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第二十四章
圆【真题训练】
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
试题分析：A、最小旋转角度==120°；
B、最小旋转角度==90°；
C、最小旋转角度==180°；
D、最小旋转角度==72°；
综上可得：顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是A．
故选A．
考点：旋转对称图形．
2．如图⊙O的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为（
）
A．
B．4
C．
D．8
【答案】C
【解析】
【详解】
∵直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE=CD，
∵∠A=22.5°，
∴∠BOC=45°，
∴OE=CE，
设OE=CE=x，
∵OC=4，
∴x2+x2=16，
解得：x=2，
即：CE=2，
∴CD=4，
故选C．
3．数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（
）
A．勾股定理
B．直径所对的圆周角是直角
C．勾股定理的逆定理
D．90°的圆周角所对的弦是直径
【答案】B
【解析】
【分析】
由作图痕迹可以看出AB是直径，∠ACB是直径所对的圆周角，即可作出判断．
【详解】
由作图痕迹可以看出O为AB的中点，以O为圆心，AB为直径作圆，然后以B为圆心BC=a为半径花弧与圆O交于一点C，故∠ACB是直径所对的圆周角，所以这种作法中判断∠ACB是直角的依据是：直径所对的圆周角是直角．
故选B．
【点评】本题主要考查了尺规作图以及圆周角定理的推论，能够看懂作图过程是解决问题的关键．
4．如图，在⊙O中，，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（??
）
A．50°
B．40°
C．30°
D．25°
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
解：∵在⊙O中，，
∴∠AOC=∠AOB，
∵∠AOB=50°，
∴∠AOC=50°，
∴∠ADC=∠AOC=25°，
故选D．
【点评】本题考查圆周角定理及垂径定理，难度不大．
5．如图，、为⊙O的切线，切点分别为A、B，交于点C，的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（
）
A．为等腰三角形
B．与相互垂直平分
C．点A、B都在以为直径的圆上
D．为的边上的中线
【答案】B
【解析】
【分析】
连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，证明Rt△OPB≌Rt△OPA，可得BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，可推出为等腰三角形，可判断A；根据△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，可得PM=OM=BM=AM，可判断C；证明△OBC≌△OAC，可得PC⊥AB，根据△BPA为等腰三角形，可判断D；无法证明与相互垂直平分，即可得出答案．
【详解】
解：连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，
∵B，C为切点，
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∵OA=OB，OP=OP，
∴Rt△OPB≌Rt△OPA，
∴BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，
∴为等腰三角形，故A正确；
∵△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，
∴PM=OM=BM=AM
∴点A、B都在以为直径的圆上，故C正确；
∵∠BOC=∠AOC，OB=OA，OC=OC，
∴△OBC≌△OAC，
∴∠OCB=∠OCA=90°，
∴PC⊥AB，
∵△BPA为等腰三角形，
∴为的边上的中线，故D正确；
无法证明与相互垂直平分，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆的性质，掌握知识点灵活运用是解题关键．
6．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（
）
A．2cm
B．cm
C．
D．
【答案】C
【解析】
试题分析：先过点O作OD⊥AB，垂足为D，连接OA，由题意求得OD=OB=1cm，由勾股定理求得AD=cm，再由垂径定理求得AB=2cm．
故选C
考点：勾股定理，垂径定理
7．将如图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，为中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断.
【详解】
A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故本选项符合题意.
故选：D.
【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分能够完全重合.
