二分法求函数零点的近似值
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文档简介
§2.4.2用二分法求函数的零点
[教学目标]
（1）知识与技能
通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件、实施步骤，了解二分法是求函数零点近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．
（2）过程与方法
通过对例题的探究、解法展示与交流，体会函数单调性、值域、图象在函数零点的定性研究中的运用；
在二分法概念的形成过程中，巩固函数零点判定定理（布尔查诺定理）；
能借助计算器，用二分法求函数零点的近似解，并感受其中所蕴含的的算法思想．
（3）情感、态度、价值观
从生活经验上升到数学方法，感受数学与自然、社会的和谐与美妙；
体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．
[重点] 学会用二分法求函数的零点
[难点] 理解用二分法求函数零点的原理
[教学方式]合作探究、启发式、课后自主探究
[教学媒体]多功能展示台，几何画板4.06中文版、Microsoft Excel
[教学流程]
→
[教学过程]
一、创设情境
问题1：有新款手机价格在4000～8000元之间，请你猜其价格？
投影打出问题，链接展示小课件
问题1的设计意图：互动，兴趣引入，领会“逐步缩小区间，逼近准确值”的朴素的想法．
问题2：解方程
思路1：着眼于“数”，进行等式变形，如因式分解，配方
思路2：着眼于“数”，试图代公式或者寻求公式，模式识别
思路3：着眼于“形”，形数结合，转化为函数的零点，运用函数的性质进行根的存在性探索，并且，进一步地， 从定性研究到定量的细致入微的研究
问题2的设计意图：
相对于问题1，由实际问题到数学问题，由离散到连续的模型。由被动地接受调整，到主动地判断，寻求初始区间，并且不断地确定新的区间。
问题简洁明了，熟悉亲切。由函数与方程的联系，学生容易上手，但随着思考的深入，问题接踵而来。不排除暴露出某些学生公式定理掌握不扎实的问题，比如误用一元二次方程的求根公式等等。可以考虑介绍一元三次方程的求根公式，简要，注意时间因素．
由学生主动把问题转化为求函数的零点；主动提出精确度的要求；允许产生不同的想法，充分调动学生的积极性，充分尊重学生在知识形成过程中的主体地位。
结合几何画板软件展示思路分析，板书思路的数学符号表述，形成一个主体性的框架，体会二分法的应用前提和步骤
二、组织探究及探究发现
探究问题1：前面问题求解方法，称为二分法，归纳较为严格的表述．
二分法：对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
探究问题2：二分法的一般步骤是什么
给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：
1．确定区间，，验证·，给定精度；
2．求区间，的中点；
3．计算：
若=，则就是函数的零点；
若·<，则令=（此时零点）；
若·<，则令=（此时零点）；
4．判断是否达到精度；
即若，则得到零点值（或）；否则重复步骤2~4．
练习1、用二分法求函数的一个正的零点，可以作为计算的初始区间的是（ C ）
（A） [，1] （B）[0，1] （C）[1，2] （D）[2，3]
练习2、用二分法求函数的一个零点时，若取区间[2，3]为计算的初始区间，则下一个区间应取为_______________答：
练习1，2的设计意图：以上两个小题的思考难度小，但是有利于学生形成或者是顺应规范的二分法步骤，题目也有检查二分法使用的前提条件的功用．
例．求函数的零点的近似值（精确到0.1）
先分析，再求解
小组协作，借助计算器完成
逐步计算，完成表格
端点或中点横坐标 计算端点或中点的函数值 确定区间
a＝0，b＝1 f（0）＝－1＜0，f（1）＝2＞0 [0，1]
c＝（0＋1）/2＝0.5
由上表的计算可知，所求的近似值是______.
