中小学教育资源及组卷应用平台
第二十四章
圆【过关测试】
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，现有一个圆心角为90°，半径为8cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为（?
??）
A．2cm
B．3cm
C．4cm
D．1cm
【答案】A
【解析】
试题分析：本题的关键是利用弧长公式计算弧长，再利用底面周长=展开图的弧长可得．
解答：解：L=,
解R=2cm．
故选
A.
考点:
弧长的计算．
2．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(
)
A．正三角形
B．平行四边形
C．正五边形
D．正六边形
【答案】D
【解析】
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
A.
是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
B.
不是轴对称图形，是中心对称图形，故错误；
C.
是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
D.
是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确.
故答案选：D.
【点评】本题考查的知识点是中心对称图形，
轴对称图形，解题的关键是熟练的掌握中心对称图形，
轴对称图形.
3．如图1，⊙O内切于△ABC，切点为D，E，F，已知∠B=50°，∠C=60°，连结OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于（
）
A．40°
B．55°
C．65°
D．70°
【答案】B
【解析】
【分析】
由三角形内角和定理求出∠A=70°，然后根据切线的性质求得∠OEA=∠OFA=90°，再利用四边形内角和求得∠EOF=360°-∠A-∠OEA-∠OFA=110°，最后利用圆周角定理求解.
【详解】
解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠B=50°，∠C=60°，
∴∠A=70°，
∵⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，
∴∠OEA=∠OFA=90°，
∴∠EOF=360°-∠A-∠OEA-∠OFA=110°，
∴∠EDF=∠EOF=55°．
故选B．
【点评】本题考查三角形的内切圆与内心；三角形内角和定理；多边形内角与外角；圆周角定理，熟练掌握相关定理综合应用是本题的解题关键．
4．将绕点旋转得到，则下列作图正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.
【详解】
解：观察选项中的图形，只有D选项为△ABO绕O点旋转了180°.
【点评】本题考察了旋转的定义.
5．下列叙述的运动属于旋转的是（
）
A．运动员在米跑道上赛跑
B．竖直下落的石子
C．电风扇启动后，它的叶子的运动
D．静止的车轮
【答案】C
【解析】
【分析】
根据旋转的定义，即可解答．
【详解】
A、运动员在100米跑道上赛跑，是平移不是旋转，故错误；
B、竖直下落的石子，是平移不是旋转，故错误；
C、电风扇启动后，它的叶子的运动，是旋转，故正确；
D、静止的车轮，不是旋转，故错误；
故选C．
【点评】本题考查了旋转的定义，解决本题的关键是熟记旋转的定义．
6．如图⊙O的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为（
）
A．
B．4
C．
D．8
【答案】C
【解析】
【详解】
∵直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE=CD，
∵∠A=22.5°，
∴∠BOC=45°，
∴OE=CE，
设OE=CE=x，
∵OC=4，
∴x2+x2=16，
解得：x=2，
即：CE=2，
∴CD=4，
故选C．
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质和圆周角定理可得出答案.
【详解】
根据平行四边形的性质可知∠B=∠AOC，
根据圆内接四边形的对角互补可知∠B+∠D=180°，
根据圆周角定理可知∠D=∠AOC，
因此∠B+∠D=∠AOC+∠AOC=180°，
解得∠AOC=120°，
因此∠ADC=60°．
故选C
【点评】该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用．
8．如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=（ ）
A．55°
B．110°
C．120°
D．125°
【答案】D
【解析】
分析：根据圆周角定理进行求解．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
详解：根据圆周角定理，得
∠ACB=（360°-∠AOB）=×250°=125°．
故选D．
点评：此题考查了圆周角定理．
注意：必须是一条弧所对的圆周角和圆心角之间才有一半的关系．
9．如图，点，，都在上，若，则为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
直接根据圆周角定理求解．
【详解】
∵∠C=34°，
∴∠AOB=2∠C=68°．
故选：D．
【点评】此题考查圆周角定理，解题关键在于掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为（ ）
A．30°
B．60°
C．90°
D．150°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据直角三角形两锐角互余求出∠A=60°，根据旋转的性质可得AC=A′C，然后判断出△A′AC是等边三角形，根据等边三角形的性质求出∠ACA′=60°，然后根据旋转角的定义解答即可．
【详解】
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠A=90°-30°=60°，
∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C时点A′恰好落在AB上，
∴AC=A′C，
∴△A′AC是等边三角形，
∴∠ACA′=60°，
∴旋转角为60°．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形两锐角互余，等边三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
11．如图，蒙古包可近似看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2，
圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（?
