人教版六年级上册数学
《数与形》教学设计
教学内容
教材107页数学广角《数与形》例1
教学目标
1让学生在观察比较中找出从1开始的连续奇数之和与平方数即正方形数之间的关系，发现规律，会利用规律来解决问题。
形与数对照，让学生通过探索形的变化规律，能够解决实际问题。
在解决问题的过程中，体会数形结合的数学思想。
教学重点
发现图形和数字之间的联系，找到相应的规律。
教学难点
学会找规律的方法。
教学过程
铺垫
师：
（课件出示）请看屏幕，谁来把题目读一读。
生：
观察这些图形，每个图形分别用怎样的算式？
师：想一想，谁来说说。
生：第一图是一行一个正方形，只有一行，用乘法算式1×1
=1，第二图是一行两个小正方形，有两行，用乘法算式2×2=4，第三图是一行三个小正方形，有三行，用乘法算式3×3=9
师：（课件展示三个图的算式）还可以怎样写算式？
生：第一图1?，第二图2?，第三图3?
师：（课件展示三个图的算式）像这样两个相同的数相乘，叫做平方数，它还有一个名字叫正方形数（板书：正方形数），你们看看图，怎么还叫正方形数？
生：可以想到正方形平方，还可以想到正方形面积，每边是两个，有这样的两行，这样的图形就是正方形。
师：这些乘法算式分别和对应的图形有怎样的联系？
生：1.2.3分别表示每个正方形的边长，算式表示正方形的面积，或小正方形一共的个数。
探索规律
师：现在请同学们利用手中的学具，把这三个图形摆一摆。
生：操作。
师：摆好了，每个小组选出代表展示摆出的图形。
生：六个代表上台展示，相互评价，找到相同点和不同点，
师：课件展示学生的各种摆法及算式，请代表向全班交流
加法算式和图形的联系：
代表1：第一图只有一色一层，就是一个。第二图两色两层两个加数，第一层是1个红色，第二层是Ｌ形的三个蓝色。第三图是三色三层三个加数，第一层是一个红色，第二层是Ｌ形的三个蓝色，第三层是Ｌ形的五个黄色。
代表２：我是斜着摆的，第一图摆一个红色，第二图按１红２蓝１红摆的，第三图按１红２蓝３黄２蓝１红摆的。
乘法算式和加法算式的联系：（相等）
每个加数是奇数还是偶数？
代表１：是奇数。代表２：既有奇数也有偶数。
④图中的层数与奇数的联系：
代表１：有一个奇数就是一层，有两个奇数就是两层，有三个奇数就是三层。
代表２：奇数是单层，偶数是双层。
⑤从计算上发现了规律：
代表１：有几个奇数相加，和就是个数的平方。
代表２：算式左右两端从１开始连续自然数相加，和是中间最大数的平方。
师：（强调并板书）从１开始的几个连续奇数相加，和是个数的平方。算式左右两端从１开始连续自然数相加，和是中间最大数的平方。
师：我写４?你们想到什么？
生：１＋３＋５＋７ １＋２＋３＋４＋３＋２＋１
师：板书算式请同学们利用学具摆一摆，进行验证。
生：动手摆。
师：说说你是怎样摆的？算式及规律呢？
生：（拐弯摆成L形，斜着摆，竖着摆成宝塔形）、（略）
师：利用规律解决问题
１＋３＋５＋７＋９＋１１＋１３＝
１＋２+３＋４＋５＋６＋７＋６＋５＋４＋３＋２＋１＝
１＋３＋５＋７＋９＋１１＋９＋７＋５＋３＋１＝
学生讨论，反馈交流
师：课件展示正确答案。
这么有价值规律的计算你们是怎样发现的？
生：（略）
师：通过对图形进行观察得到不同的算式，得到数（板书：图形
数），找到图形和数的联系（板书：联系）从而发现了规律，再应用这个规律（板书·：应用）去解决问题，哪一步最关键呢？
生：发现联系这一步最重要。
师：刚才我们计算了从1开始的几个连续奇数相加的和，加数的个数不多，如果用N表示加数的个数，怎样用式子表示？
生：N?
