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第四章
指数函数、对数函数与幂函数
4.7
数学建模活动：生长规律的描述
1、基础巩固
1．（2020·全国高一课时练习）据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y（只）与第x年近似满足关系，观测发现2012年冬（作为第1年）有越冬白鹤3000只，估计到2018年冬有越冬白鹤（
）
A．4000只
B．5000只
C．6000只
D．7000只
2．（2020·全国高一课时练习）在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（
）
x
1.992
3
4
5.15
6.126
y
1.517
4.0418
7.5
12
18.01
A．
B．
C．
D．
3．（2019·全国高一课时练习）某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长，那么，经过x年，绿色植被的面积可增长为原来的y倍，则函数的图像大致为（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·全国高一课时练习）已知光线每通过一块玻璃板强度就减弱，要使通过玻璃板的光线的强度不大于原来强度的，则至少需要重叠玻璃板的块数为（
）
A．8
B．9
C．10
D．11
5．（2020·全国高一课时练习）如果某种放射性元素每年的衰减率是，那么的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）等于（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2019·全国高一课时练习）我国工农业总产值从年到年的年间翻了两番，设平均每年的增长率为，则有（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2020·全国高一课时练习）某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，之后增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用
A．一次函数
B．二次函数
C．指数型函数
D．对数型函数
8．（2020·全国高一课时练习）衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为，经过天后体积与天数的的关系式为：，已知新丸经过50天后，体积变为；若一个新丸体积变为，则需经过的天数为（
）
A．75天
B．100天
C．125天
D．150天
9．（2019·全国高一课时练习）某企业去年销售收入1000万元，年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分．若年利润必须按p%纳税，且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p%纳税，其他不纳税．已知该企业去年共纳税120万元．则税率p%为(
)
A．10%
B．12%
C．25%
D．40%
10．（2019·全国高一课时练习）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，后物体的温度可由公式求得．把温度是的物体，放在的空气中冷却后，物体的温度是，那么的值约等于_________．（保留三位有效数字，参考数据：取，取）
11．（2020·全国高一课时练习）工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此工厂3月份生产该产品的产量为________万件．
2、拓展提升
1．（2019·全国高一课时练习）某公司拟投资100万元，有两种获利的方案可供选择．第一种方案是年利率为，按单利的方式计算利息，5年后收回本金和利息；第二种方案是年利率为，按复利的方式计算利息，5年后收回本金和利息，哪一种投资更有利？5年后，这种投资比另一种投资可多得利息多少万元？（不计利息税，参考数据：，，）
2．（2019·辽宁辽阳·高三月考（理））食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收益P、种黄瓜的年收益Q与投入a(单位：万元)满足P＝80＋＋120.设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)．
(1)求f(50)的值；
(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？
3．（2020·全国高一课时练习）下表表示的是某款车的车速与刹车距离的关系，试分别就，，三种函数关系建立数学模型，并探讨最佳模拟，根据最佳模拟求车速为120km/h时的刹车距离．
车速/（km/h）
10
15
30
40
50
刹车距离/m
4
7
12
18
25
车速/（（km/h）
60
70
80
90
100
刹车距离/m
34
43
54
66
80
4．（2019·全国高一课时练习）某工厂今年前三个月生产某种产品的数量统计表如下：
为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟产品的月产量与月份的关系，模拟函数可选择二次函数（为常数且），或函数（为常数）.已知4月份的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，请说明理由.
5．（2020·全国高一课时练习）习近平总书记在十九大报告中指出，“要着力解决突出环境问题，持续实施大气污染防治行动”．为落实好这一精神，市环保局规定某工厂产生的废气必须过滤后才能排放．已知在过滤过程中，废气中的污染物含量（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系式为：（为自然对数的底数，为污染物的初始含量）．过滤小时后检测，发现污染物的含量为原来的．
（1）求函数的关系式；
（2）要使污染物的含量不超过初始值的，至少还需过滤几小时？（参考数据：）
6．（2020·全国高一课时练习）为纪念重庆黑山谷晋升国家5A级景区五周年，特发行黑山谷纪念邮票，从2017年11月1日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念邮票在一周内每1张的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下：
上市时间x天
1
2
6
市场价y元
5
2
10
（Ⅰ）分析上表数据，说明黑山谷纪念邮票的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的变化关系，并判断y与x满足下列哪种函数关系，①一次函数；②二次函数；③对数函数，并求出函数的解析式；
（Ⅱ）利用你选取的函数，求黑山谷纪念邮票市场价最低时的上市天数及最低的价格．
7．（2020·辽宁锦州·高二期末）水葫芦原产于巴西，年作为观赏植物引入中国.
现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾严重影响航道安全和水生动物生长.