）
A．(30+5)πm2
B．40πm2
C．(30+5)πm2
D．55πm2
【答案】A
【解析】
【分析】
利用圆的面积得到底面圆的半径为
5
，再利用勾股定理计算出母线长，
接着根据圆锥的侧面展开图为一扇形和圆柱的侧面展开图为矩形计算它们的侧面积，
最后求它们的和即可
．
【详解】
设底面圆的半径为R，
则，解得R=5，
圆锥的母线长，
所以圆锥的侧面积；
圆柱的侧面积，
所以需要毛毡的面积=(30+5)
πm2．
故选．
【点评】考查了圆锥的计算：
圆锥的侧面展开图为一扇形，
这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，
扇形的半径等于圆锥的母线长
．
12．已知四个半圆彼此相外切，它们的圆心都在x轴的正半轴上并且与直线y=x相切，设半圆C1、C2、C3、C4的半径分别是r1、r2、r3、r4
，
则当r1=1时，r4=（ ）
A．3
B．32
C．33
D．34
【答案】C
【解析】
【分析】
设三个半圆与直线y=x分别相切于A、B、C点，分别连接圆心与切点，根据切线的性质得到三个直角三角形，再由直线OC的方程得到直线的倾斜角为30°，根据30°角所对直角边等于斜边的一半得到OC1=2C1A，OC2=2C2B，OC3=2C3C，再由三半圆彼此外切，得到相两圆的圆心距等于两半径相加，得出r1、r2、r3间的关系，由r1的值可得出r2、r3的值，按照此规律可归纳出r4的值．
【详解】
设半圆C1、半圆C2、半圆C3直线y=x分别相切于点A,B,C,连接C1A,C2B,C3C，
则C1A⊥OA,C2B⊥OB,C3C⊥OC，
∵tan∠COC1=，
∴∠COC1=30°，
又∵三半圆彼此相外切，
∴OC1=2C1A=2r1,OC2=2C2B=2r2=OC1+r1+r2=3r1+r2,OC3=2C3C=OC2+r2+r3=3r1+2r2+r3=2r3，
∴2r2=3r1+r2,3r1+2r2+r3=2r3，
∴r2=3r1,r3=3r1+2r2，
∵r1=1=30，
∴r2=3=31，
∴r3=9=32，
∴按此规律归纳得：rn=3n?1，
∴r4=33.
故答案选：C.
【点评】本题考查的知识点是圆的综合题，解题的关键是熟练的掌握圆的综合题.
二、填空题
13．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1＋S2等_________．
【答案】
【解析】
试题解析：
所以
故答案为
14．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（﹣6，0），C（0，2）．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为_____．
【答案】（-2，6）
【解析】
分析：连接OB1，作B1H⊥OA于H，证明△AOB≌△HB1O，得到B1H=OA=6，OH=AB=2，得到答案．
详解：连接OB1，作B1H⊥OA于H，
由题意得，OA=6，AB=OC-2，
则tan∠BOA=，
∴∠BOA=30°，
∴∠OBA=60°，
由旋转的性质可知，∠B1OB=∠BOA=30°，
∴∠B1OH=60°，
在△AOB和△HB1O，
，
∴△AOB≌△HB1O，
∴B1H=OA=6，OH=AB=2，
∴点B1的坐标为（-2，6），
故答案为（-2，6）．
点评：本题考查的是矩形的性质、旋转变换的性质，掌握矩形的性质、全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，若∠P＝40°，则∠ADC＝____°．
【答案】115°
【解析】
【分析】
根据过C点的切线与AB的延长线交于P点，∠P=40°，可以求得∠OCP和∠OBC的度数，又根据圆内接四边形对角互补，可以求得∠D的度数，本题得以解决．
【详解】
解：连接OC，如右图所示，
由题意可得，∠OCP=90°，∠P=40°，
∴∠COB=50°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=65°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠D+∠ABC=180°，
∴∠D=115°，
故答案为：115°．
【点评】本题考查切线的性质、圆内接四边形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
16．如图所示，在的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位长），的半径为1，的半径为2，要使与静止的内切，那么由图示位置需向右平移______个单位长.
