2012优化方案数学精品课件（新人教A版选修2-3）：1.1.1 分类加法计数原理与分步乘法

(共30张PPT)
第1章　计数原理
课标领航
本章概述
本章内容的重点是两个计数原理、排列与排列数公式、组合与组合数公式、二项式定理与二项展开式的性质；难点是正确使用两个计数原理或排列组合的知识解决实际问题.
学法指导
1.本章内容概念性强、抽象性强、灵活性强、思维方法独特，因此要立足于基础知识、基本方法、基本问题的学习．
2.对于易混淆的知识，如分类计数与分步计数原理、排列与组合、二项式系数与二项展开式中项的系数等，应着眼于搞清它们之间的区别和联系.
1．1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理
学习目标
1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．
2．会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题．
课堂互动讲练
知能优化训练
1.1
课前自主学案
课前自主学案
1．所谓并集就是由所有属于集合A___属于集合B的元素所组成的集合；所谓交集就是由属于集合A___属于集合B的所有元素组成的集合．
温故夯基
或
且
2．并集中关键字眼为“或”，它包含三种情况：例如x∈A，或x∈B的含义为：(1)x∈A，但x B；(2)x∈B，但x A；(3)x∈A，且x∈B.交集中关键字眼为“且”，它只包含一种情况：例如x∈A，且x∈B.
3．山东省高考数学题从题型上分有三类，分别是______、______、______．
4．去学校餐厅刷卡吃饭，一般两步可完成，第一步点菜(饭)，第二步______．
选择题
填空题
解答题
刷卡
1．完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝______种不同的方法．
2．如果完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝__________________种不同的方法．
知新益能
m＋n
m1＋m2＋…＋mn
3．完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝____种不同的方法．
4．如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝____________种不同的方法．
m·n
m1·m2·…·mn
1．分类加法计数原理中的“各种方法”与“完成这件事”有什么关系？
提示：分类加法计数原理中的各种方法都能独立完成这件事，与“其他方法”没关系．
2．分步乘法计数原理中的“各步方法”与“完成这件事”有什么关系？
提示：要完成这件事，“各步”中的方法必须依次都完成，步与步之间是连续的，相互依存．
问题探究
课堂互动讲练
分类加法计数原理
其特点是各类中的每一个方法都可以完成要做的事情，它强调的是每一类中的一个方法就可以完成要做的事情．
在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
例1
考点突破
【思路点拨】　该问题与计数有关，可考虑选用计数原理来计算，完成这件事，只要两位数的个位、十位数字确定了，这件事也就完成了．因此可考虑安排十位数上的数字进行分类，也可以考虑安排个位数上的数字进行分类．
【解】　法一：按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．
法二：按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．
【思维总结】　本题是分类计数原理的实际应用，由于个位数字大于十位数字，所以个位数字最小是2，最大是9，于是可从个位数字的数值分类考虑．
互动探究1　本例条件不变，问个位数字小于十位数字的两位数共有多少个？
解：当个位数字为0,1,2,3,4,5,6,7,8时，符合条件的两位数分别有9,8,7,6,5,4,3,2,1个，根据加法计数原理共有9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝45(个)．
　如果完成一件事需要n个不可缺少的步骤，即只有完成所有的这些步骤，才能完成这件事．将每一步的方法数相乘，就得到完成这件事的方法数．
分步乘法计数原理
2011年春节期间，齐鲁电视台开展了“替你为父母送东西”的活动，在外地打工的小王要给家在农村的父母买一台冰箱和洗衣机，现有5种型号的冰箱和3种型号的洗衣机，那么小王共有多少种购买方案？
【思路点拨】　小王可分步进行购买，分别买冰箱和洗衣机．
例2
【解】　小王可分两步完成：
第一步，购买冰箱有5种方法；
第二步，购买洗衣机有3种方法．
因此共有5×3＝15种不同的购买方案．
对于较复杂的问题，可以在分类方法中分步进行，或者在每步中分类．
某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？
两个原理的综合应用
例3
【思路点拨】　分清只会英语、只会日语和会两种外语的人数，再分类选人．
【解】　依题意得既会英语又会日语的有7＋3－9＝1(人)，6人只会英语，2人只会日语．
第一类：从只会英语的6人中选一人有6种方法，此时会日语的有2＋1＝3(种)．
由分步乘法计数原理可得N1＝6×3＝18(种)．
第二类：不从只会英语的6人中选一人有1种方法，此时会日语的有2种．
由分步乘法计数原理可得N2＝1×2＝2(种)．
综上，由分类加法计数原理可知，不同选法共有N＝N1＋N2＝18＋2＝20(种)．
【思维总结】　这种“多面手”的题型，关键分清“多面手”可以“干什么”活．
变式训练2　7名学生中有3名会下象棋但不会下围棋，有2名学生会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现从中各选1人同时参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？
解：第一类：从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，由分步乘法计数原理N1＝3×2＝6(种)
第二类：从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，由分步乘法计数原理N2＝3×2＝6(种)．
第三类：从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛，由分步乘法计数原理N3＝2×2＝4(种)．
第四类：从2名既会下象棋又会下围棋的学生中各选1名参加围棋比赛和象棋比赛，有N4＝2(种)．
综上，由分类加法计数原理可知，不同选法共有N＝N1＋N2＋N3＋N4＝6＋6＋4＋2＝18(种)．
方法技巧
1．如果完成一件事有两类方案，这两类方案彼此之间是相互独立的，无论哪一类方案中的哪一种方法都能单独完成这件事，求能完成这件事的方法种数就用分类加法计数原理．如例1
方法感悟
2．如果完成一件事需要分成多个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤有若干种不同的方法，求能完成这件事的方法种数就用分步乘法计数原理．如例2
3．按元素性质分类，按事件发生过程分步是计数问题的基本思想方法，区分“分类”与“分步”的关键，是验证提供的某一种方法是否完成了这件事情，分类中的每一种方法都完成了这件事情，而分步中的每一种方法不能完成这件事情，只是向事情的完成迈进了一步．如例3
失误防范
用两个计数原理解决具体问题时，首先要分清是“分类”还是“分步”，其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要做到“不重不漏”，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性．
知能优化训练