师：你们能很快地计算1+3+5+7+…1999=不能很快数出加数的个数，请同学们根据摆的三个图形中的加法算式还能发现什么规律？
生：讨论、交流、反馈。
师：课件展示规律：第一图1?，第二图[（1+3）÷2]?，第三图[（1+5）÷2]?
生：计算1+3+5+7+…1999=
师：板书计算过程。
师：如果最后一个奇数用N怎样表示？
师课件展示[(1+N)÷2]?
归纳并板书：首尾数和的一半的平方。我国数学家华罗庚把这种图形和数结合在一起，也作了特别的强调，谁来读一读，课件出示：
数缺形时少知觉
，形少数时难入微，形数结合百般好，割裂分家万事休。
_华罗庚
生：读。
师：是不是也有这种想法吗。现在谁来说说这节课的课题。
生：（略）
师：板书课题：书与形。通过这节课的学习，你有什么收获？
板
书
设
计
1+3+5+7=4?
[（1+7）÷2]2=42
图
形
数
1+2+3+4+3+2+1=4?
应用→
联系
→
从1开始的几个连续奇数相加
和是加数个数的平方；或者首尾数
的一半的平方；
两端从1开始连续自然数相加，
和是中间最大数的平方。
1+3+5+7+…+1999=
作业：
教材108页:“做一做”《数与形》
教学目标：
1．体会数与形的联系，进一步积累数形结合数学活动经验，培养学生数形结合的数学思想意识。
2．体验数形结合的数学思想方法价值，激发学生用数形结合思想方法解决问题的兴趣，感受数学的魅力。
3．在解决数学问题的过程中，体会和掌握数形结合、归纳推理等基本的数学思想。
教学重点、难点：积累数形结合数学活动经验，体验数学思想方法的价值，激发学生学习兴趣。
教学准备：课件，不同颜色的小正方形。
学具准备：不同颜色的小正方形，答题纸。
教学过程：
一、趣味抢答，引入新课
师：在上新课之前，我们先来做一个和奇数有关的游戏，好吗？请报奇数的同学起立。
请听好要求；从1开始，报奇数的同学得回答出你与前一位或前几位同学所报数字之和，其他非奇数的同学你们来作裁判，答对时请作出手势“√”，答错时，请作出手势“×”，并予以纠正。看看哪些同学答的又快又对！
其实，老师有种神奇的计算方法，可以计算的又快又对！这节课就让我们一起走进“数”与“形”的世界吧！（板书课题：数与形）
二、探究新知：
（一）化数为形，以形助教
1、由图到数，找出数的特征。
屏幕出示：1个小正方形
师：这是什么形？（正方形）有几个？板书：1
（继续出示图2）一共有几个小正方形？（4个）怎样得出来的？
板书：1+3＝4
（出示图3）再数数，一共有几个小正形？（9个）用算式表示也就是1+3+5＝9（板书）
师：猜一猜，下一幅图上共有多少个小正方形？（16个）谁能用一个加法算式表示？（板书：1+3+5+7＝16）
师：刚才为什么你们会很快猜出是16呢？
师：也就是说这些都是从1开始的什么数？
小结：都是求从1开始几个连续奇数相加。
2、动手摆一摆，由数得形
师：那像这样从1开始的几个连续奇数相加的和到底有什么规律，请继续看屏幕：（PPT演示）
师：经过移动，几个小正方形又围成了一个什么形？（大正方形）还看得出算式中的1吗？（闪动红色小正方形）3在哪？（闪动了绿色小正方形）那还可以怎样算出小正方形的总个数？
师：那你们能照样子摆出算式：1+3+5的图形吗？算式1+3+5+7的呢？
以小组为单位，拿出学具袋中的小正方形动手摆一摆。
[学生汇报后，补充板书：32、42]
师：那1个小正方形呢？（板书：12）
3、观察数形，发现规律