【答案】4或6
【解析】
【分析】
由⊙A的半径为1，⊙B的半径为2，要使⊙A与静止的⊙B内切，可得需AB=2-1=1，则可求得⊙A由图示位置需向右平移的单位长度．
【详解】
∵⊙A的半径为1，⊙B的半径为2，
∴要使⊙A与静止的⊙B内切，
需AB=2-1=1，
∴⊙A由图示位置需向右平移的单位长为4或6
故填：4或6.
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是注意掌握两圆位置关系与圆心距、两圆半径的数量关系间的联系.
17．如图，P是正方形ABCD内一点,将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBE重合,若PB=3,则PE
=________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据旋转不变性，可得BP＝BE，∠PBE＝90°，进而根据勾股定理可得PE的值．
【详解】
根据题意将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBE重合，
结合旋转的性质可得BP＝BE，∠PBE＝90°，
根据勾股定理，可得PE＝；
故答案为.
【点评】此题考查了同学们的阅读分析能力和应用数学知识解决实际问题的能力，根据旋转不变性，得到∠PBE＝90°，是解答此题的关键．
18．如图，扇形OAB中，∠AOB＝60°，扇形半径为4，点C在弧AB上，CD⊥OA，垂足为点D，当△OCD的面积最大时，图中阴影部分的面积为_____．
【答案】2π－4
【解析】
【分析】
由OC＝4，点C在上，CD⊥OA，求得DC＝＝，运用S△OCD＝OD，求得OD＝时△OCD的面积最大，运用阴影部分的面积＝扇形AOC的面积－△OCD的面积求解．
【详解】
∵OC＝4，点C在上，CD⊥OA，∴DC＝＝，∴S△OCD＝OD，∴S△OCD2＝OD2（16－OD2）＝－OD4＋4OD2＝－（OD2－8）2＋16，∴当OD2＝8，即OD＝2时△OCD的面积最大，∴DC＝＝＝2，∴∠COA＝45°，∴阴影部分的面积＝扇形AOC的面积－△OCD的面积＝－4＝2π－4，故答案为2π－4.
【点评】本题主要考查了扇形的面积，勾股定理，解题的关键是求出OD＝2时△OCD的面积最大．
三、解答题
19．如图，在平面直角坐标系中，为原点，点坐标为，点坐标为，以为直径的圆与轴的负半轴交于点．
（1）求图象经过，，三点的抛物线的解析式；
（2）设点为所求抛物线的顶点，试判断直线与的关系，并说明理由．
【答案】（1）（2）直线与相切，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）已知A、B两点的坐标，要求抛物线的解析式，即要求点C的坐标，由相似三角形的判定与性质求出OC的长度，即可求出点C的坐标；（2）根据抛物线解析式求出点M的坐标，分别求出MP、CP、CM的长度，利用勾股定理逆定理判定△CPM为直角三角形，从而得出PC⊥MC，所以直线MC与⊙P相切.
【详解】
解：（1）连接AC、BC；
∵AB是⊙P的直径，
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠BCO=90°，
∵∠BCO+∠CBO=90°，
∴∠CBO=∠ACO，
∵∠AOC=∠BOC=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴=，
∴OC2=OA·OB=16，
∴OC=4，
故C(0，﹣4)，
设抛物线的解析式为：y=a(x+8)(x﹣2)，
代入C点坐标得：a(0+8)(0﹣2)=﹣4，a=，
故抛物线的解析式为：y=(x+8)(x﹣2)=+x﹣4；
(2)由(1)知：y=+x﹣4=﹣；
则M(﹣3，﹣)，
又∵C(0，?﹣4)，P(﹣3，?0)，
∴MP=，PC=5，MC=，
∴MP2=MC2+PC2，即△MPC是直角三角形，且∠PCM=90°，
故直线MC与⊙P相切．
【点评】本题主要考查二次函数解析式的求解、直线与圆相切的证明方法以及勾股定理逆定理的应用.
