正态分布
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(共26张PPT)
蒋瑞源 105012007126
高尔顿板
创设情境引入新课
11
频率
槽的编号
a
b
若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布直方图的顶边缩小乃至形成一条光滑的曲线，我们称此曲线为概率密度曲线．
总体在区间 内取值的概率
概率密度曲线
概率密度曲线的形状特征．
“中间高，两头低，
左右对称”
上图中概率密度曲线具有“中间高，两头低”的特征，像这种类型的概率密度曲线,叫做“正态密度曲线”，它的函数表达式是
式中的实数 、 是参数,分别表示总体的平均数与标准差.不同的 对应着不同的正态密度曲线
)
0
(
>
s
s
知识点一：正态密度曲线的概念
探究新知
（1）当 = 时,函数值为最大.
(3) 的图象关于 对称.
（2） 的值域为
（4）当 ∈ 时 为增函数.
当 ∈ 时 为减函数.
正态密度曲线的图像特征
μ
（－∞，μ]
（μ，+∞）
0
1
2
-1
-2
x
-3
3
X=μ
σ
正态曲线
=μ
知识点二：正态密度曲线的图像特征、性质
方差相等、均数不等的正态分布图示
3
1
2
σ=0.5
μ= -1
μ=0
μ= 1
若 固定, 随 值的变化而沿x轴平移, 故 称为位置参数；
正态密度曲线的图像特征
均数相等、方差不等的正态分布图示
=0.5
=1
=2
μ=0
若 固定, 大时, 曲线矮而胖；
小时, 曲线瘦而高, 故称
为形状参数。
正态密度曲线的图像特征
0
1
2
-1
-2
x
y
-3
μ= -1
σ=0.5
0
1
2
-1
-2
x
y
-3
3
μ=0
σ=1
0
1
2
-1
-2
x
y
-3
3
4
μ=1
σ=2
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.
（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
（4）曲线与x轴之间的面积为1
（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)
正态密度曲线的性质
σ=0.5
0
1
2
-1
-2
x
y
-3
3
X=μ
σ=1
σ=2
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定 .
σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；
σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
（5）当 x<μ时,曲线上升;当x>μ时,曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x轴为渐近线,向它无限靠近.
正态密度曲线的性质
1、正态曲线下面积的分布规律
正态曲线下面积的意义：正态曲线下一定区间内的面积代表变量值落在该区间的概率。整个曲线下的面积为1，代表总概率为1。
曲线下面积的求法：定积分法和标准正态分布法
知识点三：正态分布
2.正态分布的定义:
如果对于任何实数 a则称为X 的正态分布. 正态分布由参数μ、σ唯一确定.正态分布记作N（ μ，σ2）.其图象称为正态曲线.
如果随机变量X服从正态分布，
则记作 X~ N（ μ，σ2）
a
b
X
Y
当μ＝0，σ＝1时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表达式是
其相应的曲线称为标准正态曲线。标准正态总体N（0，1）在正态总体的研究中占有重要地位。任何正态分布的问题均可转化成标准总体分布的概率问题。
知识点四：标准正态曲线
m-a
m+a
x=μ
特别地有
知识点五： 原则
若X~N ,则对于任何实数a>0,概率
为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和 而言，该面积随着 的减少而变大。这说明 越小, 落在区间 的概率越大，即X集中在 周围概率越大。
我们从上图看到，正态总体在 以外取值的概率只有4.6％，在 以外取值的概率只有0.3 ％。
由于这些概率值很小（一般不超过5 ％ ），通常称这些情况 发生为小概率事件。
原则概念
区 间 取值概率
（μ－σ，μ＋σ） 68.3%
（μ－2σ，μ＋2σ） 95.4%
（μ－3σ，μ＋3σ） 99.7%
小概率事件的含义:
发生概率一般不超过5％的事件，即事件在一次试验中几乎不可能发生
小概率事件的含义
在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布：
在生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标一般都服
从正态分布；
在测量中，测量结果、测量的随机误差都服从正态分布；
在生物学中，同一群体的某一特征都服从正态分布；
