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突破5.1
任意角和弧度制课时训练
【基础巩固】
1．410°角的终边落在（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【解析】根据角的定义判断即可，410°=360°+50°，故为第一象限角，故选A。
2．已知k∈Z，下列各组角中，终边相同的是（ ）
A．2kπ与kπ
B．2kπ+π与4kπ±π
C．kπ与2kπ±
D．与kπ±
【答案】B
【解答】2kπ（k∈Z）表示终边在x轴非负半轴上的角的集合，kπ（k∈Z）表示终边在x轴上的角的集合，两组角终边不同；2kπ+π与4kπ±π（k∈Z）都表示终边在x轴非正半轴上的角的集合，两组角终边相同；
kπ（k∈Z）表示终边与和终边相同的角的集合，2kπ±（k∈Z）表示终边与和终边相同的角的集合，两组角终边不同；（k∈Z）表示终边在坐标轴上的角的集合，kπ±（k∈Z）表示终边在y轴上的角的集合，两组角终边不同；故选：B．
3．下列各角与终边相同的角是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】与终边相同的角可表示为，当时，，故选D。
4．化为弧度为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】，故选C。
5．如果是第三象限的角，那么必然不是下列哪个象限的角（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【解析】是第三象限的角，则，，
所以，；所以可以是第一、第三、或第四象限角，故选B。
6．（多选题）下列结论正确的是（
）
A．是第三象限角
B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为
C．若角的终边过点，则
D．若角为锐角，则角为钝角
【答案】BC
【解析】选项A：终边与相同，为第二象限角，所以A不正确；
选项B：设扇形的半径为，扇形面积为，所以B正确；
选项C：角的终边过点，根据三角函数定义，，所以C正确；
选项D：角为锐角时，，所以D不正确.故选:BC
7．已知扇形弧长为20
cm，圆心角为100°，则该扇形的面积为________cm2.[]
【解析】由弧长公式l＝|α|r，得r＝＝，
∴S扇形＝lr＝×20×＝.答案：
8．已知本次数学考试总时间为2小时，你在奋笔疾书沙沙答题，分针滴答滴答忙着转圈．现在经过了1小时，则此时分针转过的角的弧度数是 ﹣2π ．
【解答】解：由于经过了1小时，分针转过一周角为2π，又由顺时针旋转得到的角是负角，
故分针转过的角的弧度数是﹣2π，故答案为：﹣2π．
9．下列命题正确的是（
）
A．第一象限的角都是锐角
B．小于的角是锐角
C．2019°是第三象限的角
D．2019°是第四象限的角
【答案】C
【解析】对于A，第一象限的角都是锐角是错误的，比如365°就是第一象限角，但是不是锐角；对于B，
小于的角是锐角也是错误的，比如负角，小于但不是锐角；对于C，2019°是第三象限角，故正确；对于D，由C知是错误的，故答案为C。
10．已知在半径为6的圆O中，弦AB的长为6，
（1）求弦AB所对圆心角α的大小；
（2）求α所在的扇形的弧长l以及扇形的面积S．
【解答】解：（1）根据题意，半径为6的圆O中，弦AB的长为6，
则△AOB为等边三角形，则∠AOB，即α，
（2）根据题意，由（1）的结论，l＝α×r＝2π，Srl＝6π．
【能力提升】
11．（安徽省淮北师范大学附属实验中学2018-2019学年期末）下列说法正确的是（
）
A．钝角是第二象限角
B．第二象限角比第一象限角大
C．大于的角是钝角
D．是第二象限角
【答案】A
【解析】钝角的范围为，钝角是第二象限角，故A正确；﹣200°是第二象限角，60°是第一象限角，-200°＜60°，故B错误；由钝角的范围可知C错误；-180°＜-165°＜-90°，-165°是第三象限角，D错误，故选A。
12．（山东省烟台市2018-2019学年期末）若某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设扇形的半径是，由扇形的弧长公式得：，解得：，
故选D。
13．（山东省潍坊市2018-2019学年期中）“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦尺，弓形高寸，则阴影部分面积约为（注：，，1尺=10寸）（
）
A．6.33平方寸
B．6.35平方寸
C．6.37平方寸
D．6.39平方寸
【答案】A
【解析】连接OC，设半径为r，寸，则
在直角三角形中，
即，解得
则
，所以则
所以扇形的面积
三角形的面积