20．如图,☉O是正五边形ABCDE的外接圆,F是的中点,连接CF,EF.
(1)请直接写出∠CFE=
°;?
(2)求证:EF=CF;
(3)若☉O的半径为5,求的长.
【答案】（1）72°；（2）详见解析；（3）3π.
【解析】
【分析】
（1）根据圆内接四边形的性质和正五边形的内角解答即可；
（2）利用正五边形的性质和弧长关系证明即可；
（3）利用弧长公式解答即可．
【详解】
解:
（1）∵正五边形ABCDE，
∴∠EDC＝108°，
∴∠CFE＝180°?108°＝72°，
故答案为72°.
(2)∵五边形ABCDE是正五边形,∴AE=BC,∴,
又∵F是的中点,∴,
∴,∴,∴EF=CF.
(3)∵☉O是正五边形ABCDE的外接圆,
∴,
∵R=5,∴×2πR=2π,
又∵=π,∴=3π.
【点评】本题考查了正多边形与圆，解题关键是根据圆内接四边形的性质和正五边形的性质解答．
21．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点H是△ABC的内心，AH的延长线和三角形ABC的外接圆O相交于点D，连结DB．
（1）求证：DH＝DB；
（2）过点D作BC的平行线交AC、AB的延长线分别于点E、F，已知CE＝1，圆O的直径为5．
①求证：EF为圆O的切线；
②求DF的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析，②DF＝．
【解析】
【分析】
（1）先判断出∠DAC=∠DAB，∠ABH=∠CBH，进而判断出∠DHB=∠DBH，即可得出结论；
（2）①先判断出OD∥AC，进而判断出OD⊥EF，即可得出结论；
②先判断出△CDE≌△BDG，得出GB=CE=1，再判断出△DBG∽△ABD，求出DB2=5，即DB=，DG=2，进而求出AE=AG=4，最后判断出△OFD∽△AFE即可得出结论．
【详解】
（1）证明：连接HB，
∵点H是△ABC的内心，
∴∠DAC＝∠DAB，∠ABH＝∠CBH，
∵∠DBC＝∠DAC，
∴∠DHB＝∠DAB+∠ABH＝∠DAC+∠CBH，
∵∠DBH＝∠DBC+∠CBH，
∴∠DHB＝∠DBH，
∴DH＝DB；
（2）①连接OD，
∵∠DOB＝2∠DAB＝∠BAC
∴OD∥AC，
∵AC⊥BC，BC∥EF，
∴AC⊥EF，
∴OD⊥EF，
∵点D在⊙O上，
∴EF是⊙O的切线；
②过点D作DG⊥AB于G，
∵∠EAD＝∠DAB，
∴DE＝DG，
∵DC＝DB，∠CED＝∠DGB＝90°，
∴△CDE≌△BDG，
∴GB＝CE＝1，
在Rt△ADB中，DG⊥AB，
∴∠DAB＝∠BDG，
∵∠DBG＝∠ABD，
∴△DBG∽△ABD，
∴，
∴DB2＝AB?BG＝5×1＝5，
∴DB＝，DG＝2，
∴ED＝2，
∵H是内心，
∴AE＝AG＝4，
∵DO∥AE，
∴△OFD∽△AFE，
∴，
∴，
∴DF＝．
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了三角形内心，圆的有关性质，相似三角形的判定和性质，切线的判定，平行线的性质和判定，求出DB是解本题的关键．
22．如图，△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，将△ABC绕着点C顺时针旋转α°（0≤α≤90°），得到△EFC，EF与AB、AC相交于点D、H，FC与AB相交于点G、AC相交于点D、H，FC与AB相较于点G．
（1）求证：△GBC≌△HEC；
（2）在旋转过程中，四边形BCED可以是某种特殊的平行四边形？并说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）当α=45°时，四边形BCED为菱形，理由详见解析.
