上海市华东师大二附中2021届高三11月周考数学试卷10 PDF版含答案

2020-2021 学年上海市 华师大二附中 高 三 11 月 周 考数学试卷 102020.11
一 . 填空题
1． 若 ，且 ，则 ________________.
2．函数 的定义域为 ________________.
3．已知 ，那么 的值是 _____________.
4． 方程 , 实数解 为 _____________.
5．已知 为等差数列，其前 项和为 ，若 ， ，则公差 =__________.
6． 是 无穷数列， 已知 是二项式 的展开式各项系数的和，记 ，
则 ____________.
7．已知正方形 ABCD的边长为 1，点 E是 AB边上的动点， 的最大值为 __________.
8．△ 中，三内角 、 、 所对边的长分别为 、 、 ， 已知 ，不等式 的
解集为 ，则 ______.
9．从 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这 10个数中任意抽取三个数 ,其中仅有两个数是连续整数的概率是 _____.
10． 为 上的偶函数， 为 上的奇函数且过 ， ，则 _____.
11．曲线 C是平面内与两个定点 F1（ -1， 0）和 F2（ 1， 0）的距离的积等于常数 的点的轨迹 .给出下列三个
结论：① 曲线 C过坐标原点； ② 曲线 C关于坐标原点对称；③若点 P在曲线 C上，则△ F PF 的面积大于 ；
其中，所有正确结论的序号是 _____.
12．设等差数列 满足：公差 ， ，且 中任意两项之和也是该数列中的一项 ， 若 ，
则 的所有可能取值之和为 _____.
二 . 选择题
13． 设等比数列 的前 项和为 ， 则 “ ” 是 “ ” 的（）
（ A）充分而不必要条件 B）必要而不充分条件 （ C）充要条件 （ D）既不充分又不必要条件
14． 如图给出了一个程序框图，其作用是输入 x值，输出相应的 y值，若要使输入的 x值与输出的 y值相等，
则这样的 x值有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1


15．若点 和 都在直线 ： 上，则点 ， 和 的关系是
（ A） P和 Q 都在 上 （ B） P和 Q 都不在 上 （ C） P在 上， Q不在 上 （ D） P不在 上， Q在 上

16． 受全球金融危机和国家应对金融危机政策的影响，某公司 2020年一年
内每天的利润 Q（t）（万元）与时间 t（天）的关系如图所示，已知该公司
2020年的每天平均利润为 35万元，令 C（t）（万元）表示时间段 [0，t]内该
公司的平均利润，用图象描述 C（t）与 t之间的函数关系中较准确的是（ ）
A． B．




C． D．





17.如图，已知点 在圆柱 的底面圆 上， 为圆 的直径， ，
，三棱锥 的体积为 .
（ 1）求圆柱 的表面积；（ 2）求异面直线 与 所成角的大小 .
（结果用反三角函数值表示）

2


18.某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似地为半径是 R的圆
面 ；该圆面的内接四边形 ABCD是原棚户建筑用地，测量可知边界 AB＝AD＝4万米， BC＝6万米， CD＝2万米．
（1）请计算原棚户区建筑用地 ABCD的面积及圆面的半径 R的值；
（2）因地理条件的限制，边界 AD、DC不能变更，而边界 AB、BC可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，
请在圆弧 上设计一点 P；使得棚户区改造的新建筑用地 APCD的面积最大，并求最大值．








19.已知数列 {an}有 a1＝a，a2＝p（常数 p＞0），对任意的正整数 n，Sn＝a1+a2+…+an，并有 Sn满足 Sn＝ ．
（1）求 a的值；
（2）试确定数列 {an}是否是等差数列，若是，求出其通项公式，若不是，说明理由；
（3）对于数列 {bn}，假如存在一个常数 b使得对任意的正整数 n都有 bn＜b，且 bn＝b，则称 b为数列 {bn}
的“上渐近值”，令 pn＝ + ，求数列 {p1+p2+…+pn﹣2n}的“上渐近值”．




20. 已知椭圆 C以 F1（﹣2，0）、F2（2，0）为焦点，且经过点（﹣ ， ）．（1）求椭圆 C的方程；
（2）已知直线 l过点 P，且直线方向向量为 （ *
3，3），一组直线： l1，l2，…，ln，…，l2n（n∈N ）都与直线 l平行，
且与椭圆 C均有交点，它们到直线 l的距离依次为 d，2d，…，nd，…，2nd（d＞0），直线 ln恰好过椭圆 C的中心，
试用 n表示 d的关系式，并写出直线 li（i＝1，2，…，2n）的方程（用 n，l表示）．
（3）在（ 2）的条件下，当 i＝5时，直线 l5与椭圆 C相交于 A、B两点，若 AB＝ ，求 n的值．




