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第四章
指数函数、对数函数与幂函数
4.2.2
对数运算法则
1、基础巩固
1．（2019·乌鲁木齐市第十中学高一期末）计算(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
2．（2020·上海高一课时练习）若，则等于（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由，
则.
3．（2020·全国高一课时练习）log5＋log53等于（
）
A．0
B．1
C．－1
D．log5
【答案】A
【解析】因为.
4．（2020·全国高一专题练习）设3x＝4y＝36，则的值为（
）
A．6
B．3
C．2
D．1
【答案】D
【解析】由3x＝4y＝36得x＝log336，y＝log436，
∴＝2log363＋log364＝log369＋log364＝log3636＝1.
5．（2020·浙江高一课时练习）化简的结果是（
）
A．
B．1
C．2
D．4
【答案】C
【解析】原式.
6．（2020·土默特左旗金山学校高一开学考试（文））设，则实数的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题可知，.
7．（2020·上海高一课时练习）下列各式中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】A选项，由换底公式，可得：，故A错；
B选项，，故B错；
C选项，，故C错；
D选项，，故D正确.
8．（2018·重庆市綦江中学高一期中）下列等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：A选项，等式左边，
右边，故A不成立；
B选项，，不等于右边，故B不成立；
C选项，由对数运算的性质可得
，故C成立；
D选项，等式左边，不等于右边，故D不成立；
9．（2020·江苏徐州·高三月考）天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森()又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足.其中星等为的星的亮度为.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四”
的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的倍，则与最接近的是(当较小时，
)
A．1.24
B．1.25
C．1.26
D．1.27
【答案】C
【解析】根据题意可得：
可得，解得，
根据参考公式可得，
故与最接近的是.
10．（2020·琼山·海南中学高一期末）若，，，，则正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
,,,,
故．
11．（2020·全国高一单元测试）如果方程的两根为、，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：由题意、是关于的方程的两根，
∴，∴，故选：C．
12．（2019·全国高一）已知的值为（
）
A．3
B．8
C．4
D．
【答案】A
【解析】解：
13．（2020·南京外国语学校高一月考）已知，，，则的最大值为（
）
A．
B．
C．4
D．8
【答案】B
【解析】解：，，，
则
．当且仅当时，函数取得最大值．
14．（2020·天水市第一中学高二期末（文））中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至4000，则大约增加了（
）附：
A．10%
B．20%
C．50%
D．100%
【答案】B
【解析】当时，，当时，，
因为
所以将信噪比从1000提升至4000，则大约增加了20%，
15．（2020·湖北荆门·高一期末）已知，则（
）
A．-2
B．2
C．
D．
【答案】B
【解析】由已知化简为，
所以
，
即
，整理为，
因为，所以，
解得：或（舍），
当时，，
.
16．（多选题）已知正实数a，b满足
，且，则
的值可以为（
）
A．2
B．4
C．5
D．6
【答案】BC
【解析】由得到，
则，即，
整理得，
解得或，
当时，，则
当时，，则.
17．（多选题）（2020·全国高一课时练习）下列等式不成立的是(
)
A．
B．
C．
D．
E.
【答案】DE
【解析】根据对数式的运算,可得,,故A?B成立;
由根式与指数式的互化可得,故C成立;
取,,发现D不成立;,故E不成立.
18．（多选题）（2019·全国高一课时练习）下列等式不成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【解析】根据对数的运算，可得，，故A，B成立；
取，，则C不成立；
，故D不成立．
19．（多选题）（2019·江苏省震泽中学高一月考）设，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】解：∵a＝log0.20.3，b＝log20.3<0，
∴,
，
，
∵，，
∴ab＜a+b＜0．
20．（多选题）（2019·全国高一课时练习）若，且，则下列等式中不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【解析】对于A，时，
，但是无意义，该等式不正确；
对于B，时，
，但是无意义，该等式不正确；
对于C，，按照对数的运算法则，该等式正确；
对于D，由换底公式得，，该等式正确．
.
2、拓展提升
1．（2020·上海高一课时练习）计算下列各题：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【解析】（1）；
（2）
；
（3）；
（4）
.
2．（2020·上海高一课时练习）已知，求的值.
【解析】依题意.
3．（2020·上海高一课时练习）已知，是方程的两个根，且，求m的值.
【解析】由题意可得，，，，即；
又，所以，
因此，满足，
故.
4．（2020·湖南雨花·高一期末）已知，a=，，求的值．
【答案】2020
【解析】
，
5．（2020·四川成都七中高一月考）已知
（1）求的值；
（2）求的值.
【解析】解：由得，.
所以
；
由得，
所以
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指数函数、对数函数与幂函数
4.2.2
对数运算法则
1、基础巩固
1．（2019·乌鲁木齐市第十中学高一期末）计算(
)
A．
B．
C．
D．
2．（2020·上海高一课时练习）若，则等于（
）．
A．
B．
C．
D．
3．（2020·全国高一课时练习）log5＋log53等于（
）
A．0
B．1
C．－1
D．log5
4．（2020·全国高一专题练习）设3x＝4y＝36，则的值为（
）
A．6
B．3
C．2
D．1
5．（2020·浙江高一课时练习）化简的结果是（
）
A．
B．1
C．2
D．4
6．（2020·土默特左旗金山学校高一开学考试（文））设，则实数的值为（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2020·上海高一课时练习）下列各式中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
8．（2018·重庆市綦江中学高一期中）下列等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
9．（2020·江苏徐州·高三月考）天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森()又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足.其中星等为的星的亮度为.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四”
的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的倍，则与最接近的是(当较小时，
)
A．1.24
B．1.25
C．1.26
D．1.27
10．（2020·琼山·海南中学高一期末）若，，，，则正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
11．（2020·全国高一单元测试）如果方程的两根为、，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
12．（2019·全国高一）已知的值为（
）
A．3
B．8
C．4
D．
13．（2020·南京外国语学校高一月考）已知，，，则的最大值为（
）
A．
B．
C．4
D．8
14．（2020·天水市第一中学高二期末（文））中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至4000，则大约增加了（
）附：
A．10%
B．20%
C．50%
D．100%
15．（2020·湖北荆门·高一期末）已知，则（
）
A．-2
B．2
C．
D．
16．（多选题）已知正实数a，b满足
，且，则
的值可以为（
）
A．2
B．4
C．5
D．6
17．（多选题）（2020·全国高一课时练习）下列等式不成立的是(
)
A．
B．
C．
D．
E.
18．（多选题）（2019·全国高一课时练习）下列等式不成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
19．（多选题）（2019·江苏省震泽中学高一月考）设，则（
）
A．
B．
C．
D．
20．（多选题）（2019·全国高一课时练习）若，且，则下列等式中不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
2、拓展提升
1．（2020·上海高一课时练习）计算下列各题：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
2．（2020·上海高一课时练习）已知，求的值.
3．（2020·上海高一课时练习）已知，是方程的两个根，且，求m的值.
4．（2020·湖南雨花·高一期末）已知，a=，，求的值．
5．（2020·四川成都七中高一月考）已知
（1）求的值；
（2）求的值.
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