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第四章
指数函数、对数函数与幂函数
4.6
函数的应用（二）
1、基础巩固
1．（2020·南京师范大学附属实验学校月考）函数的零点是（
）
A．（，0）
B．（4，0）
C．（，0）或（4，0）
D．或4
【答案】D
【解析】函数的零点就是方程的根，
由可得，
解得或，故选：D.
2．（2020·湖南岳阳楼·岳阳一中高一月考）函数f(x)＝lgx－的零点所在的区间是( )
A．(0,1)
B．(1,10)
C．(10,100)
D．(100，＋∞)
【答案】B
【解析】函数f（x）的定义域为（0，+∞），且函数f（x）单调递增，
∵，
∴在（1，10）内函数f（x）存在零点，
故选B
3．（2020·江苏省江浦高级中学高一月考）若函数的零点是（），则函数的零点是（
）
A．
B．和
C．
D．和
【答案】B
【解析】由条件知，∴，∴的零点为和.
4．（2019·广东广州·高一期末）已知函数，，若恰有2个零点，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】依题意，函数的图象与直线有两个交点，
作出函数图象如下图所示，
由图可知，要使函数的图象与直线有两个交点，则，即.
5．已知f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且f(a)·f(b)＜0，则f(x)＝0在[a，b]内（
）
A．至少有一个实根
B．至多有一个实根
C．没有实根
D．有唯一实根
【答案】D
【解析】解：设，且，则
，
因为，所以，即
所以f(x)＝－x－x3在[a，b]上单调递减，
因为f(a)·f(b)＜0，
所以f(x)＝0在[a，b]内有唯一解.
6．（2020·黑龙江哈尔滨·高三月考（理））方程的解所在的区间为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令，易知此函数为增函数，
由
.
所以在上有唯一零点，即方程的解所在的区间为.
7．（2020·瓦房店市实验高级中学高一月考）已知函数f(x)＝mx＋1的零点在区间(1，2)内，则m的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：因为函数f(x)＝mx＋1的零点在区间(1，2)内，且此函数是连续函数，
所以，即
解得，故选：B
8．（2020·云南保山·高一其他）函数的零点所在的区间为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：因为函数在上均为减函数，
所以函数在上为减函数，
因为，
所以函数的零点所在的区间为，故选：B
9．（2019·绥德中学高一月考）函数的零点为(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由，得，即
10．（2020·河南信阳·月考（文））已知表示不超过实数的最大整数，为取整函数，是函数的零点，则（
）
A．4
B．5
C．2
D．3
【答案】C
【解析】函数在递增，
且，，
所以函数存在唯一的零点，
故，故选：C.
11．（2020·江苏南通·高二月考）已知二次函数，且，是方程的两个根，则，，，的大小关系可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：由题可知，，并且是方程的两根，
即有，，
由于抛物线开口向上，可得，在两根之外，
结合选项可知A，B，C均错，D正确，如下图.
故选：D.
12．（2020·江苏南通·高三月考）为定义在上周期为2的奇函数，则函数在上零点的个数为（
）
A．5
B．6
C．11
D．12
【答案】C
【解析】因为为定义在上周期为2的奇函数，
所以，，
所以，，，，
所以，
所以，即，
所以，，，，.
所以函数在上零点的个数为11.
