2012优化方案数学精品课件（新人教A版选修2-3）：2.3.1 离散型随机变量的均值

(共39张PPT)
2．3　离散型随机变量的均值与方差

2．3.1　离散型随机变量的均值
学习目标
1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值．
2．理解离散型随机变量均值的性质．
3．掌握两点分布、二项分布的均值．
4．会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量取值水平，解决一些相关的实际问题．
课堂互动讲练
知能优化训练
2．3.1
课前自主学案
课前自主学案
温故夯基
2．两点分布的分布列是
X 0 1
P 1－p p
1．一般地，若离散型随机变量X的分布列是
知新益能
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称_________________________________为随机变量X的均值或数学期望．
2．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平．
3．若X、Y是离散型随机变量，且Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则有E(Y)＝________.
4．若随机变量X服从两点分布，则_______.
5．若X～B(n，p)，则E(X)＝____.
E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn
aE(X)＋b
E(X)＝p
np
1．若随机变量X等可能地取1,2,3，…，n，其均值为多少？
问题探究
2．离散型随机变量的均值与分布列有什么区别？
提示：离散型随机变量的分布列和均值虽然都是从整体和全局上刻画随机变量的，但二者有所不同．分布列只给了随机变量取所有可能值的概率，而均值却反映了随机变量取值的平均水平．
课堂互动讲练
考点突破
求离散型随机变量的均值
　求数学期望(均值)的关键是求出其分布列，然后套用数学期望(均值)公式求解．
在10件产品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品．从这10件产品中任取3件，求取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望．
例1
所以随机变量X的分布列是
【题后小结】　随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，只要找清随机变量及相应的概率即可计算．
互动探究1　在本例中，求取出的3件产品中二等品件数ξ的均值．
若X是随机变量，且Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量且E(Y)＝aE(X)＋b.
已知随机变量X的分布列为：
离散型随机变量均值性质应用
例2
(1)求E(X)；
(2)若Y＝2X－3，求E(Y)．
【思路点拨】　根据分布列、期望定义和性质求解．
【思维总结】　(1)该类题目属于已知离散型分布列求期望，求解方法直接套用公式，E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求解．
(2)对于aX＋b型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b；也可以先列出aX＋b的分布列，再用均值公式求解，比较两种方法显然前者较简便．
互动探究2　在本例中，若Z＝|X|，求E(Z)．
解：当X＝±2时，|Z|＝2，
当X＝±1时，|Z|＝1，
当X＝0时，|Z|＝0，
∴Z的分布列为
若ξ～B(n，p)，则E(ξ)＝np.
某运动员投篮命中率为p＝0.6.
(1)求一次投篮时命中次数ξ的均值；
(2)求重复5次投篮时，命中次数η的均值．
二项分布的均值
例3
【思路点拨】　第一问中ξ只有0,1两个结果，服从两点分布；第二问中η服从二项分布．
【解】　(1)投篮一次，命中次数ξ的分布列为，则E(ξ)＝p＝0.6.
ξ 0 1
P 0.4 0.6
(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数η服从二项分布，
即η～B(5,0.6)．
则E(η)＝np＝5×0.6＝3.
【误区警示】　对于两点分布，找清成功率p，本题分布列不可写为，对于二项分布关键找对试验次数．
ξ 0 1
P 0.6 0.4
(1)求ξ的分布列；
(2)求ξ和η的数学期望．
ξ的分布列为
在实际生活中，常利用随机变量均值的大小决定某些方案的优劣，解决一些决策问题．
两名战士在一次射击比赛中，战士甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4、0.1、0.5；战士乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1、0.6、0.3，那么两名战士获胜希望较大的是谁？
均值在实际生活中的应用
例4
【思路点拨】　希望的大小，只能通过均值来比较．故先写出战士甲、乙在这次比赛中得分的概率分布，通过计算看谁得分的均值大，从而解决问题．
【解】　设这次射击比赛战士甲得X1分，战士乙得X2分，则分布列分别如下：
X1 1 2 3
P 0.4 0.1 0.5
X2 1 2 3
P 0.1 0.6 0.3
根据均值公式，
得E(X1)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1；
E(X2)＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2.
E(X2)＞E(X1)，
故这次射击比赛战士乙得分的均值较大，
所以乙获胜希望大．
【思维总结】　均值是表示随机变量的平均水平，一般情况取均值较大者为优．
变式训练4　某商场要根据天气预报来决定促销活动节目是在商场内还是在商场外开展．统计资料表明，每年国庆节商场内的促销活动可获得经济效益2万元；商场外的促销活动如果不遇到有雨天气可获得经济效益10万元，如果促销活动中遇到有雨天气则带来经济损失4万元，9月30日气象台预报国庆节当地有雨的概率是40%，商场应该采取哪种促销方式？
解：设该商场国庆节在商场外的促销活动获得的经济效益为ξ万元，则：P(ξ＝10)＝0.6，P(ξ＝－4)＝0.4，∴E(ξ)＝10×0.6＋(－4)×0.4＝4.4(万元)．
即国庆节在当地有雨的概率是40%的情况下，在商场外促销活动的经济效益的期望为4.4万元，超过在商场内促销活动可获得的经济效益2万元．所以，商场应该选择商场外的促销活动．
方法技巧
1．求离散型随机变量均值的步骤
(1)确定离散型随机变量X的取值；
(2)写出分布列，并检查分布列的正确与否；
(3)根据公式求出均值．如例1
2．若X、Y是两个随机变量，且Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋b，即随机变量X的线性函数的数学期望等于这个随机变量的期望E(X)的同一线性函数．如例2
方法感悟
失误防范
1．计算随机变量的均值，关键是把分布列写正确．
2．对于离散型随机变量的均值，要理解随机变量的均值E(ξ)是一个数值，是随机变量ξ本身所固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平．正如概率作为随机变量发生的频率一样，要在大量现象中才能显现出来．
知能优化训练