境，实现数与形之间的转化。
3. 通过数与形的训练，让学生感受到数学之美。
【重点难点】
通过数与形的教学，使学生初步学会一种重要的解题方法与策略。
【情景导入】
课件出示：
杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下：
杨辉，字谦光，北宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图。
杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到，最简单的就是找规律。
师：今天我们就来一起走进奇妙无穷的数学广角——数与形。
板书：数与形
【新课讲授】
1.教学例1。
出示课件：
（1）提问：观察一下，上面的图和下边的算式有什么关系？把算式补充完整。
1=()
1+3=（）
1+3+5=（）
生：左边的加数是大正方形右上角的小正方形和其他"L"形图形所包含的小正方形个数之和。
图一：1
图二：1+3
图三：1+3+5
生：右边正好是每行或每列小正方形个数的平方。
1=(1)
1+3=（2）
1+3+5=（3）
（2）尝试练习。
你能利用规律直接写一写吗？如果有困难，可以画图。
1+3+5+7=（）
1+3+5+7+9+11+13=（）
=9
(3)学生汇报交流。
1+3+5+7=（4）
1+3+5+7+9+11+13=（7）
1+3+5+7+9+11+13+15+17=9
2.教学例2。
课件出示：
（1）尝试计算。
（2）提问：你能发现什么规律？
生：从第二个数开始，每个数是前一个数的12。
生：我一个一个加下去看看，答案好像有些规律。加下去，等号右边的分数越来越接近1。
（3）画图理解。
用一个圆或者一条线段表示“1”。
分析：从图上可以看出这些分数不断加下去，总和就是1。
教师总结：有些计算问题或者大题通过画图，解决起来更直观。图形与数学之间能相互转化，能使计算更直观，更简单。
3.巩固练习。
（1）完成教材第108页“做一做”。
第1题。
1+3+5+7+5+3+1=42+32=16+9=25
1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1=7+6=85
第2题。分析：第1个图形有1个红色，第二个图形有2个红色，第三个图形有3个红色……所以第6个图形有6个红色，第10个图形有10个红色。
蓝色的个数等于总数-红色个数。第一个图形共有蓝色：3×3-1个，第2个图形共有蓝色：3×4-2（个），第3个图形共有蓝色：3×5-3（个）……第6个图形共有蓝色：3×8-6＝18（个），第10个图形共有蓝色：3×12-10=26（个）。
（2）完成教材练习二十二第1~4题。
第1题。
提示：第5个图形外圈有（2×5+1）2-（2×5-1）2=40个小正方形，由题意可知第一个图形：
3-1=（1×2+1）-1，
第二个图形：
5-3=（2×2+1）-（2×2-1），
第三个图形：
7-5=（2×3+1）-（2×3-1），
第n个图形：（2n+1）-（2n-1）。
第2题。第10个数是1+2+3+4+…+10=（1+10）×10÷2=55。
第3题。提示：
三角形的个数：
1 1+2+1=4 1+2+3+2+1=9 1+2+3+4+3+2+1=16
周长：
1×3=3 2×3=6 3×3=9 4×3=12
若大三角形最下面一层三角形的个数为n,则大三角形的周长=3（）。
【课堂小结】
同学们，请你们探讨这节课我们有哪些收获？
【课后作业】
1.完成练习二十二第5~8题。
2.完成《创优作业100分》本课时练习。
数学广角——数与形
图形与数学之间能相互转化，解决问题更直观，更简单。
1.如何定位教学目标，数与形相映原属奥数内容，使学生初步感受一些基本的数学思想方法是数学广角的主要教学目标之一。但在具体的课堂中如何适度把握教学要求，我虽然在课前已经钻研了教参，也已经上完了课，但这个还是值得我探究的一个问题。
2.如何设计教学活动，使学生在观察思考中建立起解决“数与形相映”问题的方法的同时发展学生的思维也是值得思考的一件事。
同程度
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第1课时 数与形（1）
一、填空题。
1．观察下面的点阵图规律，第（9）个点阵图中有（ ）个点。
2．先画出第五个图形并填空。再想一想：后面的第10个方框里有（ ）个点，第51个方框里有（ ）个点。
二、把4个完全相同的乒乓球标上数字2、3、4、5，然后放到一个不透明的口袋中，第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再任意摸出一个球。
（1）请将下面的连线图补充完整：
（2）根据上图计算，两次摸出的球所标数字之和是7的可能性是多少？
答案：
一、1. 30；2. 1＋4×4；37，201
二、
1.
2. 共有12种情况，和为7的有4种情况，可能性为1/3。
二、1. 扇形统计图 2. 条形统计图
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数学人教版六年级上册
第1课时 数与形（1）
第8单元 数学广角—数与形
1＋3＝（ ）
4
1＋3 ＋5＝（ ）
9
1＋3＋5＋7＝（ ）
16
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＝（ ）
100
计算出结果。
你发现了什么？
复习导入
（ ）
1
1＝
1
＋3＝
（ ）
2
1 ＋3
＋5 ＝
（ ）
2
2
3
观察一下，上面的图和下面的算式有什么关系？把算式补充完整。
我发现，算式左边的加数是大正方形右上角的小正方形和其他“L”形图形所包含的小正方形个数之和正好是每行或每列小正方形个数的平方。
2
探索新知
观察一下，上面的图和下面的算式有什么关系？把算式补充完整。
我发现，从1开始的连续奇数的和正好
是这串数个数的平方。
1 ＋3
＋5 ＝
（ ）
2
3
1
＋3＝
（ ）
2
2
（ ）
1
1＝
2
探索新知
1＋3＋5＋7＝（ ）
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13 ＝（ ）
你能利用规律直接写一写吗？
4
7
如果遇到困难,可以画图来帮助。
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17
＝9
2
2
2
探索新知
1＋3＋5＋7＋5＋3＋1 ＝（ ）
1. 请根据例1的结论算一算。
25
可以看成两部分：1＋3＋5＋7＝42
5＋3＋1＝ 32
42＋ 32 ＝25
跟踪练习
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1＝（ ）
85
原式＝7 ＋6 ＝85
2
2
2. 请根据例1的结论算一算。
跟踪练习
3. 下面每个图中最外圈有多少个小正方形？
照这样画下去，第5个图形最外圈有（ ）个小正方形。
40
3 －1＝ 8
5 －3 ＝ 16
7 -5 ＝ 24
11 -9 =40
跟踪练习
四、课后小结
这节课你有什么收获？还有什么疑问吗？
课堂小结
谢 谢 观 看！
谢谢
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