……；
在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降
雨量等，水文中的水位都服从正态分布。
总之，正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的许多领域中。
正态分布在概率和统计中占有重要地位。
知识点六：正态分布的意义
例1、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b。下列说法中不正确的是（ ）
A.曲线b仍然是正态曲线；
B.曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等;
C.以曲线b为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a为概率密度曲线的总体的期望大2;
D.以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为概率密度曲线的总体的方差大2。
C
例题讲解
例题2 某地区数学考试的成绩服从正态分布，其密度函数曲线如下图：
写出的分布密度函数；
求成绩位于区间 的概率是多少？
求成绩位于区间 的概率是多少？
若该地区有10000名学生参加考试，从理论上讲成绩在76分以上的考生有多少人？
20 40 60 80 100
y
x
O
例题讲解
例3 设正态总体落在区间 和区间 内的概率相等，落在区间 内的概率 为，求该正态总体对应的正态曲线的最高点的坐标。
例题讲解
归纳小结
1 正态总体函数解析式：
0
1
2
-1
-2
x
y
-3
μ= -1
σ=0.5
0
1
2
-1
-2
x
y
-3
3
μ=0
σ=1
0
1
2
-1
-2
x
y
-3
3
4
μ=1
σ=2
2 正态曲线
归纳小结
3 正态曲线的性质
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.
（2）曲线关于直线x=μ对称.
（3）曲线在x=μ时位于最高点.
（4）当 x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降.
并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐近线，
向它无限靠近.
(5)当μ一定时，曲线的形状由σ确定 .
σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；
σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
归纳小结
4.标准正态分布
a
b
X
Y
（2）“标准正态分布表”
一、 课本75页 A组 第1题
B组 第2题
二、 在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布 ，已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名。试问此次参赛的学生总数约有多少人？
课外思考：请尝试从解析式角度分析正态
曲线的对称性与最值。
布置作业
谢谢！
蒋瑞源 105012007126
高尔顿板
创设情境引入新课
11
频率
槽的编号
a
b
若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布直方图的顶边缩小乃至形成一条光滑的曲线，我们称此曲线为概率密度曲线．
总体在区间 内取值的概率
概率密度曲线
概率密度曲线的形状特征．
“中间高，两头低，
左右对称”
上图中概率密度曲线具有“中间高，两头低”的特征，像这种类型的概率密度曲线,叫做“正态密度曲线”，它的函数表达式是
式中的实数 、 是参数,分别表示总体的平均数与标准差.不同的 对应着不同的正态密度曲线
)
0
(
>
s
s
知识点一：正态密度曲线的概念
探究新知
（1）当 = 时,函数值为最大.
(3) 的图象关于 对称.
（2） 的值域为
（4）当 ∈ 时 为增函数.
当 ∈ 时 为减函数.
正态密度曲线的图像特征
μ
（－∞，μ]
（μ，+∞）
0
1
2
-1
-2
x
-3
3
X=μ
σ
正态曲线
=μ
知识点二：正态密度曲线的图像特征、性质
方差相等、均数不等的正态分布图示
3
1
2
σ=0.5
μ= -1
μ=0
μ= 1
若 固定, 随 值的变化而沿x轴平移, 故 称为位置参数；
正态密度曲线的图像特征
均数相等、方差不等的正态分布图示
=0.5
=1
=2
μ=0
若 固定, 大时, 曲线矮而胖；
小时, 曲线瘦而高, 故称
为形状参数。
正态密度曲线的图像特征
0
1
2
-1
-2
x
y
-3
μ= -1
σ=0.5
0
1
2
-1
-2
x
y
-3
3
μ=0
σ=1
0
1
2
-1
-2
x
y
-3
3
4
μ=1
σ=2
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.