8．如图，是的弦，点C是优弧上的动点（C不与A、B重合），，垂足为H，点M是的中点．若的半径是3，则长的最大值是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【解析】
【分析】
根据直角三角形斜边中线定理，斜边上的中线等于斜边的一半可知MH=BC，当BC为直径时长度最大，即可求解．
【详解】
解：∵
∴∠BHC=90°
∵在Rt△BHC中，点M是的中点
∴MH=BC
∵BC为的弦
∴当BC为直径时，MH最大
∵的半径是3
∴MH最大为3．
故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形斜边中线定理，数形结合是结题关键．
9．如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由旋转的性质可知，，进而得出为等边三角形，进而求出．
【详解】
解：∵
由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可知，
∴cm，
又∠CAB=90°-∠ABC=90°-30°=60°，
由旋转的性质可知：，且，
∴为等边三角形，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，旋转的性质等，熟练掌握其性质是解决此类题的关键．
10．如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，使点B的对应点E恰好落在边上，点A的对应点为D，延长交于点F，则下列结论一定正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
本题可通过旋转的性质得出△ABC与△DEC全等，故可判断A选项；可利用相似的性质结合反证法判断B，C选项；最后根据角的互换，直角互余判断D选项．
【详解】
由已知得：△ABC△DEC，则AC=DC，∠A=∠D，∠B=∠CED，故A选项错误；
∵∠A=∠A，∠B=∠CED=∠AEF，
故△AEF△ABC，则，
假设BC=EF，则有AE=AB，
由图显然可知AEAB，故假设BC=EF不成立，故B选项错误；
假设∠AEF=∠D，则∠CED=∠AEF=∠D，
故△CED为等腰直角三角形，即△ABC为等腰直角三角形，
因为题干信息△ABC未说明其三角形性质，故假设∠AEF=∠D不一定成立，故C选项错误；
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°．
又∵∠A=∠D，
∴∠B+∠D=90°．
故AB⊥DF，D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查旋转的性质以及全等三角形的性质，证明过程常用角的互换、直角互余作为解题工具，另外证明题当中反证法也极为常见，需要熟练利用．
11．如图，在半径为5的中，将劣弧沿弦翻折，使折叠后的恰好与、相切，则劣弧的长为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
如图画出折叠后所在的⊙O＇，连O＇B，O＇A，根据题意可得O＇B⊥OB、O＇A⊥OA，且OB=OA=O＇B=O＇A,得到四边形O＇BOA是正方形，即∠O=90°，最后根据弧长公式计算即可．
【详解】
解：如图：画出折叠后所在的⊙O＇，连O＇B，O＇A
∵恰好与、相切
∴O＇B⊥OB、O＇A⊥OA
∵OB=OA=O＇B=O＇A,
∴四边形O＇BOA是正方形
∴∠O=90°
∴劣弧的长为．
故答案为B．
【点评】本题考查了折叠的性质、正方形的判定与性质、弧长公式等知识点，其中掌握弧长公式和折叠的性质是解答本题的关键．
12．下列四个图形中，是中心对称图形的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据中心对称的图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就是中心对称图形．
【详解】
A选项不是中心对称图形，故本选项错误；
B选项不是中心对称图形，故本选项错误；
C选项是中心对称图形，故本选项错误；
D选项不是中心对称图形，故本选项错误；
故本题答案选C．
【点评】本题主要考查的是中心对称图形的定义，理解定义是解本题的关键．
二、填空题
13．如图，是圆的弦，，垂足为点，将劣弧沿弦折叠交于的中点，若，则圆的半径为_____．
【答案】．
【解析】
【分析】
连接OA，设半径为x，用x表示OC，根据勾股定理建立x的方程，便可求得结果．
【详解】
解：解：连接OA，设半径为x，
将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，
，，
，
，
，
解得，．
故答案为．
【点评】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，关键是根据勾股定理列出半径的方程．
14．如图，用等分圆的方法，在半径为OA的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA＝2，则四叶幸运草的周长是________．
【答案】π．
【解析】
【分析】
由题意得出：四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长=2个圆的周长，求出圆的半径，由圆的周长公式即可得出结果．
【详解】
由题意得：
四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长＝2个圆的周长，
∴四叶幸运草的周长＝2π×2＝π；
故答案为π．
【点评】本题考查了正多边形和圆、正方形的性质以及圆周长公式；由题意得出四叶幸运草的周长=2个圆的周长是解题的关键．
15．半径为的是锐角三角形的外接圆，，连接，延长交弦于点．若是直角三角形，则弦的长为_____．
【答案】或
【解析】
【分析】
分∠ODB=90°与∠DOB=90°两种情况分别进行求解即可.
【详解】
如图1，当时，
即，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
；
如图2，当，
，
是等腰直角三角形，∠OBC=45°，
，
综上所述，若是直角三角形，则弦的长为或，
故答案为或.