【解析】
【分析】
（1）先判断△ABC为等腰直角三角形得到∠A=∠B=45°，再根据旋转的性质得∠BCF=∠ACE=α，∠E=∠A=45°，CA=CE=CB，于是可根据“ASA”判断△GBC≌△HEC；
（2）当α=45°时，如图，根据旋转的性质得∠BCF=∠ACE=45°，则可计算出∠BCE=∠BCA+∠ACE=135°，所以∠B+∠BCE=180°，∠E+∠BCE=180°，所以BD∥CE，BC∥DE，于是可判断四边形BCED为平行四边形，加上CB=CE，则可判断四边形BCED为菱形．
【详解】
（1）证明：∵BC=AC，∠ACB=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=45°，
∵△ABC绕着点C顺时针旋转α°（0≤α≤90°），得到△EFC，
∴∠BCF=∠ACE=α，∠E=∠A=45°，CA=CE=CB，
在△GBC和△HEC中
，
∴△GBC≌△HEC；
（2）解：当α=45°时，四边形BCED为菱形．理由如下：
如图，∵∠BCF=∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°+45°=135°，
而∠E=∠B=45°，
∴∠B+∠BCE=180°，∠E+∠BCE=180°，
∴BD∥CE，BC∥DE，
∴四边形BCED为平行四边形，
∵CB=CE，
∴四边形BCED为菱形．
【点评】本题考查的知识点是旋转的性质,
全等三角形的判定与性质,
菱形的判定，解题的关键是熟练的掌握旋转的性质,
全等三角形的判定与性质,
菱形的判定.
23．如图，点P是⊙O外一点，过点P作⊙O的切线，切点为A，连接PO并延长，交⊙O于B、C两点．
（1）求证：△PBA∽△PAC；
（2）若∠BAP=30°，PB=2，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明见解析（2）2
【解析】
【分析】
（1）利用弦切角定理可以证明：∠PAB=∠C，则△PBA和△PAC中有两个角对应相等，则一定相似；
（2）易证△OAB是等边三角形，再证明AB=BP，即可求解．
【详解】
（1）证明：∵PA作⊙O的切线，切点为A，
∴∠PAB=∠C，
又∵∠P=∠P，
∴△PBA∽△PAC；
（2）∵PA作⊙O的切线，切点为A，
∴∠OAP=90°，
∵∠BAP=30°，
∴∠OAB=60°，
∵OA=OB，
∴∠ABO=60°，
∴∠P=30°
∴∠AOB=90°﹣∠P=90°﹣30°=60°．
∵OA=OB
∴△OAB是等边三角形．
∴OB=AB．
∵PA作⊙O的切线，切点为A，
∴∠PAB=∠AOB=30°，
∴∠PAB=∠P，
∴AB=BP
∴OB=AB=BP=2．
【点评】本题考查了弦切角定理，切线的性质定理，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
24．如图1，△ABC和△DEF中，AB=AC，DE=DF，∠A=∠D．
（1）求证：；
（2）由（1）中的结论可知，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值也就确定，我们把这个比值记作T(A)，即，如T(60°)=1.
①理解巩固：T(90°)=
，T(120°)=
，若α是等腰三角形的顶角，则T(α)的取值范围是
；
②学以致用：如图2，圆锥的母线长为9，底面直径PQ=8，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长（精确到0.1）．
（参考数据：T(160°)≈1.97，T(80°)≈1.29，T(40°)≈0.68）
【答案】（1）证明见解析；（2），，0＜T（α）＜2；
11.6
【解析】
【详解】
试题分析：（1）证明△ABC∽△DEF，根据相似三角形的性质解答即可；
（2）①根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可；
②根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，得到扇形的圆心角，根据T（A）的定义解答即可．
试题解析：（1）∵AB=AC，DE=DF，
∴，
又∵∠A=∠D，
∴△ABC∽△DEF，
∴；
（2）①如图1，∠A=90°，AB=AC，
则，
∴T（90°）=，
如图2，∠A=120°，AB=AC，
作AD⊥BC于D，
则∠B=30°，
∴BD=AB，
∴BC=
AB，
∴T（120°）=
∵AB-AC＜BC＜AB+AC，
∴0＜T（α）＜2，
②∵圆锥的底面直径PQ=8，
∴圆锥的底面周长为8π，即侧面展开图扇形的弧长为8π，
设扇形的圆心角为n°，
则=8π，
解得，n=160，
∵T（80°）≈1.29，
∴蚂蚁爬行的最短路径长为1.29×9≈11.6．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及T（A）的定义，正确理解T（A）的定义、掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
25．如图，形如量角器的半圆的直径，形如三角板的中，，，，半圆以的速度从左向右运动，在运动过程中，点、始终在直线上，设运动时间为，当时，半圆在的左侧，．
当时，点在半圆________，当时，点在半圆________；
当为何值时，的边与半圆相切？
当为何值时，的边与半圆相切？
【答案】（1）外，外；（2）2或14；（3）8或32.
