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突破5.4
三角函数的图像与性质课时训练
【基础巩固】
1．函数y＝sin（1﹣x）的图象（ ）
A．关于直线x＝1对称
B．关于点（1，0）对称
C．关于x轴对称
D．关于y轴对称
2．若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f(－x)，则f＝( )
A．2或0
B．0
C．－2或0
D．－2或2[]
3．函数，的大致图像是（
）
A．
B．
C．
D．
4．函数的图像的一条对称轴方程为（）
A．
B．
C．
D．
5．函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（
）
A．
B．
C．
D．
6．函数的图象的大致形状是（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2020·镇原中学高一期末）若点是函数的图象的一个对称中心，且点到该图象的对称轴的距离的最小值为，则（
）
A．的最小正周期是
B．的值域为
C．的初相
D．在上单调递增
8．（多选题）函数的一个对称中心是（
）
A．
B．
C．
D．
9.（2020·浙江高三专题练习）（多选题）下列函数中，是奇函数的是（
）．
A．
B．，
C．，
D．
10．（2020·全国高考题）关于函数f（x）=有如下四个命题：
①f（x）的图像关于y轴对称．
②f（x）的图像关于原点对称．
③f（x）的图像关于直线x=对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
11．（2020·上海高一课时练习）函数，当_________时有最小值，最小值是___________.
12．（2020·陕西省汉中中学（理））已知函数的周期是.
（1）求的单调递增区间；
（2）求在上的最值及其对应的的值.
【能力提升】
13．（2020·山东任城?济宁一中高三一模）（多选题）函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．是函数的一条对称轴
D．是函数的对称轴心
14．（多选题）已知函数f(x)＝|Acos(x＋φ)＋1|的部分图象如图所示，则( )
A．φ＝
B．φ＝
C．A＝2
D．A＝3
15．（多选题）关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin
x|的叙述正确的是( )
A．f(x)是偶函数
B．f(x)在区间单调递增
C．f(x)在[－π，π]有4个零点
D．f(x)的最大值为2
16．函数y＝sin(ω>0)的图象在[0,2]上至少有三个最大值点，则ω的最小值为________．
17．（2020·上海高一课时练习）若函数的最大值为0，最小值为，则实数_________，________.
23.（2020·涡阳县第九中学高一月考）已知函数最小正周期为，图象过点.
（1）求函数解析式
（2）求函数的单调递增区间.
24．（2020·全国高三（文））(1)利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间的简图.
列表:
x
y
作图:
(2)并说明该函数图象可由的图象经过怎么变换得到的.
(3)求函数图象的对称轴方程.
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突破5.4
三角函数的图像与性质课时训练
【基础巩固】
1．函数y＝sin（1﹣x）的图象（ ）
A．关于直线x＝1对称
B．关于点（1，0）对称
C．关于x轴对称
D．关于y轴对称
【解答】解：对于函数y＝sin（1﹣x），令x＝1，可得y＝0，
故它的图象关于点（1，0）对称，故选：B．
2．若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f(－x)，则f＝( )
A．2或0
B．0
C．－2或0
D．－2或2[]
【答案】D
【解析】由f＝f(－x)得直线是f(x)图象的一条对称轴，所以f＝±2，故选D.[]
3．函数，的大致图像是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.结合正弦函数的图像可知B正确.
故选B.
4．函数的图像的一条对称轴方程为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】函数令，则，
当时，，故选B.
5．函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D.
6．函数的图象的大致形状是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
故则是偶函数，排除C、D，又当
故选：A.
7．（2020·镇原中学高一期末）若点是函数的图象的一个对称中心，且点到该图象的对称轴的距离的最小值为，则（
）
A．的最小正周期是
B．的值域为
C．的初相
D．在上单调递增
【答案】D
【解析】
由题意得，且函数的最小正周期为，
故.代入，得，
又，所以.
所以.
故函数的值域为，初相为.故A，B，C不正确，
当时，，而在上单调递增，所以在上单调递增，故正确.
故选：D.
8．函数的一个对称中心是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】
因为；；
；当时，
.
所以、是函数的对称中心.
