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第四章
指数函数、对数函数与幂函数
4.2.2
对数运算法则
1、基础巩固
1．（2020·全国高一课时练习）函数的定义域是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由对数函数的定义域只需，解得，所以函数的定义域为
.
2．（2019·浙江高一期中）设函数，则（
）
A．在单调递增
B．在单调递减
C．在单调递增
D．在单调递减
【答案】D
【解析】定义域为，
所以的递减区间是.
3．（2020·广东云浮·高一期末）已知，，，则（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为，，，所以．
4．（2020·北京高一期末）函数是（
）
A．上的增函数
B．上的减函数
C．上的增函数
D．上的减函数
【答案】A
【解析】的定义域为,
又,故在上为增函数,故选:A.
5．（2020·安徽宿州·高一期末）函数的图象必不过（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【解析】由可判断为减函数，再根据函数平移法则，应由向左平移两个单位，如图，
故的图象必不过第一象限
6．（2020·河北新华·石家庄二中高一期末）函数的单调递减区间为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】解：由得，或，则函数的定义域为，
又函数在上单调递减，在上单调递增，函数在上单调递增，
由复合函数的单调性原则“同增异减”得函数的单调递减区间为，故选：A．
7．（2020·全国高一课时练习）下列函数是对数函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由对数函数的定义：形如且的形式，则函数为对数函数，只有D符合.
8．（2020·全国高一专题练习）函数的图象一定经过点（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】把的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位即可得到的图象，因为的图象恒过点，所以的图象经过点(2,1).
9．（2020·全国高一课时练习）图中曲线是对数函数的图象，已知取，，，四个值，则相应于，，，的值依次为
A．，，，
B．，，，
C．，，，
D．，，，
【答案】A
【解析】解：由已知中曲线是对数函数的图象，
由对数函数的图象和性质，可得，，，的值从小到大依次为：，，，，
由取，，，四个值，
故，，，的值依次为，，，，故选：．
10．（2020·上海浦东新·高一期中）当时，在同一坐标系中，函数与的大致图像只可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：当时，
函数在其定义域上是增函数，故图象从左向右看是上升的；
在其定义域上单调递减，故图象从左向右看是下降的.
11．（2020·云南高三一模（理））设，则的值是（
）
A．1
B．e
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意得，
则.
12．（2020·吉林梅河口·期末）已知函数，正实数满足且，若在区间
上的最大值为2，则的值分别为（
）
A．，2
B．，
C．，2
D．，4
【答案】A
【解析】由，即且
所以，
所以，所以且
所以
函数在区间
上的最大值为2，即函数在区间
上的最大值为2
函数在上单调递减，在上单调递增.
所以当时，函数有最大值.
所以，解得，则
故选：A
13．（2020·宝山·上海交大附中高一期末）已知函数在上为减函数，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
可知为单调递减函数
由复合函数单调性性质可知,当为减函数时
对数部分为增函数,即
由对数定义域的要求可知,在时恒成立
所以当时,满足
解得
综上可知,
,即
14．（2020·广东云浮·高一期末）已知函数，若时，不等式恒成立，则实数的最大值为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解析】依题意知函数的定义域为,
即,所以为奇函数.由解析式可知为减函数.
所以不等式可化为,
即,
即在上恒成立.
因为,
所以的最大值是1.
15．（2020·湖北荆州·高一期末）已知函数是定义在上的减函数，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由于函数是定义在上的减函数，
所以，函数在区间上为减函数，函数在区间上为减函数，且有，
即，解得.
因此，实数的取值范围是.
16．（多选题）（2020·浙江高一单元测试）已知，且，，若，则下列不等式可能正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】解：∵，
∴若，则，即．
∴，故A正确．
，故D正确．
若，则，
∴，，故BC错误，
故选：AD
17．（多选题）（2020·广东普宁·高一期末）已知函数在区间上单调递增，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】由函数，可知函数关于对称，且在上单调递增，易得；
∴，
又在上单调递减，
∴.
18．（多选题）（2019·山东滕州市第一中学新校高一月考）已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（
）
A．函数为增函数
B．函数为偶函数
C．若，则
D．若，则.
【答案】ACD
【解析】由题,故.
对A,函数为增函数正确.
对B,
不为偶函数.
对C,当时,
成立.
对D,因为往上凸,故若，则成立.
19．（多选题）（2019·全国高一课时练习）（多选）函数的图象过（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】BCD
【解析】作出函数的大致图象如图所示，则函数的图象过第二、三、四象限.
20．（多选题）（2020·全国高一课时练习）函数在上是减函数，那么（
）
A．在上递增且无最大值
B．在上递减且无最小值
C．在定义域内是偶函数
D．的图象关于直线对称
E.，满足在上是减函数
【答案】ADE
【解析】由得，函数的定义域为.
设则在上为减函数，在上为增函数，
且的图象关于对称，所以的图象关于对称，D正确；
因为在上是减函数，所以，所以E正确；
由上述分析知在上递增且无最大值，A正确，B错误；
又，
所以C错误，
2、拓展提升
1．（2019·湖南开福·长沙一中高一月考）已知对数函数过点.
（1）求函数的解析式，并写出函数的定义域；
（2）若，求的取值范围.
【解析】解：（1）设，
，
所以，定义域为；
（2）由已知得，
所以的取值范围是.
2．（2020·天津红桥·高一期末）已知函数.