所以阴影部分面积为所以选A。
14．（2020?临汾模拟）刘徽（约公元225年一295年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一．他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形（如图所示），当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到sin3°的近似值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：将一个单位圆分成120个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为2°，
∵这120个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似于单位圆的面积，
∴120sin3°＝60sin3°≈π，∴sin3°故选：D．
15．（2019秋?常德期末）《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积（弦乘矢+矢乘矢），弧田是由圆弧（简称为弧田的弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称（弧田的弦）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田的弦长，“矢”等于弧田的弧所在圆的半径与圆心到弧田的弦的距离之差．现有一弧田，其弦长AB等于，其弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式计算得该弧田的面积为，则∠AOB＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：如图，由题意可得：AB，弧田面积S（弦×矢+矢2）（矢+矢2）．
解得矢＝1，或矢＝1﹣2，（舍），设半径为r，圆心到弧田弦的距离为d，
则
，解得d＝1，r＝2，∴cos∠AOD，可得∠AOD，∴∠AOB．故选：D．
16．（多选题）下列条件中，能使和的终边关于轴对称的是（
）
A．
B．
C．
D．
E.
【答案】BE
【解析】假设、为内的角，
如图所示，因为、的终边关于轴对称，所以，所以B满足条件；
结合终边相同的角的概念，可得，所以E满足条件，ACD都不满足条件．故选：BE.
17．（多选题）设是第三象限角，则所在象限是（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】BD
【解析】是第三象限角，，，
则，，令，
有，；在二象限；，，
有，；在四象限；故选：B．
18．（2020·全国高一课时练习）（1）给出下列说法：
①锐角都是第一象限角；
②第一象限角一定不是负角；
③小于180°的角是钝角或直角或锐角.
其中正确说法的序号为________.(把正确说法的序号都写上)
（2）将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________.
【答案】②
【解析】
（1）①锐角的范围为是第一象限的角，命题①正确；
②第一象限角的范围为，故第一象限角可以为负角，故②错误；
③根据任意角的概念，可知小于180°的角，可以为负角，故③错误；
故答案为：②
（2）将时针拨快20分钟，则分针顺时针转过，即转过的度数为
故答案为：
19．（2020·浙江柯城·衢州二中高三一模）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB和其所对弦AB围成的图形，若弧田的弧AB长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB长是__________，弧田的面积是__________．
【答案】6
12π﹣9
【解析】
∵如图，弧田的弧AB长为4π，弧所在的圆的半径为6，过作，交于，根据圆的几何性质可知，垂直平分.
∴α＝∠AOB＝＝，可得∠AOD＝，OA＝6，
∴AB＝2AD＝2OAsin＝2×＝6，
∴弧田的面积S＝S扇形OAB﹣S△OAB＝4π×6﹣＝12π﹣9．
故答案为：6，12π﹣9．
20．（2020·全国高一课时练习）已知扇形AOB的圆心角α为，半径长R为6，求：
（1）弧AB的长；
（2）扇形所含弓形的面积.
【答案】（1）4π；（2）12π－9.
【解析】
（1）l＝α·R＝π×6＝4π，
所以弧AB的长为4π.
（2）S扇形OAB＝lR＝×4π×6＝12π.
如图所示，过点O作OD⊥AB，交AB于点D，π＝120°，
所以∠AOD＝60°，∠DAO＝30°，
于是有S△OAB＝×AB×OD
＝×2×6cos
30°×3＝9.