【点评】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的判定与性质，解直角三角形等，正确把握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意分类讨论思想的运用.
16．如图，为的直径，为上一点，过点的切线交的延长线于点，为弦的中点，，，若点为直径上的一个动点，连接，当是直角三角形时，的长为__________．
【答案】4或2.56．
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出AB，由△BCD∽△ABD得到比例式求出CD的长，当是直角三角形时，分∠AEP=90°和∠APE=90°两种情况进行讨论,可求出AP长有2种情况.
【详解】
解：连接BC
过点的切线交的延长线于点，
，
，
当时，，
经过圆心，
；
当时，则，
，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°.
∴∠BCD＝90°.
∵∠BCD
＝∠ABD，∠D是公共角，
∴△BCD∽△ABD.
∴
，
，
，
，
，
．
综上的长为4或2.56．
故答案为4或2.56．
【点评】本题考查的是切线的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键.
17．如图，在⊙中，半径垂直于弦，点在圆上且，则的度数为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
利用圆周角与圆心角的关系即可求解．
【详解】
，
，
，
，
，
故答案为．
【点评】此题考查圆周角与圆心角，解题关键在于求出
18．如图，在中，，．将绕点按顺时针方向旋转至的位置，点恰好落在边的中点处，则的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，判断出ABC斜边BC的长度，根据勾股定理算出AC的长度，且，所以为等边三角形，可得旋转角为60°，同理，，故也是等边三角形，的长度即为AC的长度．
【详解】
解：在ABC中，∠BAC=90°，AB=2，将其进行顺时针旋转，落在BC的中点处，
∵是由ABC旋转得到，∴，而，
根据勾股定理：，
又∵，且，∴为等边三角形，
∴旋转角，
∴，且，故也是等边三角形，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了旋转性质的应用以及勾股定理的计算，解题的关键在于通过题中所给的条件，判断出图形旋转的度数，知道图形旋转的角度后，有关线段的长度也可求得．
三、解答题
19．如图，在平面直角坐标系中，已知点，和，请按下列要求画图并填空．
（1）平移线段，使点平移到点，画出平移后所得的线段，并写出点的坐标为______；
（2）将线段绕点逆时针旋转，画出旋转后所得的线段，并直接写出的值为______；
（3）在轴上找出点，使的周长最小，并直接写出点的坐标为______．
【答案】（1）（2，-4）
（2）
（3）（0,4）
【解析】
【分析】
（1）平移线段AB，使A点平移到C点，可以知道A点是向右平移5个单位，向下平移5个单位，故可以确定D点坐标．
（2）根据B、C、E三点坐标，连接BE，可以判断出△BCE为直角三角形，故可求解的值．
（3）过A点做y轴的对称点A’，连接A’B，与y轴的交点即为F点．此时△ABF的周长最小，通过求解函数解析式确认点Ｆ的坐标．
【详解】
解：(1)如图所示：平移线段AB，使A点平移到C点，可以知道A点是向右平移5个单位，再向下平移5个单位，根据题意可知，B点(-3,1)平移到D点，故可以确定点D的坐标．
点D的坐标为；
(2)如图所示：
根据题意，AE是线段AB围绕点A逆时针旋转90°得到，故AB=AE，不难算出点E的坐标为(3,3)．连接BE，根据B、C、E三点坐标算出BC=、EC=、BE=，故,可以判断出△BEC为直角三角形．
故
(3)如图所示：
过A点做y轴的对称点A’，连接A’B，与y轴的交点即为F点．故可知A’的坐标为(1,5)，点B的坐标为(-3,1),设A’B的函数解析式为y=kx+b，将(1,5)，(-3,1)代入函数解析中解得k=1，b=4，则函数解析式为y=x+4,则F点坐标为(0,4),
故点F的坐标为(0,4)．
【点评】（1）本题主要考查平移，洞察点A是如何平移到点C，是求出D点坐标的关键．（2）连接BE，根据B、C、E三点坐标判断出△BCE是直角三角形，就不难算出的值．（3）本题通过做A点的对称点A’，连接A’B，找到A’B与y轴的交点F是解答本题的关键．
20．如图1，为半圆的直径，点为圆心，为半圆的切线，过半圆上的点作交于点，连接．
（1）连接，若，求证：是半圆的切线；
（2）如图2，当线段与半圆交于点时，连接，，判断和的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）连接，根据切线的性质得到，推出四边形是平行四边形，得到，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，于是得到结论；
（2）如图2，连接，根据圆周角定理得到，求得，证得，等量代换即可得到结论．
【详解】
（1）证明：连接，
为半圆的切线，为半圆的直径，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
是半圆的切线；
（2）解：，
理由：如图2，连接，
为半圆的直径，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
21．如图，是⊙的直径，点和点是⊙上的两点，连接，，，过点作射线交的延长线于点，使．
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）连接，过作于，由直角三角形的性质及角平分线的性质得到，再根据直角的定义即可证明∠CAO=90°，即可证明；
（2）由及圆的性质可得是等边三角形，再利用割补法即可求出阴影部分的面积.
