中小学教育资源及组卷应用平台
下册综合检测（2）-2020-2021学年九年级数学下册单元复习一遍过（沪科版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列命题的逆命题是真命题的是( )
A．等边三角形是等腰三角形
B．若，则
C．成中心对称的两个图形全等
D．有两边相等的三角形是等腰三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据逆命题的定义分别写出各命题的逆命题，然后根据等腰三角形的性质、不等式的性质、中心对称的性质等进行判断．
【详解】
A、逆命题为：等腰三角形是等边三角形，是假命题，故本选项错误；
B、逆命题是：如果a＞b，则ac2＞bc2，是假命题，故本选项错误；
C、逆命题为：全等的两个图形成中心对称，是假命题，故本选项错误；
D、逆命题为：等腰三角形是有两边相等的三角形，故本选项正确；
故选：D
【点评】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出一个命题的逆命题，并熟悉课本中的性质定理．
2．如图，圆弧形弯道两边的直道在连接点处与弯道相切。测得，则这段圆弧弯道的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
取圆弧弯道的圆心点，连接，，根据切线的性质可得，利用四边形内角和即可求解．
【详解】
取圆弧弯道的圆心点，连接，，
，与相切，
，，
在四边形中，
，
则这段圆弧弯道的度数．
故选C
【点评】
此题主要考查切线性质、多边形的内角和定理，熟练进行逻辑推理是解题关键．
3．下列图形中，不是中心对称图形的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】
解：A、是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项正确；
C、是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【点评】
本题考查中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4．如图1是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将它左侧的小正方体移动后得到图2.关于移动前后的几何体的三视图，下列说法正确的是（
）
A．主视图相同
B．左视图相同
C．俯视图相同
D．三种视图都不相同
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三视图解答即可．
【详解】
解：图1的三视图为：
图2的三视图为：
故选：B．
【点评】
本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是学生的观察能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
5．甲、乙两位同学在一次用频率估计概率的实验中统计了某一结果出现的频率，并绘出了如下统计图，则符合这一结果的实验可能是（
）
A．掷一枚正六面体的骰子，出现5点的概率
B．掷一枚硬币，出现正面朝上的概事
C．一个不透明的袋子中装着除颜色外都相同的两个红球和一个黄球，从中任意取出一个是黄球的概率
D．任意写出一个两位数，能被2整除的概率
【答案】C
【解析】
【分析】
根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．
【详解】
根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，
A、掷一枚正六面体的骰子，出现5点的概率为，故此选项错误；
B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项错误；
C、一个不透明的袋子中装着除颜色外都相同的两个红球和一个黄球，从中任意取出一个是黄球的概率为，故此选项正确；
D、任意写出一个两位数，能被2整除的概率为，故此选项错误．
故选：C．
【点评】
本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
6．如图，矩形的长为，宽为，点为矩形的中心，的半径为，于点，．若绕点按顺时针方向旋转，在旋转过程中，与矩形的边所在的直线相切的位置一共出现（
）
A．次
B．次
C．次
D．次
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意作出图形，根据图形直接写出答案即可．
【详解】
解：如图，与矩形的边所在的直线相切的位置一共出现次．
故选：C．
【点评】
本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．
7．下列成语描述的事件是必然事件的是（
）
A．守株待兔
B．翁中捉鳖
C．画饼充饥
D．水中捞月
【答案】B
【解析】
【分析】
根据必然事件指在一定条件下一定发生的事件对各选项分析判断利用排除法求解．
【详解】
A、守株待兔，是随机事件；
B、瓮中捉鳖，是必然事件；