(1)求函数的定义域;
(2)判断函数的奇偶性,并用定义证明你的结论.
【解析】(1)由,解得,∴,∴函数的定义域.
(2)函数是奇函数.
证明:由(1)知定义域关于原点对称.因为函数.
∵，
所以函数是奇函数.
3．（2020·山西平城·大同一中高二月考（文））设f（x）＝loga（1+x）+loga（3﹣x）（a＞0，a≠1）且f（1）＝2．
（1）求a的值及f（x）的定义域；
（2）求f（x）在区间[0,]上的最大值和最小值．
【解析】（1）由题意知，，
解得﹣1＜x＜3；
故f（x）的定义域为（﹣1,3）；
再由f（1）＝2得，
loga（1+1）+loga（3﹣1）＝2；
故a＝2.
综上所述：函数定义域为，.
（2）f（x）＝log2（1+x）（3﹣x），
∵x[0,]，
∴（1+x）（3﹣x）[3,4]，
故f（x）在区间[0,]上的最大值为f（1）＝2；
f（x）在区间[0,]上的最小值为f（0）＝log23．
4．（2020·黑龙江大庆四中高一月考（理））已知函数，当时，恒有．
（1）求的表达式及定义域；
（2）若方程有解，求实数的取值范围．
【解析】（1）由得，所以①，
因为当时，恒有，
所以时，有，
所以，
所以，化简得②，
联立①②，解得，
所以，
由得，解得或，
所以的定义域为.
（2）因为方程有解，所以有解，
所以在内有解，
因为，
因为，所以，
所以，所以，
所以，即
5．（2020·江苏南通·高三月考）已知函数（，且），且.
（1）求的值，并写出函数的定义域；
（2）设函数，试判断的奇偶性，并说明理由；
（3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1），；
（2）∴∴
∴为奇函数；
（3）∴是单调递增函数
∴∴∴
令，时该函数为增函数，
∴∴
又∵∴.
综上.
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指数函数、对数函数与幂函数
4.2.2
对数运算法则
1、基础巩固
1．（2020·全国高一课时练习）函数的定义域是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2019·浙江高一期中）设函数，则（
）
A．在单调递增
B．在单调递减
C．在单调递增
D．在单调递减
3．（2020·广东云浮·高一期末）已知，，，则（
）．
A．
B．
C．
D．
4．（2020·北京高一期末）函数是（
）
A．上的增函数
B．上的减函数
C．上的增函数
D．上的减函数
5．（2020·安徽宿州·高一期末）函数的图象必不过（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
6．（2020·河北新华·石家庄二中高一期末）函数的单调递减区间为（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2020·全国高一课时练习）下列函数是对数函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
8．（2020·全国高一专题练习）函数的图象一定经过点（
）
A．
B．
C．
D．
9．（2020·全国高一课时练习）图中曲线是对数函数的图象，已知取，，，四个值，则相应于，，，的值依次为
A．，，，
B．，，，
C．，，，
D．，，，
10．（2020·上海浦东新·高一期中）当时，在同一坐标系中，函数与的大致图像只可能是（
）
A．
B．
C．
D．
11．（2020·云南高三一模（理））设，则的值是（
）
A．1
B．e
C．
D．
12．（2020·吉林梅河口·期末）已知函数，正实数满足且，若在区间
上的最大值为2，则的值分别为（
）
A．，2
B．，
C．，2
D．，4
13．（2020·宝山·上海交大附中高一期末）已知函数在上为减函数，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
14．（2020·广东云浮·高一期末）已知函数，若时，不等式恒成立，则实数的最大值为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
15．（2020·湖北荆州·高一期末）已知函数是定义在上的减函数，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
16．（多选题）（2020·浙江高一单元测试）已知，且，，若，则下列不等式可能正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
17．（多选题）（2020·广东普宁·高一期末）已知函数在区间上单调递增，则（
）
A．
B．
C．
D．
18．（多选题）（2019·山东滕州市第一中学新校高一月考）已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（
）
A．函数为增函数
B．函数为偶函数
C．若，则
D．若，则.
19．（多选题）（2019·全国高一课时练习）（多选）函数的图象过（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
20．（多选题）（2020·全国高一课时练习）函数在上是减函数，那么（
）
A．在上递增且无最大值
B．在上递减且无最小值
C．在定义域内是偶函数
D．的图象关于直线对称
E.，满足在上是减函数
2、拓展提升
1．（2019·湖南开福·长沙一中高一月考）已知对数函数过点.
（1）求函数的解析式，并写出函数的定义域；
（2）若，求的取值范围.
2．（2020·天津红桥·高一期末）已知函数.
(1)求函数的定义域;
(2)判断函数的奇偶性,并用定义证明你的结论.
3．（2020·山西平城·大同一中高二月考（文））设f（x）＝loga（1+x）+loga（3﹣x）（a＞0，a≠1）且f（1）＝2．
（1）求a的值及f（x）的定义域；
（2）求f（x）在区间[0,]上的最大值和最小值．
4．（2020·黑龙江大庆四中高一月考（理））已知函数，当时，恒有．
（1）求的表达式及定义域；
（2）若方程有解，求实数的取值范围．
5．（2020·江苏南通·高三月考）已知函数（，且），且.
（1）求的值，并写出函数的定义域；
（2）设函数，试判断的奇偶性，并说明理由；
（3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
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