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第四章
指数函数、对数函数与幂函数
4.4
幂函数
1、基础巩固
1．（2020·河南信阳·月考（文））若函数是幂函数，则（
）
A．3
B．
C．3或
D．
2．（2020·吉林油田第十一中学高三月考（文））函数f(x)＝(m2－m－5)xm－1是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，则m的值为（
）.
A．－3
B．－2
C．3
D．2
3．（2020·四川省武胜烈面中学校高二开学考试（理））下列函数在定义域上是增函数的是（ ）
A．y＝
B．y＝logx
C．y＝（）x
D．y＝x3
4．（2020·陕西高陵·高一月考（理））已知幂函数的图象过点，则的值为（
）
A．
B．3
C．
D．
5．（2020·云南保山·高一其他）已知幂函数的图象过点，则幂函数的解析式为（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2020·福建省泰宁第一中学高三月考（文））在同一直角坐标系中，函数，的的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2020·迁西县第一中学高二期中）幂函数的图象经过点，则是（
）
A．偶函数，且在上是增函数
B．偶函数，且在上是减函数
C．奇函数，且在上是减函数
D．非奇非偶函数，且在上是增函数
8．（2020·天津市第五中学高二期中）已知函数f（x）=x2–m是定义在区间[–3–m，m2–m]上的奇函数，则
A．f（m）B．f（m）=f（1）
C．f（m）>f（1）
D．f（m）与f（1）大小不确定
9．（2020·公主岭市第一中学校高一期中（理））已知幂函数的图象不过原点，则的值为（）
A．0
B．-1
C．2
D．0或2
10．（2020·云南文山·高三其他（理））已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
11．（2020·河北正定中学高三月考）已知，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
12．（2020·沭阳如东中学高三月考）已知点在幂函数的图象上，设，，，则a，b，c的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
13．（2020·天水市第一中学高二期末（理））已知函数
(且的图像恒过定点，点在幂函数的图像上，则（
）
A．
B．
C．1
D．2
14．（2019·安徽相山·淮北一中高一期中）若幂函数的图像过点，则不等式的解集为（
）
A．，，
B．
C．
D．
15．（2020·全国高三其他（理））已知是幂函数，且、，都有，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
16．(多选题)（2020·山东省东明县实验中学高三月考）下列函数中，定义域是且为增函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
17．(多选题)（2020·江苏启东·高一期末）已知幂函数的图象过点（2，8），下列说法正确的是（
）
A．函数的图象过原点
B．函数是偶函数
C．函数是单调减函数
D．函数的值域为R
18．(多选题)（2020·福建福州·高二期末）下列选项中说法正确的是（
）
A．函数的单调减区间为
B．幂函数过点，则
C．函数的定义域为，则函数的定义域为
D．若函数的值域为，则实数的取值范围是
19．(多选题)（2020·重庆市开州区铁桥中学高三月考）已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（
）
A．函数为增函数
B．函数为偶函数
C．若，则
D．若，则
2、拓展提升
1．（2020·全国高一课时练习）已知幂函数，求此幂函数的解析式，并指出其定义域.
2．（2020·巩义市第四高级中学高三月考（理））已知幂函数，经过点(2，)，试确定的值，并求满足条件的实数的取值范围．
3．（2020·永丰县永丰中学高一月考）已知幂函数在上单调递增.
（1）求的值；
（2）当时，记的值域为集合，若集合，且，求实数的取值范围.
4．（2020·全国高一课时练习）已知是幂函数，求m，n的值.
5．（2020·石嘴山市第三中学高三月考（理））已知幂函数
(1)求的解析式；
(2)(i)若图像不经过坐标原点，直接写出函数的单调区间.
(ii)若图像经过坐标原点，解不等式.
6．（2020·沙坪坝·重庆八中高一期末）已知幂函数在上为增函数．
（1）求解析式；
（2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围．
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第四章
指数函数、对数函数与幂函数
4.4
幂函数
1、基础巩固
1．（2020·河南信阳·月考（文））若函数是幂函数，则（
）
A．3
B．
C．3或
D．
【答案】C
【解析】因为函数是幂函数,所以,
解得或.