【解析】
【分析】
（1）计算出AC的长度，与半圆O的半径比较即可；（2）分情况画出图形，根据直线与圆相切的性质、特殊角的三角函数值求出点O运动的距离，进而求出时间t；（3）分情况画出图形，根据直线与圆相切的性质、特殊角的三角函数值求出点O运动的距离，进而求出时间t.
【详解】
（1）AC=BC·tan30°=12×=4＞6，
∴t无论为何值，点A始终在半圆O外，
∴当t=0(s)时，点A在半圆O外，当t=8(s)时，点A在半圆O外；
（2）①如图，半圆O位于AC左侧时，
OC=6cm，t=（8﹣6）÷1=2（s）；
②如图，半圆O位于AC右侧时，
OC=6cm，t=（8+6）÷1=14（s）；
∴当t=2或14时，△ABC的边AC与半圆O相切；
（3）①如图，半圆O与AB相切于点F，连接OF，
∴OF⊥AB，
∵OF=6cm，∠ABC=30°，
∴BO==12cm，
∴点O与点C重合，
∴t=8÷1=8（s）；
②如图，半圆O与AB的延长线相切于点Q，连接OQ，
∵∠OBQ=∠ABC=30°，OQ=6cm，
∴BO==12cm，
∴t=（12+12+8）÷1=32（s）.
∴当t=8或32时，△ABC的边AB与半圆O相切；
【点评】本题主要考查圆与直线的位置关系以及特殊角的三角函数，注意分类讨论，不能漏解.
26．如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC、OC、BC
（1）求证：∠ACO＝∠BCD；
（2）若EB＝8cm，CD＝24cm，求⊙O的面积．（结果保留π）
【答案】（1）见解析；（2）169π（cm2）．
【解析】
【分析】
（1）根据垂径定理，即可得＝，根据同弧所对的圆周角相等，证出∠BAC＝∠BCD，再根据等边对等角，即可得到∠BAC＝∠ACO，从而证出∠ACO＝∠BCD；
（2）根据垂径定理和勾股定理列出方程，求出圆的半径，即可求出圆的面积.
【详解】
解：（1）∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴＝．
∴∠BAC＝∠BCD．
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠ACO．
∴∠ACO＝∠BCD；
（2）∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE＝CD＝×24＝12（cm）．
在Rt△COE中，设CO为r，则OE＝r﹣8，
根据勾股定理得：122+（r﹣8）2＝r2
解得r＝13．
∴S⊙O
＝π×132＝169π（cm2）．
【点评】此题考查的是垂径定理、等腰三角形的性质、圆周角定理推论和求圆的面积，掌握垂径定理和勾股定理的结合是解决此题的关键.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第二十四章
圆【过关测试】
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，现有一个圆心角为90°，半径为8cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为（?