C、画饼充饥，是不可能事件；
D、水中捞月，是不可能事件；
故选：B．
【点评】
本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
8．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
【详解】
A、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，符合题意；
C、既是中心对称图形，又是轴对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
【点评】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后和原图形重合．
9．下列语句说法正确的是
（
）
A．两锐角分别相等的两个直角三角形全等
B．经过旋转，对应线段平行且相等
C．一个命题是真命题，它的逆命题一定也是真命题
D．两条直角边分别相等的两直角三角形全等
【答案】D
【解析】
【分析】
利用直角三角形全等、旋转的性质、逆命题分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
A、两锐角分别相等的两个直角三角形不一定全等，原命题是假命题；
B、经过旋转，对应线段相等，原命题是假命题；
C、一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题，原命题是假命题；
D、两条直角边分别相等的两直角三角形一定全等，是真命题；
故选：D．
【点评】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解直角三角形全等、旋转的性质、逆命题等知识，难度不大．
10．如图，已知和关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形和中心对称的性质求解，即可得到答案．
【详解】
∵和关于点O成中心对称
∴
∴错误，其他选项正确
故选：D．
【点评】
本题考查了三角形和中心对称图形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形和中心对称图形的性质，从而完成求解．
11．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是（a，b），经过第2019次变换后所得的点A的坐标是（ ）
A．（﹣a，b）
B．（﹣a，﹣b）
C．（a，﹣b）
D．（a，b）
【答案】A
【解析】
【分析】
观察图形，可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2019除以4，然后根据商和余数的情况，确定变换后点A所在的象限，即可求解．
【详解】
解：点A第一次关于x轴对称后在第四象限，
点A第二次关于y轴对称后在第三象限，
点A第三次关于x轴对称后在第二象限，
点A第四次关于y轴对称后在第一象限，
即点A回到原始位置，
所以，每四次对称为一个循环组依次循环，
∵2019÷4＝504余3，
∴经过第2019次变换后所得的A点与第三次变换的位置相同，在第二象限，
坐标为（﹣a，b）．
故选：A．
【点评】
本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，认真读题找出每四次对称为一个循环组来解题是本题的关键．
12．如图，在中，直径垂直弦于点，且.点为上一点（点不与点，重合），连结，，，，.过点作于点.给出下列结论:①是等边三角形；②在点从的运动过程中，的值始终等于.则下列说法正确的是（
）
A．①，②都对
B．①对，②错
C．①错，②对
D．①，②都错
【答案】A
【解析】
【分析】
①根据OE=DE=OD，OE⊥AE,可得∠OAE=30°，再根据等腰三角形的性质，垂径定理的推论，可以得出△ABC中两个内角为60°，可以得出结论；②延长CP，使PQ=CP，连接BQ,根据∠BPQ=∠CAB=60°，可得△BPQ为等边三角形，再证明△CBQ≌△ABP，推出CQ=AP,因此AP-BP=CQ-PQ=CP,在Rt△CFP中从而可得出结论.
【详解】
解：①∵OE=DE=OD，OE⊥AE,∴∠OAE=30°，
∴∠AOE=60°，又OC=AO,∴∠CAO=∠ACO=30°，
根据垂径定理的推论可得，弧AD=弧BD，∴∠ACD=∠BCD=30°，
∴∠CAB=∠ACB=60°，
∴△ABC为等边三角形.故①正确.
②延长CP，使PQ=CP，连接BQ,
∵四边形ABPC为圆O的内接圆，
∴∠BPQ=∠CAB=60°，
∴△BPQ为等边三角形，
∴BQ=BP=PQ，∠QBP=60°，
∴∠QBP=∠ABC,
∴∠CBQ=∠ABP，
又∠PAB=∠BCP,BQ=BP,
∴△CBQ≌△ABP（AAS）,
∴AP=CQ,
∴AP-BP=CQ-PQ=CP.
在Rt△CPF中，∠CPF=∠BPQ=60°，
∴,
∴
故②正确
故选：A.
【点评】
本题考查垂径定理及其推论，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，以及全等的判定与性质，有较强的综合性.