师：通过摆图我们发现左面算式都可以摆成一个正方形，其结果还可写成一个平方数，那这个平方数和算式又有什么联系？
师：让我们再来一起回顾一下，可能你就会有所发现？
小结：有几个连续奇数相加，和就是几的平方。
4、举例验证，深化理解
师：这只是我们初步得出的一个结论，还不知是否具有普遍性，下面我们进一步举例验证一下。
[出示题目]师：请同学们先用求和的方法做一做，再用我们找到的小规律试一试看结果是否一致。
师：那谁能说说：从1开始求n个连续奇数相加的和的计算方法是什么？（屏幕出示规律）
5、应用规律，解决问题
屏幕出示：（1）15+13+11+9+7+5+3+1＝
（2）
＝92
（3）试一试：
1+3+5+7+5+3+1＝（
）
1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1＝（
）
师：同学们，现在觉得数与形怎么样？有关系吗？像这样把数变成形，用形来帮助我们了解数的规律，这一过程叫做“化数为形”（板书）
（二）化形为数，以数解形
师：既然数的规律可以借助图形来帮助思考，那形的变化背后是否也隐藏着数的规律呢？请看屏幕：
[PPT出示题目]
1.请一位学生读题。
2.小组讨论交流。
师：接下来请同学们小组交流讨论，完成答题卡。
学生汇报：
4.小结：像这样把形的问题用数来解决，这一转化过程叫做“化形为数”（板书）
师：像这样数的问题借助形来思考，而形的规律借助数来计算，它们可以互相转化，互为补充，这就意味着我们在解决问题时要把数与形结合起来，这在数学上是一种重要的思想，叫做“数形结合”思想。（板书）
三、数形结合，感受价值
1、回顾勾股构图，感受数形结合的魅力。
师：其实，从我们一年级开始学习数学知识，数与形就一直结合在一起！
（PPT出示图）
师：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，这就是勾股定理。实际上，到目前为止，勾股定理的证明方法有着三百多种，每种证明过程都和形有关，让我们走进科技馆的数学厅，看看这神奇的一幕：（PPT动画演示）
2、阅读名人名言，体验数形结合是一种非常重要的数学思想。
师：对于数形结合，我国数学家华罗庚先生有一段话说得非常好，让我们来齐读一遍！
四、回顾反思，总结提升
师：学完本节课，你对“数”与“形”有什么感受？
希望同学们用本堂课学会的数形结合思想解决我们生活中更多的数学问题！同学们，你们能做到吗？《数与形》
教学内容：
人教版《义务教育教科书
数学》六年级上册P111练习二十二第8题。
教学目标：
1．让学生经历观察、操作、归纳等活动，帮助学生借助“形”来直观感受与“数”之间的关系，体会有时“形”与“数”能互相解释，并能借助“形”解决一些与“数”有关的问题。
2．培养学生通过数与形结合来分析思考问题，从而感悟数形结合的思想，提高解决问题的能力。
3.利用图形解释（a+b）2=
a2+2ab+b2。
教学重点：
借助“形”（面积模型）感受与“数”之间的关系，培养学生用“数形结合”的思想解决问题。
教学难点：
如何将已有的图形，拆分成已学过的基本图形。
教学过程：
一、复习旧知
1、观看视频，体会数形结合。
师：上课伊始，让我们来看一段微课。（播放微课）
师：刚才的这段微课主要讲了什么内容？（生答）是根据学生的回答板书：数与形。（评价：你真会总结！）
过渡：对，刚才的这段微课帮我们回顾了本学期的几个数形结合的实例。
2、导入新课