三、问题的反思与发展
上面的问题中，如果精确度要求更高，比如精确到0.001，必然要接着算好多步，面对这些渐渐不可爱的数字，我们很容易想到，能不能把以上大量的重复计算这些力气活交给机器完成？那么，怎样给计算工具交待任务？——把问题的算法步骤提炼出来→编写程序→机器执行→分析、利用结果进行进一步的研究
探究问题3：能否根据二分法的步骤列出图解示意图（渗透算法思想）
四、学习小结：1、知识方面：二分法（适用范围、步骤）
2、思想方法：数形结合、无限逼近、算法思想
3、疑惑：
五、课后实践
练习1：在利用二分法求的近似解过程中，有，， 则其近似解落在区间 ．
练习2：求函数的一个正实数零点（精确到0.1）．
练习3：已知函数的图象如下，能否用二分法求零点的近似值？
练习4：有12个大小相同的小球，其中有11个小球质量相等，另有一个小球稍重，用天平称几次就可以找出这个稍重的球？
课外拓展1：利用网络或书籍查找有关高次方程的研究史料．
课外拓展2：利用二分法的图解示意图，结合所学的计算机语言编出求解函数零点的程序（对数学基础较好和计算机较好的同学提出要求）．
巩固与发展
课外实践
探索发现
组织探究
创设情境
[教学目标]
（1）知识与技能
通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件、实施步骤，了解二分法是求函数零点近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．
（2）过程与方法
通过对例题的探究、解法展示与交流，体会函数单调性、值域、图象在函数零点的定性研究中的运用；
在二分法概念的形成过程中，巩固函数零点判定定理（布尔查诺定理）；
能借助计算器，用二分法求函数零点的近似解，并感受其中所蕴含的的算法思想．
（3）情感、态度、价值观
从生活经验上升到数学方法，感受数学与自然、社会的和谐与美妙；
体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．
[重点] 学会用二分法求函数的零点
[难点] 理解用二分法求函数零点的原理
[教学方式]合作探究、启发式、课后自主探究
[教学媒体]多功能展示台，几何画板4.06中文版、Microsoft Excel
[教学流程]
→
[教学过程]
一、创设情境
问题1：有新款手机价格在4000～8000元之间，请你猜其价格？
投影打出问题，链接展示小课件
问题1的设计意图：互动，兴趣引入，领会“逐步缩小区间，逼近准确值”的朴素的想法．
问题2：解方程
思路1：着眼于“数”，进行等式变形，如因式分解，配方
思路2：着眼于“数”，试图代公式或者寻求公式，模式识别
思路3：着眼于“形”，形数结合，转化为函数的零点，运用函数的性质进行根的存在性探索，并且，进一步地， 从定性研究到定量的细致入微的研究
问题2的设计意图：
相对于问题1，由实际问题到数学问题，由离散到连续的模型。由被动地接受调整，到主动地判断，寻求初始区间，并且不断地确定新的区间。
问题简洁明了，熟悉亲切。由函数与方程的联系，学生容易上手，但随着思考的深入，问题接踵而来。不排除暴露出某些学生公式定理掌握不扎实的问题，比如误用一元二次方程的求根公式等等。可以考虑介绍一元三次方程的求根公式，简要，注意时间因素．
由学生主动把问题转化为求函数的零点；主动提出精确度的要求；允许产生不同的想法，充分调动学生的积极性，充分尊重学生在知识形成过程中的主体地位。
结合几何画板软件展示思路分析，板书思路的数学符号表述，形成一个主体性的框架，体会二分法的应用前提和步骤
二、组织探究及探究发现
探究问题1：前面问题求解方法，称为二分法，归纳较为严格的表述．
二分法：对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
探究问题2：二分法的一般步骤是什么
给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：
1．确定区间，，验证·，给定精度；
2．求区间，的中点；
3．计算：
若=，则就是函数的零点；
若·<，则令=（此时零点）；
若·<，则令=（此时零点）；
4．判断是否达到精度；
即若，则得到零点值（或）；否则重复步骤2~4．
练习1、用二分法求函数的一个正的零点，可以作为计算的初始区间的是（ C ）
（A） [，1] （B）[0，1] （C）[1，2] （D）[2，3]
练习2、用二分法求函数的一个零点时，若取区间[2，3]为计算的初始区间，则下一个区间应取为_______________答：
练习1，2的设计意图：以上两个小题的思考难度小，但是有利于学生形成或者是顺应规范的二分法步骤，题目也有检查二分法使用的前提条件的功用．
例．求函数的零点的近似值（精确到0.1）
先分析，再求解
小组协作，借助计算器完成
逐步计算，完成表格
端点或中点横坐标 计算端点或中点的函数值 确定区间
a＝0，b＝1 f（0）＝－1＜0，f（1）＝2＞0 [0，1]
c＝（0＋1）/2＝0.5
由上表的计算可知，所求的近似值是______.
三、问题的反思与发展
上面的问题中，如果精确度要求更高，比如精确到0.001，必然要接着算好多步，面对这些渐渐不可爱的数字，我们很容易想到，能不能把以上大量的重复计算这些力气活交给机器完成？那么，怎样给计算工具交待任务？——把问题的算法步骤提炼出来→编写程序→机器执行→分析、利用结果进行进一步的研究
探究问题3：能否根据二分法的步骤列出图解示意图（渗透算法思想）
四、学习小结：1、知识方面：二分法（适用范围、步骤）
2、思想方法：数形结合、无限逼近、算法思想
3、疑惑：
五、课后实践
练习1：在利用二分法求的近似解过程中，有，， 则其近似解落在区间 ．
练习2：求函数的一个正实数零点（精确到0.1）．
练习3：已知函数的图象如下，能否用二分法求零点的近似值？
练习4：有12个大小相同的小球，其中有11个小球质量相等，另有一个小球稍重，用天平称几次就可以找出这个稍重的球？
课外拓展1：利用网络或书籍查找有关高次方程的研究史料．
课外拓展2：利用二分法的图解示意图，结合所学的计算机语言编出求解函数零点的程序（对数学基础较好和计算机较好的同学提出要求）．
巩固与发展
课外实践
探索发现
组织探究
创设情境