二、填空题
13．如图，菱形ABCD中，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，当菱形的边长为10，一条对角线为12时，则阴影部分的面积为_____．
【答案】48．
【解析】
【分析】
连接AC、BD，由菱形的性质与勾股定理求出AC，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积，再根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半解答．
【详解】
连接AC、BD，如图所示，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝10，OB＝OD＝BD＝6，OA＝OC，AC⊥BD，
∴OA＝，
∴AC＝2OA＝16，
∴菱形ABCD的面积＝＝×16×12＝96，
∵O是菱形两条对角线的交点，
∴阴影部分的面积＝×96＝48；
故答案为：48．
【点评】
本题考查菱形的性质，勾股定理，中心对称的性质，熟练掌握菱形的性质并判断出阴影部分面积为菱形面积的一半是解题的关键．
14．某批篮球的质量检验结果如下：
抽取的篮球数
优等品的频数
优等品的频率
从这批篮球中，任意抽取一只篮球是优等品的概率的估计值为______．
【答案】0.94
【解析】
【分析】
结合频率估计概率的性质，即可得到答案
【详解】
结合题意，随着抽取的篮球数n的数量逐渐增大，频率逐步稳定在0.94
∴用频率估计概率，任意抽取一只篮球是优等品的概率的估计值为：0.94
故答案为：0.94．
【点评】
本题考查了利用频率估计概率；求解的关键是熟练掌握频率、概率的性质，并运用到实际生活中的问题中，即可完成求解．
15．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转50°后得到△COD，如果∠AOB＝15°，那么∠AOD的度数为_____．
【答案】65°
【解析】
【分析】
首先根据旋转变换的性质求出∠AOC的度数，结合∠AOB＝15°，即可解决问题．
【详解】
解：由题意及旋转变换的性质得：
∠AOC＝∠BOD＝50°，
∵∠AOB＝15°，
∴∠AOD＝50°+15°＝65°，
故答案为：65°．
【点评】
本题主要考查了旋转变换的性质及其应用问题，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
16．有五张正面分别标有数﹣2，0，1，3，4的纸片做成无差别的纸团，洗匀后从中任取一个纸团，若展开后将纸片上的数记为a，则使关于x的方程ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x的解是正整数的概率为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意由当a分别取2，0，1，3，4时，解方程ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x得到正整数的个数，然后根据概率公式求解．
【详解】
解：当a＝﹣2时，方程ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x化为﹣2x﹣1﹣3x﹣3＝﹣3x，解得x＝﹣2；
当a＝0时，方程ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x化为﹣1﹣3x﹣3＝﹣3x，无解；
当a＝1时，方程ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x化为x﹣1﹣3x﹣3＝﹣3x，解得x＝4；
当a＝3时，方程ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x化为3x﹣1﹣3x﹣3＝﹣3x，解得x＝；
当a＝4时，方程ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x化为4x﹣1﹣3x﹣3＝﹣3x，解得x＝1；
所以使关于x的方程ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x的解是正整数的结果数为2，
所以展开后将纸片上的数记为a，则使关于x的方程ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x的解是正整数的概率＝．
故答案为：．
【点评】
本题考查概率公式以及解一元二次方程，注意掌握某事件的概率=某事件所占的情况数与总情况数之比．
17．如图，小正方形方格的边长都是1，点A、B、C、D、O都是小正方形的顶点．若COD是由AOB绕点O按顺时针方向旋转一次得到的，则至少需要旋转______°．
【答案】90
【解析】
【分析】
由△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得到，再结合已知图形可知旋转的角度是∠BOD的大小，然后由图形即可求得答案
【详解】
解：∵△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得，
∴OB=OD，
∴旋转的角度是∠BOD的大小，
∵∠BOD=90°，
∴旋转的角度为90°，
故答案为：
90．
【点评】
本题考查了旋转的性质．解题的关键是理解△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得的含义，找到旋转角．
18．如图，是锐角的外接圆，是的切线，切点为，，连结交于，的平分线交于，连结．下列结论：①平分；②连接，点为的外心；③；④若点，分别是和上的动点，则的最小值是．其中一定正确的是__________(把你认为正确结论的序号都填上)．
【答案】
【解析】
【分析】
如图１，连接，通过切线的性质证，进而由
，即可由垂径定理得到Ｆ是的中点，根据圆周角定理可得，可得平分；由三角形的外角性质和同弧所对的圆周角相等可得，可得，可得点为得外心；如图，过点Ｃ作
交的延长线与点通过证明，可得；如图，作点关于的对称点
，当点在线段上，且时，．
【详解】
如图，连接，
∵是的切线，
∴
，∵
∴，且为半径
∴垂直平分
∴
∴
∴平分，故正确
点的外心，故正确；
如图，过点Ｃ作
交的延长线与点
，故正确；
如图，作点关于的对称点
，
点与点关于对称，
当点在线段上，且时，，
且
∴的最小值为；故正确．
故答案为：．
【点评】
本题是相似综合题，考查了圆的相关知识，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
三、解答题
19．如图，正方形ABCD，△ABE是等边三角形，M是正方形ABCD对角线AC（不含点A）上任意一点，将线段AM绕点A逆时针旋转60°得到AN，连接EN、DM．求证：EN＝DM．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
利用等边三角形的性质以及旋转的性质，即可判定△EAN≌△DAM（SAS），依据全等三角形的对应边相等，即可得到EN＝DM．
【详解】
证明：∵△ABE是等边三角形，
∴∠BAE＝60°，BA＝EA，
由旋转可得，∠MAN＝60°，AM＝AN，
∴∠BAE＝∠MAN，
∴∠EAN＝∠BAM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝DA，∠BAM＝∠DAM＝45°，
∴EA＝DA，∠EAN＝∠DAM，
在△EAN和△DAM中，
EA＝DA．∠EAN=∠DAM，AN=AM，
∴△EAN≌△DAM（SAS），
∴EN＝DM．
【点评】
本题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是要熟练掌握旋转图形的性质和全等三角形的判定和性质.