3


21. 对于数列 A：a1，a2，a3（ai∈N，i＝1，2，3），定义“ T变换”： T将数列 A变换成数列 B：b1，b2，b3，其中
bi＝|ai﹣ai+1|（i＝1，2），且 b3＝|a3﹣a1|．这种“ T变换”记作 B＝T（A）．继续对数列 B进行“ T变换”，得到数列
C：c1，c2，c3，依此类推，当得到的数列各项均为 0时变换结束．
（1）试问 A：2，6，4经过不断的“ T变换”能否结束？若能，请依次写出经过“ T变换”得到的各数列；
若不能，说明理由；
（2）设 A：a1，a2，a3，B＝T（A）．若 B：b，2，a（a≥b），且 B的各项之和为 2012，求 a，b；
（3）若数列 B再经过 k次“ T变换”得到的数列各项之和最小，求 k的最小值，并说明理由．



































4

2020-2021 学年上海市华师大二附中 高三 11 月周考数学试卷 10 参考答案
一 . 填空题
7 1
1. -3-i 2. (0,1] 3. 3 4.
6???? 5. 2 6.
2
7
7. 1 8. 2√3 9.
15 10. -3 11.② 12.364
12. 解：设等差数列的公差为 d，若 5
a1＝3 ，＝243，则 an＝243+（n﹣1）d．
所以数列 {an}中任意两项之和 am+an＝243+（m﹣1）d+243+（n﹣1）d＝486+（m+n﹣2）d．
设任意一项为 ak＝243+（k﹣1）d．则由 am+an＝ak可得 243+（m+n﹣k﹣1）d＝0，化简可得 d＝ ．
再由 *
k，m，n，d∈N ，可得 k+1﹣m﹣n＝1，3，9，27，81，243，
∴d＝243，81，27，9，3，1，则 d的所有可能取值之和为 364，故答案为 364．
二 . 选择题 13. C 14. C 15. A 16. D
2
14.解：当 x≤2时， x ＝x，有 x＝0或 x＝1；当 2＜x≤5时， 2x﹣3＝x，有 x＝3；
当 x＞5时， x＝ ，x无解．故可知这样的 x值有 3个．故选： C．
16.解： 由已知函数图象可知在起初的几天，每天的平均利润均高于 35，故起初几天的平均利润应高于 35，排除 A，
∵再前 50天内，平均利润为正的天数多于为负的天数，且平均利润为负的函数值的绝对值较小，
∴在 [0，50]内平均利润应不会为负，排除 B、C，故选： D．
三 . 解答题
17. 解：（ 1）由题意，在△ AOP中， OA＝OP＝2，∠AOP＝120°，所以 ，
在△ BOP中， OB＝OP＝2，∠BOP＝60°，所以 BP＝2，
∴ ＝ ，解得 AA1＝4，
故 ．
（2）取 AA1中点 Q，连接 OQ，PQ，则 OQ∥A1B，
得∠ POQ或它的补角为异面直线 A1B与 OP所成的角．
又 ，AQ＝AO＝2，得 ，PQ＝4，由余弦定理得 ，
得异面直线 A1B与 OP所成的角为 ．
18.解：（ 1）因为四边形 ABCD内接于圆，所以∠ ABC+∠ADC＝180°，连接 AC，
由余弦定理： 2 2 2
AC ＝4 +6 ﹣2×4×6×cos∠ABC＝ 2 2
4 +2 ﹣2×2×4cos∠ADC、
所以 cos∠ABC＝ ，∵∠ABC∈（0，π），故∠ ABC＝60°．
S四边形 ABCD＝ ×4×6×sin60°+ ×2×4×sin120°＝8 （万平方米）．
5