师：知道他是谁吗？（课件出示，华罗庚图片）（生答）师：对，他就是我国著名的数学家华罗庚。他曾经说过“数形结合百般好，隔离分家万事休。”（生齐读）
师：今天的这节数学课，我们就从华罗庚的这句名言出发，一起去探究数与形的奥秘。
二、活动一：由13×4，,13×13，感受数与形的密切联系。÷
1、大屏幕出示13×4。
师：请看大屏幕，谁能读一读？（生读：由这个算式你能想到什么图形？）
师：下面请同学们脑洞大开，在你的活动卡1上画一画。
2、生动手操作，师巡视。并选择具有代表性的作品展示。
3、展示学生作品。
师：刚刚老师收集了几份作品，下面老师要请他们来说说，他们是怎么想的？
4、生汇报。
生1：长方形。师：谁能说的更完整？生2：这是一个长为13，宽为4的长方形。师：你说的真完整！
师：这时13×4表示的是这个长方形的什么？生1：长方形的面积。
师展示第二幅作品。师：谁能说说他画的是一个什么样的图形？生1：边长为13的正方形。师：此时，13×4又表示什么呢？（生：边长为13的正方形的周长）师：同学们真会思考！
5、引出13×13
师：如果想要求这个边长为13的正方形的面积，你会列式吗？（生：13×13）
不错，此时13×13表示的就是这个边长为13的正方形的面积。（同时课件出示：面积的动态图）
6、竖式与13×13
师：老师曾经见过这样一个竖式。（课件出示竖式及图）
师：你能把右边的数字与左边的图形一一对应起来吗？
生汇报。师注意纠正学生的语言的准确性。
7、小结：
刚刚我们通过同学们的脑洞大开，我们一起感受了数与形的密切联系。
三、活动二：借助图形证明完全平方公式。
过渡：接下来，我们继续我们的脑洞大开之旅。请看大屏幕。（课件出示：李伯伯家有一块边长为a米的正方形宅基地，现要扩建该宅基地。要求将其边长增加b米，
扩建后宅基地的面积是多少？）
师：下面老师请一位同学大声读题，其他同学仔细听，认真想。
1、想象。
师：想象一下，扩建后是一个什么样的图形？生答。师：谁还有补充？（直至学生完整的说出是一个边长为a+b的正方形。）
2、那么这道题的问题是什么？（生齐读。）实际也就是要求什么？（生：求这个边长为a+b
的正方形的面积）
3、这个大正方形的边长已经知道了，那么它的面积你会求吗？【生1：（a+b）（a+b）】不错，
谁还能再说说看？
师：这个式子化简之后可以怎样记？【生：（a+b）2】
4、刚才，我们把扩建后的宅基地看作一个大正方形并求出了它的面积。那么还可以怎样看
这个图形呢？（生答）
在学生没有答出来的情况下，师可提示：我们是否可以借助一些辅助线，把它分割成若干个我们已经学过的基本图形呢？（生说怎样分割）
5、刚才，这位同学为大家提供了一个不错的思路。接下来，请每位同学接着大开脑洞，在
活动卡2上，画一画，分一分，算一算。
师巡视，并给予辅导。
6、生汇报。
（1）结合实物展台与板书，先讲解分割成两正两长的情况。
你是怎样分的？谁有补充？
师：分割成了哪几个基本图形？每个基本图形的面积怎样求？这时，大正方形的面积也就是什么？（生：几个基本图形面积之和）。那么这时大正方形的面积可以怎样表示？（生答，师根据回答板书，注意图形与式子的对应）
（2）再来分析其他方法。
让学生充分说，师适当引导。
小结：
师：当我们把大正方形分割成若干个基本图形时，大正方形面积的表示方法，师指板书，你发现了什么？（生：都可以用a2+2ab+b2来表示）
师：那么它与左边的（a+b）2有什么关系？（生：相等）师：为什么？（生：它们表示的都是大正方形的面积）