2．（2020·吉林油田第十一中学高三月考（文））函数f(x)＝(m2－m－5)xm－1是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，则m的值为（
）.
A．－3
B．－2
C．3
D．2
【答案】C
【解析】∵函数是幂函数，
∴，即，
解得或．
当时，，在上为减函数，不合题意；
当时，，在上为增函数，符合题意．
∴．
3．（2020·四川省武胜烈面中学校高二开学考试（理））下列函数在定义域上是增函数的是（ ）
A．y＝
B．y＝logx
C．y＝（）x
D．y＝x3
【答案】D
【解析】在单调递减，故舍去；
在定义域单调递减，故舍去；
在定义域上单调递减，故舍去；
在定义域上单调递增.
4．（2020·陕西高陵·高一月考（理））已知幂函数的图象过点，则的值为（
）
A．
B．3
C．
D．
【答案】A
【解析】设幂函数，
幂函数的图象过点，
，解得，
幂函数，
（9）
5．（2020·云南保山·高一其他）已知幂函数的图象过点，则幂函数的解析式为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设幂函数，代入点，则，解得，
.
6．（2020·福建省泰宁第一中学高三月考（文））在同一直角坐标系中，函数，的的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：当时，函数为增函数，且图象变化越来越平缓，
的图象为增函数，
当时，函数为增函数，且图象变化越来越快，的图象为减函数，
综上：只有D符合
7．（2020·迁西县第一中学高二期中）幂函数的图象经过点，则是（
）
A．偶函数，且在上是增函数
B．偶函数，且在上是减函数
C．奇函数，且在上是减函数
D．非奇非偶函数，且在上是增函数
【答案】D
【解析】设幂函数，因为图象经过点，所以，.
故，因为，所以为非奇非偶函数，且在上是增函数.
8．（2020·天津市第五中学高二期中）已知函数f（x）=x2–m是定义在区间[–3–m，m2–m]上的奇函数，则
A．f（m）B．f（m）=f（1）
C．f（m）>f（1）
D．f（m）与f（1）大小不确定
【答案】A
【解析】因为幂函数f（x）是奇函数，奇函数的定义域必然关于原点对称，
所以（–3–m）+（m2–m）=0，解得m=–1或m=3．
当m=–1时，函数f（x）=x3，–2≤x≤2，所以f（m）=f（–1）当m=3时，函数f（x）=，在x=0时无意义，不满足题意，舍去,故选A．
9．（2020·公主岭市第一中学校高一期中（理））已知幂函数的图象不过原点，则的值为（）
A．0
B．-1
C．2
D．0或2
【答案】A
【解析】函数是幂函数，
，解得：或，
当时，，过原点，不满足条件；
当时，，不过原点，满足条件，
.
10．（2020·云南文山·高三其他（理））已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】解：因为函数在上单调递减，
所以，
由于函数和函数在第一象限为增函数，
所以，，
故.
11．（2020·河北正定中学高三月考）已知，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为，
且，
故，
而，
所以．
12．（2020·沭阳如东中学高三月考）已知点在幂函数的图象上，设，，，则a，b，c的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：点在幂函数的图象上，
∴，解得，
，
∴在上单调递增，
又，
∴，故选：C．
13．（2020·天水市第一中学高二期末（理））已知函数
(且的图像恒过定点，点在幂函数的图像上，则（
）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【解析】解：函数中，令，解得，
此时，所以定点；
设幂函数，
则，解得；
所以，
所以，
．
14．（2019·安徽相山·淮北一中高一期中）若幂函数的图像过点，则不等式的解集为（
）
A．，，
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：设幂函数的解析式为，
由幂函数的图象过点，得，
解得，
所以；
所以的定义域为，，且单调递增；
又等价于，
解得；
所以的解集为，故选：D．
15．（2020·全国高三其他（理））已知是幂函数，且、，都有，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为是幂函数，所以，解得或.