【详解】
（1）证明：连接，过作于，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是⊙的切线；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
∵，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴阴影部分的面积．
【点评】此题主要考查圆的切线与扇形面积的求解，解题的关键是熟知圆的性质及判定定理.
22．图1.2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在小正方形的顶点上；
（1）在图1中画出以为底边的等腰直角，点在小正方形顶点上；（2）在图2中画出以为腰的等腰，点在小正方形的顶点上，且的面积为8.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；
【解析】
【分析】
（1）由题可知，点B满足这两个条件，说明点B在AC的垂直平分线上，说明点B在以AC为直径的圆上，故可作的垂直平分线及以为直径的圆，其交点即为所求；（2）由题可知，点D满足CA=CD，故可以为圆心，为半径作圆，交于一格点D，经计算的面积为8，故点D即为所求.
【详解】
解；（1）作的垂直平分线，作以为直径的圆，垂直平分线与圆的交点即为点；
（2）以为圆心，为半径作圆，格点即为点；
【点评】本题主要考查了利用线段垂直平分线的性质及圆的性质作图，正确理解题意并知晓作图依据是解题的关键.
23．如图，是的直径，．
（1）求证：是的切线；
（2）若点是的中点，连接交于点，当，时，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）证明△ADC∽△BAC，可得∠BAC=∠ADC=900，从而可判断AC是⊙O的切线;
（2）根据（1）所得△ADC∽△BAC，可得出CA的长度，从而判断∠CFA=∠CAF，利用等腰三角形的性质得出AF的长度，继而得出DF的长，在Rt△AFD中利用勾股定理可得出AF的长.
【详解】
（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠B=∠CAD，∠C=∠C，
∴△ADC∽△BAC，
∴∠BAC=∠ADC=90°，
∴BA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线．
（2）∵BD=5，CD=4，
∴BC=9，
∵△ADC∽△BAC（已证），
∴,即AC2=BC×CD=36，
解得：AC=6，
在Rt△ACD中，AD=
,
∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD，
∴CA=CF=6，
∴DF=CA-CD=2，
在Rt△AFD中，AF=
.