师：由此我们可以知道：（a+b）2=
a2+2ab+b2。（生齐读）
师：其实在不知不觉间，我们借助数形结合，证明了中学的一个计算公式。看来咱们班的同学都有当数学家的潜力。
师：接下来，请同学们看着黑板，在心里回顾一下这节课的学习过程。
今天你学到了什么？
四、活动三，学以致用
接下来，我们继续大开你们的脑洞。（a2+2ab+b2=302，那么a+b
=?,生齐读）
师：同桌讨论。
生汇报。
师：你是怎样想的？
结束语：华罗庚还说过：数缺形时少直观，形少数时难入微。希望同学们扬起数形结合的风帆，在数学的海洋里乘风破浪。数与形
教学目标：
知识与技能：让学生经历观察、操作、归纳等活动，帮助学生借助“形”来直观感受与“数”之间的关系，体会当碰到有难度的“数”的问题时可以试着借助“形”来帮助理解题意、找到规律、解决问题。
过程与方法：培养学生通过数与形结合来分析思考问题，从而感悟数形结合思想，提高解决问题的能力。
情感、态度、价值观：在解决实际问题的过程中，体会数与形之间的密切联系，感受数学知识的奥妙，激发学生学习数学的兴趣。
教学重难点：
1、借助“形”感受与“数”之间的关系，使学生体会“数形结合”思想。
2、运用数形结合的方法探索规律，帮助计算，解决实际问题。
教具准备：
教学ppt、练习纸、16个颜色不同的磁石小正方形。
课前游戏：
师：同学们，喜欢玩游戏吗？下面我们先一起来玩一个游戏。
师：这个游戏是这样的，老师将选择一组同学，当老师报到某个数字的时候，从第一桌开始往后数到那个数字的人全都起立，想不想玩？看看哪一组的反应最敏捷。哪一组先来？
师：1,3,5,2,6
……
师：看来我们班同学的反应都很灵敏。下面，就用你们的智慧和灵敏的反应能力，一起去探索数学的奥秘，好吗？最后，娄老师再报一个数字，这次是面向全班的，48。同学们好。
一、谈话导入
师：同学们，
刚才娄老师报的是什么？（数
板书）
师：到目前为止，我们已经学过哪些数？（整数，分数，小数）。
师：在数学的世界中，还有些人把1,4,9,……等数叫做正方形数，1,3,6,10……等数叫做三角形数，神奇吗？
师：数与形之间是否存在着紧密的联系呢？今天，就让我们一起来研究一下数与形（板书
与形）
探究新知
（一）教学例1
1、引起探究
师：来，一起看这个问题，很有挑战性，一起读一下。
（从1开始的n个连续奇数相加的和是多少？）
师：谁能说一说这句话什么意思？n可以表示多少？
师：这句话写成式子那就是——1+3+5+7+9+……+（
）？
师：那这道题该怎么做？
(学生回答出来的话，师：这个同学知识面很广，他讲的是高斯求和公式，还有其他的方法吗？)
师：很多同学愣住了，做得来吗？（做不来）
师：确实很难，但有人借助了图形的力量很快地解决了这道问题。猜猜看，他借助了什么图形。
师：其实啊，他借助的是这几个正方形。这是1个小正方形，这里有几个小正方形？这里呢？（ppt上依次呈现）
师：想想看，怎么把1+3+5+7+9+……跟这些正方形联系起来，从而找到规律，解决这个问题。在你们的练习纸上也有这道探究题，请试着做做看，如果有困难也可以同桌之间互相讨论一下。
师：同学们有发现吗？谁把你的发现跟大家分享一下。
生：1=1,1+3=4,1+3+5=9,1+3+5+7=16（生边说，师边板书）
师：哎，这里的16怎么来的？跟正方形有关系吗？
生：下一个正方形小正方形的个数就是16.
师：为什么？前面的1是边长为1的正方形，1行且每行只有1个，和也是1.