在△ 2 2 2
ABC中，由余弦定理： AC ＝AB +BC ﹣2AB?BC?cos∠ABC＝16+36﹣2×4×6× ．AC＝2 ．
由正弦定理 ＝ ＝2R，∴2R＝ ＝ ＝ ，∴R＝ （万米）．
（2）∵S四边形 APCD＝S△ADC+S△APC，又 S△ADC＝ AD?CD?sin120°＝2 ，
设 AP＝x，CP＝y．则 S△APC＝ xy?sin60°＝ xy．
又由余弦定理 2 2 2 2 2
AC ＝x +y ﹣2xycos60°＝x +y ﹣xy＝28．
∴ 2 2
x +y ﹣xy≥2xy﹣xy＝xy．∴xy≤28，当且仅当 x＝y时取等号
∴S四边形 APCD＝2 + xy≤2 + ×28＝9 ，∴最大面积为 9 万平方米．
19. 解：（ 1）∵Sn＝ ，∴a1＝ ＝0，∴a1＝a＝0；
（2）由（ 1）可知 an＝Sn﹣Sn﹣1＝ ，∴an＝ an﹣1，
∴an＝ ? ?…? ? ?a2＝（n﹣1）p，∴数列 {an}是以 0为首项、 p为公差的等差数列；
（3）由（ 2）可知 Sn＝ ＝ ，∴pn＝ + ＝ + ＝2+2（ ﹣ ），
∴p1+p2+…+pn﹣2n＝2（1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ + ﹣ ）
＝2（1+ ﹣ ﹣ ）＝3﹣2（ + ）＜3，
∵ （p1+p2+…+pn﹣2n）＝3， ∴数列 {p1+p2+…+pn﹣2n}的“上渐近值”为 3．
20. 解：（ 1）∵椭圆 C以 F1（﹣2，0）、F2（2，0）为焦点，且经过点（﹣ ， ），
∴ 2
2a＝|PF1|+|PF2|＝2 ，解得 a＝ ，∵c＝2，∴b ＝10﹣4＝6，∴椭圆 C的方程 ．
（2）∵直线 l的方程为 ，整理，得 x﹣y+4＝0．
直线 ln∥l且过椭圆的中心，∴直线 ln的方程为 x﹣y＝0，由题意知直线 ln到直线 l的距离为 nd，即 ，
∴d＝ ， *
n∈N ，设直线 li（i＝1，2，…，2n）的方程为 x﹣y+ci＝0，
它们与椭圆 C： 相交，消去 y，得 ，
，解得﹣ 4＜ci＜4，
6

由题意知：直线 li（i＝1，2，…，2n）到 l的距离为 id，∴ ，
∴直线 li（i＝1，2，…，2n）的方程为 x﹣y+4（1﹣ ）＝0．
（3）由题意知 ，由 ，得 ，
设直线 l5与椭圆 C的交点为 A（x1，y1），B（x2，y2），
则 ， ，∴ ，解得 n＝10，或 n＝﹣10（舍），
经检验， n＝10．
21. 解： （1）数列 A：2，6，4不能结束，各数列依次为 4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2；…．
以下重复出现，所以不会出现所有项均为 0的情形．
（2）因为 B的各项之和为 2012，且 a≥b，所以 a为 B的最大项，所以 |a1﹣a3|最大，
即 a1≥a2≥a3，或 a3≥a2≥a1．…（5分）当 a1≥a2≥a3时，可得
由 a+b+2＝2012，得 2（a1﹣a3）＝2012，即 a＝1006，故 b＝1004．
当 a3≥a2≥a1时，同理可得 a＝1006，b＝1004．
（3）方法一： 由 B：b，2，b+2，则 B经过 6次“ T变换”得到的数列分别为： b﹣2，b，2；2，b﹣2，b﹣4；b﹣
4，2，b﹣6；b﹣6，b﹣8，2；2，b﹣10，b﹣8；b﹣12，2，b﹣10．
由此可见，经过 6次“ T变换”后得到的数列也是形如“ b，2，b+2”的数列，与数列 B“结构”完全相同，
但最大项减少 12．因为 1006＝12×83+10，所以，数列 B经过 6×83＝498次“ T变换”后得到的数列为 8，2，10．
接下来经过“ T 变换”后得到的数列分别为： 6，8，2；2，6，4；4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，
2，…
从以上分析可知，以后重复出现，所以数列各项和不会更小．
所以经过 498+4＝502次“ T变换”得到的数列各项和最小， k的最小值为 502．…（13分）
方法二： 若一个数列有三项，且最小项为 2，较大两项相差 2，则称此数列与数列 B“结构相同”．
若数列 B的三项为 x+2，x，2（x≥2），则无论其顺序如何，经过“ T变换”得到的数列的三项为 x，x﹣2，2
（不考虑顺序）．所以与 B结构相同的数列经过“ T变换”得到的数列也与 B结构相同，除 2外其余各项减少 2，
各项和减少 4．
因此，数列 B：1004，2，1006经过 502次“ T变换”一定得到各项为 2，0，2（不考虑顺序）的数列．
通过列举，不难发现各项为 0，2，2的数列，无论顺序如何，经过“ T变换”得到的数列会重复出现，
各项和不再减少．所以，至少通过 502次“ T变换”，得到的数列各项和最小，故 k的最小值为 502．
7