某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过个月其覆盖面积为，经过个月其覆盖面积为.
现水葫芦覆盖面积（单位）与经过时间个月的关系有两个函数模型与可供选择.
（参考数据：
）
（Ⅰ）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
（Ⅱ）求原先投放的水葫芦的面积并求约经过几个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍.
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第四章
指数函数、对数函数与幂函数
4.7
数学建模活动：生长规律的描述
1、基础巩固
1．（2020·全国高一课时练习）据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y（只）与第x年近似满足关系，观测发现2012年冬（作为第1年）有越冬白鹤3000只，估计到2018年冬有越冬白鹤（
）
A．4000只
B．5000只
C．6000只
D．7000只
【答案】C
【解析】当时，由，得，所以到2018年冬，即，（只）.
2．（2020·全国高一课时练习）在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（
）
x
1.992
3
4
5.15
6.126
y
1.517
4.0418
7.5
12
18.01
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题中表格可知函数在上是增函数，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合，故选B．
3．（2019·全国高一课时练习）某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长，那么，经过x年，绿色植被的面积可增长为原来的y倍，则函数的图像大致为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设山区第一年绿色植被的面积为a，则，易知其定义域为，值域为，且随x的增大；y增长的速度越来越快．故选D．
4．（2020·全国高一课时练习）已知光线每通过一块玻璃板强度就减弱，要使通过玻璃板的光线的强度不大于原来强度的，则至少需要重叠玻璃板的块数为（
）
A．8
B．9
C．10
D．11
【答案】D
【解析】设需要重叠玻璃板的块数为n，由题意得，解得，所以至少要重叠11块玻璃板．
5．（2020·全国高一课时练习）如果某种放射性元素每年的衰减率是，那么的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】千克的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）为，
，两边取对数，
，即，
.
6．（2019·全国高一课时练习）我国工农业总产值从年到年的年间翻了两番，设平均每年的增长率为，则有（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】本题为增长率模型函数，为指数函数形式.
设年总产值为，由于我国工农业总产值从年到年的年间翻了两番，说明年的工农业总产值是年工农业总产值的，则.
7．（2020·全国高一课时练习）某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，之后增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用
A．一次函数
B．二次函数
C．指数型函数
D．对数型函数
【答案】D
【解析】根据基本初等函数的图象与性质可知，一次函数增长的速度不变，不满足题意；要满足调整后初期利润增长迅速，如果是二次函数，则必须开口向上，而此时在二次函数对称轴的右侧增长的速度是越来越快，没有慢下来的可能，不符合要求；要满足调整后初期利润增长迅速，如果是指数函数，则底数必是大于1的数，而此时指数函数增长的速度也是越来越快的，也不满足要求；对于对数函数，当底数大于1时，对数函数增长的速度先快后慢，符合要求，故选D．
8．（2020·全国高一课时练习）衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为，经过天后体积与天数的的关系式为：，已知新丸经过50天后，体积变为；若一个新丸体积变为，则需经过的天数为（
）
A．75天
B．100天
C．125天
D．150天
【答案】A
【解析】由题意，得，解得；令，即，
即需经过的天数为75天.
9．（2019·全国高一课时练习）某企业去年销售收入1000万元，年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分．若年利润必须按p%纳税，且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p%纳税，其他不纳税．已知该企业去年共纳税120万元．则税率p%为(
)
A．10%
B．12%
C．25%
D．40%
【答案】C
【解析】解：由题意得：去年的利润为：1000-500-200=300（万元），
广告费超支：200-（1000×2%）=180（万元），
税率为：=25%．
10．（2019·全国高一课时练习）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，后物体的温度可由公式求得．把温度是的物体，放在的空气中冷却后，物体的温度是，那么的值约等于_________．（保留三位有效数字，参考数据：取，取）
【答案】
【解析】依题意将代入公式可得，解得，．
11．（2020·全国高一课时练习）工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此工厂3月份生产该产品的产量为________万件．
【答案】1.75
【解析】由已知得，解得.
∴y＝－20.5x＋2.
当x＝3时，y＝1.75.
2、拓展提升
1．（2019·全国高一课时练习）某公司拟投资100万元，有两种获利的方案可供选择．第一种方案是年利率为，按单利的方式计算利息，5年后收回本金和利息；第二种方案是年利率为，按复利的方式计算利息，5年后收回本金和利息，哪一种投资更有利？5年后，这种投资比另一种投资可多得利息多少万元？（不计利息税，参考数据：，，）
【解析】解：按第一种方案5年后本利和为（万元）．
按第二种方案5年后本利和为（万元）．
，按第二种方案投资更有利．
（万元）．
5年后，按第二种方案投资比按第一种方案投资可多得利息3.86万元．
2．（2019·辽宁辽阳·高三月考（理））食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收益P、种黄瓜的年收益Q与投入a(单位：万元)满足P＝80＋＋120.设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)．
(1)求f(50)的值；
(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？
【解析】（1）∵甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，
∴
（2），
依题得，即，
故.
