2012优化方案数学精品课件（新人教A版选修2-3）：1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的

(共29张PPT)
1．3.2　“杨辉三角”与二项式系数的性质
学习目标
1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数．
2．理解二项式系数的性质并灵活运用．
课堂互动讲练
知能优化训练
1．3.2
课前自主学案
课前自主学案
温故夯基
知新益能
等距离
递增
递减
2n
1．二项式系数表与杨辉三角中对应行的数值都相同吗？
提示：不是．二项式系数表中第一行是两个数，而杨辉三角的第一行只有一个数．实际上二项式系数表中的第n＋1行与杨辉三角中的第n行对应数值相等．
问题探究
2．观察杨辉三角，归纳猜想出第几行的各个数字都是奇数？
提示：从表中可看出第一行、第二行、第四行、第八行…都是奇数，归纳得出第2n－1行(n＝1,2,3…)都是奇数．
课堂互动讲练
与“杨辉三角”有关的问题
解决与“杨辉三角”有关问题的一般方法是：
观察——分析——试验——猜想结论——证明，要得出杨辉三角中的数字的诸多排列规律，依靠观察能力，注意观察方法：横看，竖看，斜看，连续看，隔行看，从多角度观察．
考点突破
如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n项和为Sn，求S19.
例1
【思路点拨】　解答本题可观察数列的各项在杨辉三角中的位置，把各项还原为各二项展开式的二项式系数，利用组合的性质求和．
在(a＋b)n展开式中，对a、b赋予特定的数值，便得到某些系数和．
设(1－2x)2011＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2011·x2011(x∈R)．
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2011的值；
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2011的值；
(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2011|的值．
二项式系数和的问题
例2
【思维总结】　“赋值法”是解决二项式系数和问题常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同的值．
互动探究1　本例条件不变，问题改为：求(a0＋a2＋…＋a2010)2－(a1＋a3＋…＋a2011)2的值．
解：(a0＋a2＋…＋a2010)2－(a1＋a3＋…＋a2011)2
＝[(a0＋a2＋…＋a2010)＋(a1＋a3＋…＋a2011)]×[(a0＋a2＋…＋a2010)－(a1＋a3＋…＋a2011)]
＝(a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2011)×(a0－a1＋a2－a3＋…＋a2010－a2011)
＝(－1)×32011
＝－32011.
　此问题既要分析二项式的形式，又要区分二项式系数与系数的概念．
(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．
二项式系数的最值问题
例3
【思路点拨】　根据已知条件可求出n，再根据n的奇偶性，确定出二项式系数最大的项．
【思维总结】　求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的．需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式、解不等式的方法求解．
变式训练2　求(1－2x)8的展开式中系数最小的项．
方法技巧
1．二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出．
方法感悟
2．求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．一般地对字母赋的值为1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握．如例2
如：x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，
求a0＋a1＋a2＋a3时，可令x＝3.
失误防范
1．区分开二项式系数与项的系数．
2．求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中r∈{0,1,2，…，n}的范围．
知能优化训练