又因为、，都有，
可设，则，所以，函数是单调递增函数，
当时，，该函数在上不单调，不合乎题意；
当时，，该函数在上为增函数.
所以等价于，所以，解得.
故答案为：.
16．（多选题）（2020·山东省东明县实验中学高三月考）下列函数中，定义域是且为增函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】对于A选项，，所以，函数是定义域为的减函数；
对于B选项，函数是定义域为的增函数；
对于C选项，函数是定义域为的增函数；
对于D选项，函数是定义域为的增函数.
17．（多选题）（2020·江苏启东·高一期末）已知幂函数的图象过点（2，8），下列说法正确的是（
）
A．函数的图象过原点
B．函数是偶函数
C．函数是单调减函数
D．函数的值域为R
【答案】AD
【解析】由于幂函数过点，所以，解得，所以.
，满足，A选项正确.
是奇函数，所以B选项错误.
在上递增，所以C选项错误.
值域为，所以D选项正确.
18．（多选题）（2020·福建福州·高二期末）下列选项中说法正确的是（
）
A．函数的单调减区间为
B．幂函数过点，则
C．函数的定义域为，则函数的定义域为
D．若函数的值域为，则实数的取值范围是
【答案】BD
【解析】对于A选项：由得或，所以中函数的定义域为，又函数在上单调递减，函数在上单调递增，所以函数的单调减区间为，故A不正确；
对于B选项：因为幂函数过点，所以，且，解得，所以，故B正确；
对于
C选项：因为函数的定义域为，所以，解得，所以函数的定义域为，故C不正确；
对于
D选项：因为函数的值域为，
所以当时，，满足其值域为，
当时，需且，解得，
所以实数的取值范围是，故D正确，
19．（多选题）（2020·重庆市开州区铁桥中学高三月考）已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（
）
A．函数为增函数
B．函数为偶函数
C．若，则
D．若，则
【答案】ACD
【解析】将点(4,2)代入函数得：，则.
所以，
显然在定义域上为增函数，所以A正确.
的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B不正确.
当时，，即，所以C正确.
当若时，
=
=.
即成立，所以D正确.
2、拓展提升
1．（2020·全国高一课时练习）已知幂函数，求此幂函数的解析式，并指出其定义域.
【解析】为函数，，解得或.
当时，，则，且有；
当时，，则，且有.
故所求幂函数的解析式为或，它们的定义域都是.
2．（2020·巩义市第四高级中学高三月考（理））已知幂函数，经过点(2，)，试确定的值，并求满足条件的实数的取值范围．
【解析】∵的图象过点，∴，∴，又，∴.
即，其定义域为，且在定义域上函数为增函数，
∴由得，解得.
3．（2020·永丰县永丰中学高一月考）已知幂函数在上单调递增.
（1）求的值；
（2）当时，记的值域为集合，若集合，且，求实数的取值范围.
【解析】（1）∵为幂函数，∴，∴或2.
当时，在上单调递增，满足题意.
当时，在上单调递减，不满足题意，舍去.
∴.
（2）由（1）知，.∵在上单调递增，∴
由于此题中，要满足，只需，.
4．（2020·全国高一课时练习）已知是幂函数，求m，n的值.
【解析】由题意得，解得或，
所以或，.
5．（2020·石嘴山市第三中学高三月考（理））已知幂函数
(1)求的解析式；
(2)(i)若图像不经过坐标原点，直接写出函数的单调区间.
(ii)若图像经过坐标原点，解不等式.
【解析】（1）
因为幂函数，
所以，解得或，
所以函数为或.
（2）(i)因为图像不经过坐标原点，
所以，
函数的单调递减区间为，无单调递增区间.
(ii)因为图像经过坐标原点，
所以，
因为为偶函数，且在上为增函数，
所以，
又在上为增函数，
所以，
解得，
所以不等式的解为.
6．（2020·沙坪坝·重庆八中高一期末）已知幂函数在上为增函数．
（1）求解析式；
（2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围．
【解析】（1）由题意，解得或，
又，∴，
∴．
（2）由（1），在上递减，则
，解得．
∴的范围是．
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