令，则，
当时，即时，，
∴甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元.
3．（2020·全国高一课时练习）下表表示的是某款车的车速与刹车距离的关系，试分别就，，三种函数关系建立数学模型，并探讨最佳模拟，根据最佳模拟求车速为120km/h时的刹车距离．
车速/（km/h）
10
15
30
40
50
刹车距离/m
4
7
12
18
25
车速/（（km/h）
60
70
80
90
100
刹车距离/m
34
43
54
66
80
【解析】解：若以为模拟函数，将，代入函数关系式，得，解得，，以此函数关系式计算车速为90km/h，100km/h时，停车距离分别为220.8m，364.5m，与实际数据相比，误差较大．
若以为模拟函数，将，代入函数关系式，得，解得，，以此函数关系式计算车速为90km/h，100km/h时，停车距离分别为43.39m，48.65m，与实际情况误差也较大．
若以为模拟函数，将，，代入函数关系式，得，解得，，
以此函数关系式计算车速为90km/h，100km/h时，停车距离分别为68m，82m，与前两个函数相比，此函数更符合实际情况．
当时，，即当车速为120km/h时，停车距离为114m．
4．（2019·全国高一课时练习）某工厂今年前三个月生产某种产品的数量统计表如下：
为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟产品的月产量与月份的关系，模拟函数可选择二次函数（为常数且），或函数（为常数）.已知4月份的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，请说明理由.
【解析】若选择二次函数模型，则，
解得，∴f（x）＝﹣0.05x2+0.35x+0.7，
∴f（4）＝1.3，
若选择函数模型，则，
解得，∴g（x）＝﹣0.8×0.5x+1.4
∴g（4）＝1.35
显然g（4）更接近于1.37，
故选用y＝﹣0.8×0.5x+1.4作为模拟函数更好．
5．（2020·全国高一课时练习）习近平总书记在十九大报告中指出，“要着力解决突出环境问题，持续实施大气污染防治行动”．为落实好这一精神，市环保局规定某工厂产生的废气必须过滤后才能排放．已知在过滤过程中，废气中的污染物含量（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系式为：（为自然对数的底数，为污染物的初始含量）．过滤小时后检测，发现污染物的含量为原来的．
（1）求函数的关系式；
（2）要使污染物的含量不超过初始值的，至少还需过滤几小时？（参考数据：）
【解析】解：（1）根据题设，得，
所以，
（2）由，得，
两边取以10为底的对数，并整理，得t（1﹣3lg2）≥3，∴t≥30
因此，至少还需过滤30小时
6．（2020·全国高一课时练习）为纪念重庆黑山谷晋升国家5A级景区五周年，特发行黑山谷纪念邮票，从2017年11月1日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念邮票在一周内每1张的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下：
上市时间x天
1
2
6
市场价y元
5
2
10
（Ⅰ）分析上表数据，说明黑山谷纪念邮票的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的变化关系，并判断y与x满足下列哪种函数关系，①一次函数；②二次函数；③对数函数，并求出函数的解析式；
（Ⅱ）利用你选取的函数，求黑山谷纪念邮票市场价最低时的上市天数及最低的价格．
【解析】（Ⅰ）由于市场价y随上市时间x的增大先减小后增大，
而模型①③均为单调函数，不符合题意，
故选择二次函数模型②，
设f（x）=ax2+bx+c由表中数据可知
，解得a=1，b=﹣6，c=10，
∴f（x）=x2﹣6x+10(x≥0)，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x2﹣6x+10=（x﹣3）2+1，
当x=3时，黑山谷纪念邮票市场价最低，最低为1元，
故黑山谷纪念邮票市场价最低时的上市为第3天，最低的价格为1元
7．（2020·辽宁锦州·高二期末）水葫芦原产于巴西，年作为观赏植物引入中国.
现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾严重影响航道安全和水生动物生长.
某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过个月其覆盖面积为，经过个月其覆盖面积为.
现水葫芦覆盖面积（单位）与经过时间个月的关系有两个函数模型与可供选择.
（参考数据：
）
（Ⅰ）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
（Ⅱ）求原先投放的水葫芦的面积并求约经过几个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍.
【解析】（Ⅰ）的增长速度越来越快，的增长速度越来越慢.
则有，
解得
，
（Ⅱ）当时，
该经过个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍.
有
答：原先投放的水葫芦的面积为8m2,
约经过17个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍.
水葫芦面积是当初投放的倍.
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