13．（2019·北京牛栏山一中实验学校高一期中）已知是函数的一个零点，且，，则（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】D
【解析】解：∵在上单调递减，在上单调递减，
在上单调递减，
∵，，，
14．（2019·陕西新城·西安市第八十九中学高一期中）函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】函数有两个零点等价于与的图象有两个交点，当时同一坐标系中做出两函数图象如图（2），由图知有一个交点，符合题意；当时同一坐标系中做出两函数图象如图（1），由图知有两个交点，不符合题意,故选B．
15．（2020·天津滨海新·高三其他）已知函数，若函数（且）在区间上有4个不同的零点，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题可知：函数（且）
在区间上有4个不同的零点
等价于函数与图象在有4个交点，
由
所以函数为偶函数
，
当时，，所以函数在单调递增,
且，如图
由图可知：当时，
所以，若，函数单调递减，不符合题意
当时，
所以要满足题意则，所以
16．（2020·中区·山东省实验中学高三月考）对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称函数为“倒戈函数”．设（，）是定义在上的“倒戈函数”，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】是定义在上的“倒戈函数，
存在满足，
，
，
构造函数，，
令，，
在单调递增，
在单调递减，所以取得最大值，
或取得最小值，，
，，
17．（多选题）（2020·湖北武汉·高二期末）定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，给出下列四个结论正确结论的是（
）
A．方程有且仅有三个解
B．方程有且仅有三个解
C．方程有且仅有一个解
D．方程有且仅有九个解
【答案】AC
【解析】解：根据函数的图象，函数的图象与轴有3个交点，
所以：方程有且仅有三个解；
函数在区间上单调递减，
所以：方程有且仅有一个解．
对于D：方程，即或，或，
因为有三个解，当时或只有一个解，故有5个解，故D错误；
对于B
：方程，即，当时只有一个解，故只有1个解，故B错误；
18．（多选题）（2019·全国高一课时练习）若函数的图像在上连续不断，且满足，，，则下列说法错误的是（
）
A．在区间上一定有零点，在区间上一定没有零点
B．在区间上一定没有零点，在区间上一定有零点
C．在区间上一定有零点，在区间上可能有零点
D．在区间上可能有零点，在区间上一定有零点
【答案】ABD
【解析】由题知，
所以根据函数零点存在定理可得在区间上一定有零点，
又，
因此无法判断在区间上是否有零点.
19．（多选题）（2020·陕西长安一中期末）已知函数，若函数恰有个零点，则实数可以是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】令，则，
在同一直角坐标系中作出与的图像，
因为函数恰有个零点，
所以只需与有两个交点.
由图可知，为使与有两个交点，
只需或即可，
故当时，两函数均有两个交点，即ABC正确；当时，两函数有三个交点，不满足题意，故D错；
20．（多选题）（2020·邯郸市永年区第二中学高三月考）已知函数，则函数的零点个数可能为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】BCD
【解析】由可得，
则函数的零点即是函数与直线图像交点的横坐标，
画出的大致图像如下，
由得，所以曲线在点处的切线斜率为，
此时的切线方程为，即，恰好过点，
又直线也过点，
所以由图像可得，当时，直线与函数的图像有两个交点；即函数有两个零点；
当时，直线只与函数在的图像有一个交点，即函数有一个零点；
当时，直线与函数有三个不同的交点，即函数有三个零点；
综上，函数的零点个数可能为，，.
2、拓展提升
1．（2020·瓦房店市实验高级中学高一月考）已知关于的方程有两个实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值．
【解析】解：（1）依题意，得，解得，
∴的取值范围是；
（2）由韦达定理得，，，
由得，，
∴由得，，
即，即，
解得，或（舍），
∴．
2．（2020·全国高一）判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
（1）f（x）＝；
（2）f（x）＝x2＋2x＋4；
【解析】（1）令＝0，解得x＝－3，所以函数f（x）＝的零点是x＝－3．
（2）令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12<0，
所以方程x2＋2x＋4＝0无实数根，所以函数f（x）＝x2＋2x＋4不存在零点．
3．（2020·全国高一专题练习）求函数的零点；
【解析】当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；
当x>0时，令－2＋ln
x＝0，解得x＝e2.
所以函数的零点为－3和e2.
4．（2020·广西南宁三中高二开学考试）已知二次函数.
（1）如果二次函数恒有两个不同的零点，求的取值范围；
（2）当时，讨论二次函数在区间上的最小值.
【解析】（1）由题，得，
，解得或，
∴；
（2）∵，所以对称轴，
当，即时，函数在上单调递减，
故当时，取最小值；
当，即时，函数在上先减后增，
故当时，取最小值.
5．（2020·南开大学附属中学高三月考）已知函数，满足，
（1）求函数的解析式；
（2）当时，求函数的最大值和最小值.