【点评】考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握切线的判定定理、相似三角形的性质，勾股定理的表达式．
24．如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°，
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）求圆心O到BC的距离OD．
【答案】（1）证明见解析（2）4
【解析】
解：（1）证明：∵∠APC和∠ABC是同弧所对的圆周角，∴∠APC=∠ABC．
又∵在△ABC中，∠BAC=∠APC=60°，∴∠ABC=60°．
∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=180°﹣60°﹣60°=60°．
∴△ABC是等边三角形．
（2）连接OB，
∵△ABC为等边三角形，⊙O为其外接圆，
∴O为△ABC的外心．
∴BO平分∠ABC．∴∠OBD=30°.∴OD=8×=4．
（1）根据同弧所对的圆周角相等的性质和已知∠BAC=∠APC=60°可得△ABC的每一个内角都等于600，从而得证．
（2）根据等边三角形三线合一的性质，得含30度角直角三角形OBD，从而根据30度角所对边是斜边一半的性质，得OD=8×=4
25．如图，为等边的外接圆，半径为2，点在劣弧上运动（不与点重合），连接，，．
（1）求证：是的平分线；
（2）四边形的面积是线段的长的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；
（3）若点分别在线段，上运动（不含端点），经过探究发现，点运动到每一个确定的位置，的周长有最小值，随着点的运动，的值会发生变化，求所有值中的最大值．
【答案】(1)详见解析；(2)是，
；(3)
【解析】
【分析】
(1)根据等弧对等角的性质证明即可；
(2)延长DA到E,让AE=DB,证明△EAC≌△DBC,即可表示出S的面积；
(3)作点D关于直线BC、AC的对称点D1、D2，当D1、M、N、D共线时△DMN取最小值，可得t=D1D2，有对称性推出在等腰△D1CD2中,t=，D与O、C共线时t取最大值即可算出．
【详解】
(1)∵△ABC为等边三角形,BC=AC，
∴,都为圆，
∴∠AOC=∠BOC=120°，
∴∠ADC=∠BDC=60°，
∴DC是∠ADB的角平分线．
(2)是．
如图，延长DA至点E，使得AE=DB．
连接EC，则∠EAC=180°－∠DAC＝∠DBC．
∵AE＝DB，∠EAC＝∠DBC,AC＝BC，
∴△EAC≌△DBC(SAS)，
∴∠E=∠CDB=∠ADC=60°，
故△EDC是等边三角形，
∵DC=x，∴根据等边三角形的特殊性可知DC边上的高为
∴．
(3)依次作点D关于直线BC、AC的对称点D1、D2,根据对称性
C△DMN=DM+MN+ND=D1M+MN+ND2．
∴D1、M、N、D共线时△DMN取最小值t,此时t=D1D2,
由对称有D1C=DC=D2C=x，∠D1CB=∠DCB，∠D2CA=∠DCA,
∴∠D1CD2=∠D1CB+∠BCA+∠D2CA=∠DCB+60°+∠DCA=120°．
∴∠CD1D2=∠CD2D1=60°，
在等腰△D1CD2中,作CH⊥D1D2，
则在Rt△D1CH中，根据30°特殊直角三角形的比例可得D1H=，
同理D2H=
∴t=D1D2=．
∴x取最大值时,t取最大值．
即D与O、C共线时t取最大值,x=4．
所有t值中的最大值为．
【点评】本题考查圆与正多边形的综合以及动点问题，关键在于结合题意作出合理的辅助线转移已知量．
26．如图，在⊙O中，弦AB与直径CD垂直，垂足为M，CD的延长线上有一点P，满足∠PBD＝∠DAB．过点P作PN⊥CD，交OA的延长线于点N，连接DN交AP于点H．
（1）求证：BP是⊙O的切线；
（2）如果OA＝5，AM＝4，求PN的值；
（3）如果PD＝PH，求证：AH?OP＝HP?AP．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）连接BC，OB，证明OB⊥PB即可．
（2）解直角三角形求出OM，利用相似三角形的性质求出OP，再利用平行线分线段成比例定理求出PN即可．
（3）证明△NAH∽△NPD，推出=，证明△PAN∽△OAP，推出=，推出=可得结论．
【详解】
（1）如图，连接BC，OB．
∵CD是直径，
∴∠CBD=90°，
∵OC=OB，
∴∠C=∠CBO，
∵∠C=∠BAD，∠PBD=∠DAB，
∴∠CBO=∠PBD，
∴∠OBP=∠CBD=90°，
∴PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线；
（2）∵CD⊥AB，
∴CD垂直平分AB，
∴PA=PB，
∵OA=OB，OP=OP，
∴△PAO≌△PBO（SSS），
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠AMO=90°，
∴OM===3，
∵∠AOM=∠AOP，∠OAP=∠AMO，
∴△AOM∽△POA，
∴=，
∴=，
∴OP=，
∵PN⊥PC，
∴∠NPC=∠AMO=90°，
∴=，
∴=，
∴PN=．
（3）∵PD=PH，
∴∠PDH=∠PHD，
∴∠PDN=∠PHD=∠AHN，
∵∠NPC=90°，∠OAP=90°，
∴∠NAH
=∠NPD=90°，
∴△NAH∽△NPD，
∴=，
∵∠APN+∠PNA=∠POA+∠PNA=90°，
∴∠APN=∠POA，
又∠PAN=∠PAO=90°，
∴△PAN∽△OAP，
∴=，
∴=，
∴==，
∴AH?OP=HP?AP．
【点评】本题综合考查了切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
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第二十四章
圆【真题训练】
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（
）
A．B．C．D．
2．如图⊙O的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为（
）
A．
B．4
C．
D．8
3．数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（
）
A．勾股定理
B．直径所对的圆周角是直角
C．勾股定理的逆定理
D．90°的圆周角所对的弦是直径
4．如图，在⊙O中，，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（??