??）
A．2cm
B．3cm
C．4cm
D．1cm
2．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(
)
A．正三角形
B．平行四边形
C．正五边形
D．正六边形
3．如图1，⊙O内切于△ABC，切点为D，E，F，已知∠B=50°，∠C=60°，连结OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于（
）
A．40°
B．55°
C．65°
D．70°
4．将绕点旋转得到，则下列作图正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．下列叙述的运动属于旋转的是（
）
A．运动员在米跑道上赛跑
B．竖直下落的石子
C．电风扇启动后，它的叶子的运动
D．静止的车轮
6．如图⊙O的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为（
）
A．
B．4
C．
D．8
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为(
)
A．
B．
C．
D．
8．如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=（ ）
A．55°
B．110°
C．120°
D．125°
9．如图，点，，都在上，若，则为（
）
A．
B．
C．
D．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为（ ）
A．30°
B．60°
C．90°
D．150°
11．如图，蒙古包可近似看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2，
圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（?
）
A．(30+5)πm2
B．40πm2
C．(30+5)πm2
D．55πm2
12．已知四个半圆彼此相外切，它们的圆心都在x轴的正半轴上并且与直线y=x相切，设半圆C1、C2、C3、C4的半径分别是r1、r2、r3、r4
，
则当r1=1时，r4=（ ）
A．3
B．32
C．33
D．34
二、填空题
13．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1＋S2等_________．
14．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（﹣6，0），C（0，2）．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为_____．
15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，若∠P＝40°，则∠ADC＝____°．
16．如图所示，在的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位长），的半径为1，的半径为2，要使与静止的内切，那么由图示位置需向右平移______个单位长.
17．如图，P是正方形ABCD内一点,将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBE重合,若PB=3,则PE
=________.
18．如图，扇形OAB中，∠AOB＝60°，扇形半径为4，点C在弧AB上，CD⊥OA，垂足为点D，当△OCD的面积最大时，图中阴影部分的面积为_____．
三、解答题
19．如图，在平面直角坐标系中，为原点，点坐标为，点坐标为，以为直径的圆与轴的负半轴交于点．
（1）求图象经过，，三点的抛物线的解析式；
（2）设点为所求抛物线的顶点，试判断直线与的关系，并说明理由．
20．如图,☉O是正五边形ABCDE的外接圆,F是的中点,连接CF,EF.
(1)请直接写出∠CFE=
°;?
(2)求证:EF=CF;
(3)若☉O的半径为5,求的长.
21．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点H是△ABC的内心，AH的延长线和三角形ABC的外接圆O相交于点D，连结DB．
（1）求证：DH＝DB；
（2）过点D作BC的平行线交AC、AB的延长线分别于点E、F，已知CE＝1，圆O的直径为5．
①求证：EF为圆O的切线；
②求DF的长．
22．如图，△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，将△ABC绕着点C顺时针旋转α°（0≤α≤90°），得到△EFC，EF与AB、AC相交于点D、H，FC与AB相交于点G、AC相交于点D、H，FC与AB相较于点G．
（1）求证：△GBC≌△HEC；
（2）在旋转过程中，四边形BCED可以是某种特殊的平行四边形？并说明理由．
23．如图，点P是⊙O外一点，过点P作⊙O的切线，切点为A，连接PO并延长，交⊙O于B、C两点．
（1）求证：△PBA∽△PAC；
（2）若∠BAP=30°，PB=2，求⊙O的半径．
24．如图1，△ABC和△DEF中，AB=AC，DE=DF，∠A=∠D．
（1）求证：；
（2）由（1）中的结论可知，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值也就确定，我们把这个比值记作T(A)，即，如T(60°)=1.
①理解巩固：T(90°)=
，T(120°)=
，若α是等腰三角形的顶角，则T(α)的取值范围是
；
②学以致用：如图2，圆锥的母线长为9，底面直径PQ=8，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长（精确到0.1）．
（参考数据：T(160°)≈1.97，T(80°)≈1.29，T(40°)≈0.68）
25．如图，形如量角器的半圆的直径，形如三角板的中，，，，半圆以的速度从左向右运动，在运动过程中，点、始终在直线上，设运动时间为，当时，半圆在的左侧，．
当时，点在半圆________，当时，点在半圆________；
当为何值时，的边与半圆相切？
当为何值时，的边与半圆相切？
26．如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC、OC、BC
（1）求证：∠ACO＝∠BCD；
（2）若EB＝8cm，CD＝24cm，求⊙O的面积．（结果保留π）
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