20．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝30°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若AD＝，求DB的长．
【答案】（1）60°；（2）3
【解析】
【分析】
（1）根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠B＝∠ACD＝30°，然后利用互余可计算出∠BAD的度数；
（2）利用含30度的直角三角形三边的关系求解．
【详解】
解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝∠ACD＝30°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°；
（2）在Rt△ADB中，．
【点评】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
21．如图，是以为直径的圆，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，交于点，直线交的延长线于点，连结．
(1)求证：平分；
(2)若的半径为5，且，求的长．
【答案】（1）详见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）由题意易得，进而得到，则有，，故可得证；
（2）由（1）及题意可得，然后由三角函数及的半径为5可求解．
【详解】
(1)证明：∵为切线，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴平分
；
(2)解：∵
，
∴
，
设，则，
∴，
∴，解得
，
∴．
【点评】
本题主要考查圆的切线及解直角三角形，熟练掌握切线定理及三角函数是解题的关键．
22．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形)．
（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出点B2、C2的坐标；
（3）在平面内有一动点P，使得以P、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，满足条件的点P的个数为_______．
【答案】（1）见解析；（2）画图见解析；B2（4，），C2
（1，）；（3）3
【解析】
【分析】
（1）分别作出A、B、C的对应点A1、B1、C1即可；
（2）分别作出，的对应点B2、C2即可；
（3）分别作出P的位置即可．
【详解】
解：（1）如图：
（2）如图，可以得到B2（4，），C2（1，）；
（3）如图，
满足条件的P点有3个．
【点评】
本题考查的是图形的变换以及平行四边形的存在性，注意掌握旋转和平移作图的知识点和正确认识平行四边形即可．
23．把我们常用的一副三角尺按照如图方式摆放：
（1）如图1，两个三角尺的直角边OA、OD摆放在同一直线上，
①易知AB//CD，理由是____________________________；
②求出∠BOC的度数；
（2）如图2，如果把图1所示的以O为中心顺时针旋转得到∠OA'B'，当∠为多少度时，OB'平分；
（3）如图3，两个三角尺的直角边OA、OD摆放在同一直线上，另一条直角边OB、OC也在同一条直线上，如果把以O为中心顺时针旋转一周，当旋转多少度时，两条斜边AB∥CD，请直接写出答案
【答案】（1）①旁内角互补，两直线平行；②75°；（2）105°；（3）105°或285°
【解析】
【分析】
（1）①由同旁内角互补，两直线平行可证AB∥CD；
②由平角的性质可求解；
（2）由旋转的性质可得∠AOB=∠A'OB'=45°，由角的数量关系可求解；
（3）分两种情况讨论，由平行线的性质可求解．
【详解】
（1）①∵∠BAO=∠CDO=90°，
∴∠BAO+∠CDO=180°，
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；
②∵∠AOB=45°，∠COD=60°，
∴∠BOC=75°；
（2）∵△OAB以O为中心顺时针旋转得到△OA′B′，
∴∠AOB=∠A'OB'=45°，
∵∠COD=60°，OB′平分∠COD，
∴∠COB'=30°，
∴∠COA'=∠A'OB'-∠COB'=15°，
∴∠A'OB=∠COB-∠COA'=60°，
∴∠AOA'=∠AOB+∠A'OB=105°；
（3）当A'B'与OD相交于点E时，如图1，
∵A'B'∥CD，
∴∠D=∠A'EO=60°，
∵∠A'EO=∠B'+∠EOB'，
∴∠EOB'=60°-45°=15°，
∴∠BOB'=∠COD
+∠EOB'=105°；
当A'B'与AO相交于点F时，如图2，
∵A'B'∥CD，
∴∠D=∠A'FO=60°，
∴∠A'OF=180°-∠A'FO-∠A'=180°-60°-45°=75°，
∴旋转的角度=360°-75°=285°，
综上所述：旋转的角度为105°或285°．