（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
（4）曲线与x轴之间的面积为1
（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)
正态密度曲线的性质
σ=0.5
0
1
2
-1
-2
x
y
-3
3
X=μ
σ=1
σ=2
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定 .
σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；
σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
（5）当 x<μ时,曲线上升;当x>μ时,曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x轴为渐近线,向它无限靠近.
正态密度曲线的性质
1、正态曲线下面积的分布规律
正态曲线下面积的意义：正态曲线下一定区间内的面积代表变量值落在该区间的概率。整个曲线下的面积为1，代表总概率为1。
曲线下面积的求法：定积分法和标准正态分布法
知识点三：正态分布
2.正态分布的定义:
如果对于任何实数 a
如果随机变量X服从正态分布，
则记作 X~ N（ μ，σ2）
a
b
X
Y
当μ＝0，σ＝1时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表达式是
其相应的曲线称为标准正态曲线。标准正态总体N（0，1）在正态总体的研究中占有重要地位。任何正态分布的问题均可转化成标准总体分布的概率问题。
知识点四：标准正态曲线
m-a
m+a
x=μ
特别地有
知识点五： 原则
若X~N ,则对于任何实数a>0,概率
为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和 而言，该面积随着 的减少而变大。这说明 越小, 落在区间 的概率越大，即X集中在 周围概率越大。
我们从上图看到，正态总体在 以外取值的概率只有4.6％，在 以外取值的概率只有0.3 ％。
由于这些概率值很小（一般不超过5 ％ ），通常称这些情况 发生为小概率事件。
原则概念
区 间 取值概率
（μ－σ，μ＋σ） 68.3%
（μ－2σ，μ＋2σ） 95.4%
（μ－3σ，μ＋3σ） 99.7%
小概率事件的含义:
发生概率一般不超过5％的事件，即事件在一次试验中几乎不可能发生
小概率事件的含义
在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布：
在生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标一般都服
从正态分布；
在测量中，测量结果、测量的随机误差都服从正态分布；
在生物学中，同一群体的某一特征都服从正态分布；
……；
在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降
雨量等，水文中的水位都服从正态分布。
总之，正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的许多领域中。
正态分布在概率和统计中占有重要地位。
知识点六：正态分布的意义
例1、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b。下列说法中不正确的是（ ）
A.曲线b仍然是正态曲线；
B.曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等;
C.以曲线b为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a为概率密度曲线的总体的期望大2;
D.以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为概率密度曲线的总体的方差大2。
C
例题讲解
例题2 某地区数学考试的成绩服从正态分布，其密度函数曲线如下图：
写出的分布密度函数；
求成绩位于区间 的概率是多少？
求成绩位于区间 的概率是多少？
若该地区有10000名学生参加考试，从理论上讲成绩在76分以上的考生有多少人？
20 40 60 80 100
y
x
O
例题讲解
例3 设正态总体落在区间 和区间 内的概率相等，落在区间 内的概率 为，求该正态总体对应的正态曲线的最高点的坐标。
例题讲解
归纳小结
1 正态总体函数解析式：
0
1
2
-1
-2
x
y
-3
μ= -1
σ=0.5
0
1
2
-1
-2
x
y
-3
3
μ=0
σ=1
0
1
2
-1
-2
x
y
-3
3
4
μ=1
σ=2
2 正态曲线
归纳小结
3 正态曲线的性质
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.
（2）曲线关于直线x=μ对称.
（3）曲线在x=μ时位于最高点.
（4）当 x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降.
并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐近线，
向它无限靠近.
(5)当μ一定时，曲线的形状由σ确定 .
σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；
σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
归纳小结
4.标准正态分布
a
b
X
Y
（2）“标准正态分布表”
一、 课本75页 A组 第1题
B组 第2题
二、 在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布 ，已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名。试问此次参赛的学生总数约有多少人？
课外思考：请尝试从解析式角度分析正态
曲线的对称性与最值。
布置作业
谢谢！