4是边长为2的正方形，一共有2行，而且每行有2个，小正方形个数就是2
2=4个，9呢？3
3=9个，所以下一个正方形的边长应该是（4），所以小正方形的个数就是4
4=16个。
师：我们一起在黑板上拼拼看好不好，看看是不是真的是16。
师：我用一个红色小正方形表示数字1，1+3谁会表示？上来摆摆看。1+3+5呢？
1+3+5+7呢？是16吗？（是）4
4=16,16我们还可以写成4的平方。9呢？（3的平方）4呢（2的平方）？
师：那再在这个正方形外面摆一层呢，总共几个小正方形了？（25个）
（学生拼了后，不要问边长是多少？）
师：式子是？（1+3+5+7+9=25=5的平方）
师：我们再一起来看一下这些算式，请仔细观察左边的那些式子跟右边的和，你有什么发现吗？
生：从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的平方。
师：那6个奇数的和是？20个呢？100个呢？
师：n个呢？（n的平方）齐读一遍。
师：因为1,4,9,16……等，都跟正方形存在着紧密的联系，所以人们把这些数叫做正方形数。
师：同学们，我们刚刚是不是借助图形解决了这个问题？！真棒！
师：那再来看这个式子1+3+5+7+……+1351，是几的平方？我们首先要知道什么？
生：奇数个数？
师：那个数是多少呢？知道吗？不清楚？
师：你能试着联系这个正方形解决这个问题吗？
师：想想看，这里的3我们可以怎么得到，这里的5呢，7呢？
师：3=2
2-1,5=2
3-1,7=2
4-1。所以第n个奇数就是？（2n-1）
师：当2n-1=1351时，n=676.所以和就是676的平方。
师：同学们，你们看，当我们碰到困难的时候，又一次借助图形来帮助解决了。
所以，以后当我们遇到有难度的数的问题时，都可以借助图形的力量来帮助解决。
2、练习
师：下面就让我们联系正方形快速地回答以下几个问题。
（二）教学例2
师：看来同学们的反应确实挺灵敏的，那我们再一起来看一下这一道题目吧。
（出示例2：）
师：你能发现什么规律？
师：这道题你会做吗？想想看我们可以通过什么方法解决这道问题。
生：借助图形的力量
师：对，就是图形，我们可以通过画图来解决这道题目。
师：那，你们知道该怎么画图吗？
生：先画一个圆或者先画一个正方形，用来表示单位1，先平均分成2份，其中一份是二分之一，剩下的再平均分成2份，其中一份是四分之一，依次这样画下去就可以了。
（学生说不清楚的时候，让他上来画一画）
师：你们听懂了吗？那在练习纸的第二题上画画看。
（投影展示学生作品）
师：从图上可以看出，这些分数不断加下去，总和就是1.
师：看来，有些问题通过画图，解决起来更直观。
师：同学们，学到这，对数与形你有什么感受吗？
生：……
师：这就意味着要求我们在解决问题的时候要把数和形结合起来，这在数学上是一种重要的思想，就叫“数形结合思想”
师：对于“数形结合”，我国数学家华罗庚先生有一段话非常好。让我们一起读一遍：
生：数缺形时少直觉，形缺数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。
师：要想做到数形结合，就要见“数”思“形”，见“形”想“数”。
试试看你们能不能够做到。
三、巩固练习
古时候，还没有出现数之前，人们就用东西或者图形来表示数，你知道这幅图他们表示的是几吗？
出现数以后，数与形的联系就更密切了
（1）师：
有这样一道算式（3×2），你能够想到什么图形？
生：我能想到一个长方形。
师：为什么？
生：因为可以想象它的长是3，高是2,6就是他们的面积。
师：大家说有没有道理？可见数的变化背后却是隐藏着形。
（2）师：有这样一个数量关系，一袋大米中60千克，吃了四分之三，你能够想到用什么图形来表示它？
生：我想到用一个边长为4厘米的的长方形来表示。
生：把一个长方形平均分成四份，每份是1厘米。
师：那即是说把它平均分成4份，吃了的是3份。
小兰和爸爸妈妈这道题
三角形数这道题
师：看这些数和图形，因为这些数与三角形存在着紧密的联系，所以人们把这些数叫做三角形数。数与形之间存在着紧密的联系。
平方和公式这道题
四、课堂总结
师：这节课马上就要结束了，老师问问大家，学完这一节课后你有什么体会？