）
A．50°
B．40°
C．30°
D．25°
5．如图，、为⊙O的切线，切点分别为A、B，交于点C，的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（
）
A．为等腰三角形
B．与相互垂直平分
C．点A、B都在以为直径的圆上
D．为的边上的中线
6．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（
）
A．2cm
B．cm
C．
D．
7．将如图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，为中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，是的弦，点C是优弧上的动点（C不与A、B重合），，垂足为H，点M是的中点．若的半径是3，则长的最大值是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
9．如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（
）
A．
B．
C．
D．
10．如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，使点B的对应点E恰好落在边上，点A的对应点为D，延长交于点F，则下列结论一定正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
11．如图，在半径为5的中，将劣弧沿弦翻折，使折叠后的恰好与、相切，则劣弧的长为（
）
A．
B．
C．
D．
12．下列四个图形中，是中心对称图形的是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．如图，是圆的弦，，垂足为点，将劣弧沿弦折叠交于的中点，若，则圆的半径为_____．
14．如图，用等分圆的方法，在半径为OA的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA＝2，则四叶幸运草的周长是________．
15．半径为的是锐角三角形的外接圆，，连接，延长交弦于点．若是直角三角形，则弦的长为_____．
16．如图，为的直径，为上一点，过点的切线交的延长线于点，为弦的中点，，，若点为直径上的一个动点，连接，当是直角三角形时，的长为__________．
17．如图，在⊙中，半径垂直于弦，点在圆上且，则的度数为_____．
18．如图，在中，，．将绕点按顺时针方向旋转至的位置，点恰好落在边的中点处，则的长为________．
三、解答题
19．如图，在平面直角坐标系中，已知点，和，请按下列要求画图并填空．
（1）平移线段，使点平移到点，画出平移后所得的线段，并写出点的坐标为______；
（2）将线段绕点逆时针旋转，画出旋转后所得的线段，并直接写出的值为______；
（3）在轴上找出点，使的周长最小，并直接写出点的坐标为______．
20．如图1，为半圆的直径，点为圆心，为半圆的切线，过半圆上的点作交于点，连接．
（1）连接，若，求证：是半圆的切线；
（2）如图2，当线段与半圆交于点时，连接，，判断和的数量关系，并证明你的结论．
21．如图，是⊙的直径，点和点是⊙上的两点，连接，，，过点作射线交的延长线于点，使．
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若，求阴影部分的面积．
22．图1.2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在小正方形的顶点上；
（1）在图1中画出以为底边的等腰直角，点在小正方形顶点上；（2）在图2中画出以为腰的等腰，点在小正方形的顶点上，且的面积为8.
23．如图，是的直径，．
（1）求证：是的切线；
（2）若点是的中点，连接交于点，当，时，求的值．
24．如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°，
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）求圆心O到BC的距离OD．
25．如图，为等边的外接圆，半径为2，点在劣弧上运动（不与点重合），连接，，．
（1）求证：是的平分线；
（2）四边形的面积是线段的长的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；
（3）若点分别在线段，上运动（不含端点），经过探究发现，点运动到每一个确定的位置，的周长有最小值，随着点的运动，的值会发生变化，求所有值中的最大值．
26．如图，在⊙O中，弦AB与直径CD垂直，垂足为M，CD的延长线上有一点P，满足∠PBD＝∠DAB．过点P作PN⊥CD，交OA的延长线于点N，连接DN交AP于点H．
（1）求证：BP是⊙O的切线；
（2）如果OA＝5，AM＝4，求PN的值；
（3）如果PD＝PH，求证：AH?OP＝HP?AP．
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