所以弓形的面积为S扇形OAB－S△OAB＝12π－9.
所以弓形的面积是12π－9.
21．（2020·浙江高一课时练习）已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径为R.
（1）若，，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
（2）若扇形的周长为20
cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大?
【答案】（1），；（2）.
【解析】
（1）设扇形的弧长为l，弓形面积为S，则
，，，
.
（2）设扇形弧长为l，则，即，
∴扇形面积，
∴当时，S有最大值，此时，.
因此当时，这个扇形面积最大.
点睛:
当周长C为定值时可得面积
当面积为定值时可得周长.
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精品试卷·第
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任意角和弧度制课时训练
【基础巩固】
1．410°角的终边落在（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．已知k∈Z，下列各组角中，终边相同的是（ ）
A．2kπ与kπ
B．2kπ+π与4kπ±π
C．kπ与2kπ±
D．与kπ±
3．下列各角与终边相同的角是（
）
A．
B．
C．
D．
4．化为弧度为
A．
B．
C．
D．
5．如果是第三象限的角，那么必然不是下列哪个象限的角（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
6．（多选题）下列结论正确的是（
）
A．是第三象限角
B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为
C．若角的终边过点，则
D．若角为锐角，则角为钝角
7．已知扇形弧长为20
cm，圆心角为100°，则该扇形的面积为________cm2.[]
8．已知本次数学考试总时间为2小时，你在奋笔疾书沙沙答题，分针滴答滴答忙着转圈．现在经过了1小时，则此时分针转过的角的弧度数是 ﹣2π ．
9．下列命题正确的是（
）
A．第一象限的角都是锐角
B．小于的角是锐角
C．2019°是第三象限的角
D．2019°是第四象限的角
10．已知在半径为6的圆O中，弦AB的长为6，
（1）求弦AB所对圆心角α的大小；
（2）求α所在的扇形的弧长l以及扇形的面积S．
【能力提升】
11．（安徽省淮北师范大学附属实验中学2018-2019学年期末）下列说法正确的是（
）
A．钝角是第二象限角
B．第二象限角比第一象限角大
C．大于的角是钝角
D．是第二象限角
12．（山东省烟台市2018-2019学年期末）若某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径是（
）
A．
B．
C．
D．
13．（山东省潍坊市2018-2019学年期中）“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦尺，弓形高寸，则阴影部分面积约为（注：，，1尺=10寸）（
）
A．6.33平方寸
B．6.35平方寸
C．6.37平方寸
D．6.39平方寸
14．（2020?临汾模拟）刘徽（约公元225年一295年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一．他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形（如图所示），当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到sin3°的近似值为（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（2019秋?常德期末）《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积（弦乘矢+矢乘矢），弧田是由圆弧（简称为弧田的弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称（弧田的弦）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田的弦长，“矢”等于弧田的弧所在圆的半径与圆心到弧田的弦的距离之差．现有一弧田，其弦长AB等于，其弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式计算得该弧田的面积为，则∠AOB＝（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（多选题）下列条件中，能使和的终边关于轴对称的是（
）
A．
B．
C．
D．
E.
17．（多选题）设是第三象限角，则所在象限是（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
18．（2020·全国高一课时练习）（1）给出下列说法：
①锐角都是第一象限角；
②第一象限角一定不是负角；
③小于180°的角是钝角或直角或锐角.
其中正确说法的序号为________.(把正确说法的序号都写上)
（2）将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________.
19．（2020·浙江柯城·衢州二中高三一模）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB和其所对弦AB围成的图形，若弧田的弧AB长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB长是__________，弧田的面积是__________．
20．（2020·全国高一课时练习）已知扇形AOB的圆心角α为，半径长R为6，求：
（1）弧AB的长；
（2）扇形所含弓形的面积.
21．（2020·浙江高一课时练习）已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径为R.
（1）若，，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
（2）若扇形的周长为20
cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大?
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