2012优化方案数学精品课件（新人教A版选修2-3）：2.3.2 离散型随机变量的方差

(共31张PPT)
2．3.2　离散型随机变量的方差
学习目标
1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念．
2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．
3．掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．
课堂互动讲练
知能优化训练
2．3.2
课前自主学案
课前自主学案
1．若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
温故夯基
E(X)＝____________________________，它反映了离散型随机变量取值的_____水平．
2．若X～B(n，p)，则E(X)＝___.
3．样本数据的方差、标准差公式：
x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn
平均
np
方差
标准差
知新益能
2．公式：D(aX＋b)＝______．
3．若X服从两点分布，则D(X)＝______．
若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则D(X)＝________．
a2D(X)
p(1－p)
np(1－p)
1．随机变量的方差与样本的方差有何不同？
提示：样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此它是一个随机变量，而随机变量的方差是通过大量试验得出的，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，因此它是一个常量而非变量．
问题探究
2．方差、标准差的单位与随机变量的单位有什么关系？
提示：方差的单位是随机变量单位的平方；标准差与随机变量本身有相同的单位．
课堂互动讲练
求一般离散型随机变量的方差
考点突破
根据离散型随机变量的分布列、期望、方差公式求解．
已知X的分布列为
例1
(1)求E(X)，D(X)，σ(X)；
(2)设Y＝2X＋3，求E(Y)，D(Y)．
【思路点拨】　根据均值、方差、标准差的定义解题．
【误区警示】　在(xi－E(X))2pi中，极易把(xi－E(X))2的平方漏掉．
变式训练1　已知随机变量ξ的分布列为
ξ 1 2 3
P p1 p2 p3
且已知E(ξ)＝2，D(ξ)＝0.5，求：
(1)p1，p2，p3；(2)P(－1<ξ<2)．
确定是两点分布和二项分布后，直接用公式求解．
某人投弹命中目标的概率为p＝0.8.
(1)求投弹一次，命中次数X的均值和方差；
(2)求重复10次投弹时命中次数Y的均值和方差．
两点分布和二项分布的方差
例2
【思路点拨】　投弹一次命中次数X服从两点分布，而重复10次投弹可以认为是10次独立重复试验，命中次数Y服从二项分布．
【解】　(1)X的分布列为：
X 0 1
P 0.2 0.8
E(X)＝0×0.2＋1×0.8＝0.8.
D(X)＝(0－0.8)2×0.2＋(1－0.8)2×0.8＝0.16.
(2)由题意知，命中次数Y服从二项分布，即Y～B(10,0.8)，
∴E(Y)＝np＝10×0.8＝8，
D(Y)＝10×0.8×0.2＝1.6.
(1)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率；
(2)求这支篮球队在6场比赛中胜场数ξ的期望和方差．
　数学期望反映随机变量取值的平均水平，方差则反映随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．
为了迎战山东省下届运动会，某市对甲、乙两名射手进行一次选拔赛．已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.
离散型随机变量的方差的应用
例3
(1)求ξ，η的分布列；
(2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．
【思路点拨】　利用分布列的概率和为1，求出a，然后分别列出ξ，η的分布列，结合分布列分别求出E(ξ)，E(η)，D(ξ)，D(η)．
【解】　(1)依据题意，0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.
∵乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2，
∴乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.
∴ξ，η的分布列分别为
ξ 10 9 8 7
P 0.5 0.3 0.1 0.1
η 10 9 8 7
P 0.3 0.3 0.2 0.2
(2)结合(1)中ξ，η的分布列可得：
E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2，
E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7，
D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96，
D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.
由于E(ξ)>E(η)，说明甲平均射中的环数比乙高；
又∵D(ξ)方法技巧
1．求离散型随机变量方差的步骤
(1)理解X的意义，写出X的所有可能的取值；
(2)求X取每一个值的概率；
(3)写出随机变量X的分布列；
(4)由方差的定义求E(X)，D(X)．
方法感悟
特别地，若随机变量服从两点分布或二项分布，可根据公式直接计算D(X)．如例1、例2
2．均值仅体现了随机变量取值的平均水平，如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的取值如何在均值周围的变化，方差大说明随机变量取值较分散，方差小，说明取值较集中．如例3
失误防范
1．注意区分E(ax＋b)与D(ax＋b)的公式，二者易记混．
2．D(X)也是一个实数，由X的分布列惟一确定．
知能优化训练