（3）若函数的两个零点分别在区间和内，求的取值范围.
【解析】（1）由得，
又，得
即，所以，
，解得：
，
，
所以，
（2）对称轴，
所以，，，
所以，，
（3），若有2个零点分别在区间和内，
则
，即，解得：
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指数函数、对数函数与幂函数
4.6
函数的应用（二）
1、基础巩固
1．（2020·南京师范大学附属实验学校月考）函数的零点是（
）
A．（，0）
B．（4，0）
C．（，0）或（4，0）
D．或4
2．（2020·湖南岳阳楼·岳阳一中高一月考）函数f(x)＝lgx－的零点所在的区间是( )
A．(0,1)
B．(1,10)
C．(10,100)
D．(100，＋∞)
3．（2020·江苏省江浦高级中学高一月考）若函数的零点是（），则函数的零点是（
）
A．
B．和
C．
D．和
4．（2019·广东广州·高一期末）已知函数，，若恰有2个零点，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且f(a)·f(b)＜0，则f(x)＝0在[a，b]内（
）
A．至少有一个实根
B．至多有一个实根
C．没有实根
D．有唯一实根
6．（2020·黑龙江哈尔滨·高三月考（理））方程的解所在的区间为（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2020·瓦房店市实验高级中学高一月考）已知函数f(x)＝mx＋1的零点在区间(1，2)内，则m的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
8．（2020·云南保山·高一其他）函数的零点所在的区间为（
）
A．
B．
C．
D．
9．（2019·绥德中学高一月考）函数的零点为(
)
A．
B．
C．
D．
10．（2020·河南信阳·月考（文））已知表示不超过实数的最大整数，为取整函数，是函数的零点，则（
）
A．4
B．5
C．2
D．3
11．（2020·江苏南通·高二月考）已知二次函数，且，是方程的两个根，则，，，的大小关系可能是（
）
A．
B．
C．
D．
12．（2020·江苏南通·高三月考）为定义在上周期为2的奇函数，则函数在上零点的个数为（
）
A．5
B．6
C．11
D．12
13．（2019·北京牛栏山一中实验学校高一期中）已知是函数的一个零点，且，，则（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
14．（2019·陕西新城·西安市第八十九中学高一期中）函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
15．（2020·天津滨海新·高三其他）已知函数，若函数（且）在区间上有4个不同的零点，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
16．（2020·中区·山东省实验中学高三月考）对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称函数为“倒戈函数”．设（，）是定义在上的“倒戈函数”，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
17．（多选题）（2020·湖北武汉·高二期末）定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，给出下列四个结论正确结论的是（
）
A．方程有且仅有三个解
B．方程有且仅有三个解
C．方程有且仅有一个解
D．方程有且仅有九个解
18．（多选题）（2019·全国高一课时练习）若函数的图像在上连续不断，且满足，，，则下列说法错误的是（
）
A．在区间上一定有零点，在区间上一定没有零点
B．在区间上一定没有零点，在区间上一定有零点
C．在区间上一定有零点，在区间上可能有零点
D．在区间上可能有零点，在区间上一定有零点
19．（多选题）（2020·陕西长安一中期末）已知函数，若函数恰有个零点，则实数可以是（
）
A．
B．
C．
D．
20．（多选题）（2020·邯郸市永年区第二中学高三月考）已知函数，则函数的零点个数可能为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
2、拓展提升
1．（2020·瓦房店市实验高级中学高一月考）已知关于的方程有两个实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值．
2．（2020·全国高一）判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
（1）f（x）＝；
（2）f（x）＝x2＋2x＋4；
3．（2020·全国高一专题练习）求函数的零点；
4．（2020·广西南宁三中高二开学考试）已知二次函数.
（1）如果二次函数恒有两个不同的零点，求的取值范围；
（2）当时，讨论二次函数在区间上的最小值.
5．（2020·南开大学附属中学高三月考）已知函数，满足，
（1）求函数的解析式；
（2）当时，求函数的最大值和最小值.
（3）若函数的两个零点分别在区间和内，求的取值范围.
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