故选：AD
9.（2020·浙江高三专题练习）下列函数中，是奇函数的是（
）．
A．
B．，
C．，
D．
【答案】ACD
【解析】
对A，由，定义域为，
且，
故函数为奇函数，故A正确
对B，由函数的定义域为，故该函数为非奇非偶函数，故B错
对C，，定义域关于原点对称，
且，故C正确
对D，的定义域为，
且，
故该函数为奇函数，故D正确
故选：ACD
10．（2020·全国高考题）关于函数f（x）=有如下四个命题：
①f（x）的图像关于y轴对称．
②f（x）的图像关于原点对称．
③f（x）的图像关于直线x=对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
【答案】②③
【解析】
对于命题①，，，则，
所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，，
，则，
所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；
对于命题④，当时，，则，
命题④错误.
故答案为：②③.
11．（2020·上海高一课时练习）函数，当_________时有最小值，最小值是___________.
【答案】
【解析】
当时，即，
可得，此时取得最小值；
此时，最小值为；
故答案为：
；
.
12．（2020·陕西省汉中中学（理））已知函数的周期是.
（1）求的单调递增区间；
（2）求在上的最值及其对应的的值.
【答案】（1）；（2）当时，；当时，.
【解析】
（1）解：∵,∴,
又∵,∴,∴,
∵,,
∴,,
∴,,
∴的单调递增区间为
（2）解：∵,∴,∴,
∴,
∴,
∴,
当时,,
当,即时,
【能力提升】
13．（2020·山东任城?济宁一中高三一模）函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．是函数的一条对称轴
D．是函数的对称轴心
【答案】ACD
【解析】由函数的图象有,则，即，所以，则A正确.
由图象可得，，
所以，即,由，
所以，即,所以B不正确.
所以函数的对称轴为：，即
当时，是函数的一条对称轴，所以C正确.
所以函数的对称中心满足：，即
所以函数的对称轴心为，，所以D正确.
故选：ACD
14．已知函数f(x)＝|Acos(x＋φ)＋1|的部分图象如图所示，则( )
A．φ＝
B．φ＝
C．A＝2
D．A＝3
解析：选BC 由题图知：A＝＝2.
又f(0)＝|2cos
φ＋1|＝2，
所以cos
φ＝或cos
φ＝－
(舍)，
因为|φ|<，即－<φ<，由图象知φ>0，
所以φ＝，故选B、C．
15．关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin
x|的叙述正确的是( )
A．f(x)是偶函数
B．f(x)在区间单调递增
C．f(x)在[－π，π]有4个零点
D．f(x)的最大值为2
解析：选AD ∵f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin
x|＝f(x)，∴f(x)是偶函数，故A正确；当x∈时，f(x)＝sin|x|＋|sin
x|＝2sin
x，f(x)在单调递减，故B错误；当x∈[0，π]时，令f(x)＝sin|x|＋|sin
x|＝2sin
x＝0，得x＝0或x＝π，又f(x)在[－π，π]上为偶函数，∴f(x)＝0在[－π，π]上的根为－π，0，π，有3个零点，故C错误；∵sin|x|≤1，|sin
x|≤1，当x＝＋2kπ(k∈N)或x＝－－2kπ(k∈N)时两等号同时成立，∴f(x)的最大值为2，故D正确．故选A、D.
16．函数y＝sin(ω>0)的图象在[0,2]上至少有三个最大值点，则ω的最小值为________．
解析：因为0≤x≤2，所以≤ωx＋≤2ω＋，要使函数y＝sin(ω>0)的图象在[0,2]上至少有三个最大值点，由三角函数的图象可得2ω＋≥，解得ω≥，即ω的最小值为.
答案：
17．（2020·上海高一课时练习）若函数的最大值为0，最小值为，则实数_________，________.
【答案】
【解析】
，
令，则，
函数的对称轴为，
当，即时，
当，即时，且，
此时方程组无解；
故答案为：.
23.（2020·涡阳县第九中学高一月考）已知函数最小正周期为，图象过点.
（1）求函数解析式
（2）求函数的单调递增区间.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）由已知得，解得.
将点代入解析式，，可知，
由可知，于是.
（2）令
解得，
于是函数的单调递增区间为.
24．（2020·全国高三（文））(1)利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间的简图.
列表:
x
y
作图:
(2)并说明该函数图象可由的图象经过怎么变换得到的.
(3)求函数图象的对称轴方程.
【答案】(1)见解析(2)
见解析(3)
.
【解析】
（1）先列表,后描点并画图
0
x
y
0
1
0
-1
0
；
（2）把的图象上所有的点向左平移个单位,
再把所得图象的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,得到的图象，即的图象；
（3）由，
所以函数的对称轴方程是.
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