【点评】
本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形的外角性质，正确的识别图形并灵活运用性质进行推理是本题的关键．
24．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．
（1）以点为旋转中心，将旋转180°后得到，请画出；
（2）平移，使点的对应点的坐标为，请画出．
（3）若将绕点旋转可得到，则点的坐标为
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）（-1，0）
【解析】
【分析】
（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A1、B1、C1即可；
（2）根据点A和A2的坐标特征确定平移的方向和距离，利用次平移规律写出点B2、C2的坐标，然后描点即可；、
（3）连接A1A2、C1C2、B1B2，它们都经过点（-1，0），从而得到旋转中心点P．
【详解】
解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作．
（3）△A1B1C1绕点P旋转可得到△A2B2C2，则点P点坐标为（-1，0）．
【点评】
本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB＝10，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连接CP、OP．
（1）求证：点D为BC的中点；
（2）求AP的长度；
（3）求证：CP是⊙O的切线．
【答案】（1）BD＝DC；（2）5；（3）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）连接AD，由圆周角定理可知∠ADB=90°，证得结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD，可得，则BD=DE，所以BD=DE=DC，得到∠DEC=∠DCE，在等腰△ABC中可计算出∠ABC=75°，故∠DEC=75°，再由三角形内角和定理得出∠EDC的度数，再根据BP∥DE可知∠PBC=∠EDC=30°，进而得出∠ABP的度数，然后利用OB=OP，可知∠OBP=∠OPB，由三角形内角和定理即可得出∠BOP=90°，则△AOP是等腰直角三角形，易得AP的长度；
（3）设OP交AC于点G，由∠BOP=90°可知∠AOG=90°，在Rt△AOG中，由∠OAG=30°可得＝，由于＝＝，则＝，根据三角形相似的判定可得到△AOG∽△CPG，由相似三角形形的性质可知∠GPC=∠AOG=90°，然后根据切线的判定定理即可得到CP是⊙O的切线．
【详解】
（1）BD＝DC．理由如下：
如图1，连接AD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC．
（2）如图1，连接AP．
∵AD是等腰△ABC底边上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴
∴BD＝DE．
∴BD＝DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE，
△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠DCE＝∠ABC＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠DEC＝75°，
∴∠EDC＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∵BP∥DE，
∴∠PBC＝∠EDC＝30°，
∴∠ABP＝∠ABC﹣∠PBC＝75°﹣30°＝45°，
∵OB＝OP，
∴∠OBP＝∠OPB＝45°，
∴∠BOP＝90°．
∴△AOP是等腰直角三角形．
∵AO＝AB＝5．
∴AP＝AO＝5；
（3）设OP交AC于点G，如图1，
则∠AOG＝∠BOP＝90°，
在Rt△AOG中，∠OAG＝30°，
∴＝，
又∵＝＝，
∴＝，
∴＝．
又∵∠AGO＝∠CGP，
∴△AOG∽△CPG，
∴∠GPC＝∠AOG＝90°，
∴OP⊥PC，
∴CP是⊙O的切线．
【点评】
本题考查了圆的综合题；掌握切线的性质，运用切线的判定定理证明圆的切线；运用圆周角定理和相似三角形的判定与性质解决圆中角度与线段的计算；同时记住等腰直角三角形的性质以及含30度的直角三角形三边的关系是关键．
26．如图①，A（﹣5，0），OA＝OC，点B、C关于原点对称，点B（a，a+1）（a＞0）．
（1）求B、C坐标；
（2）求证：BA⊥AC；
（3）如图②，将点C绕原点O顺时针旋转α度（0°＜α＜180°），得到点D，连接DC，问：∠BDC的角平分线DE，是否过一定点？若是，请求出该点的坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1）点B（3，4），点C（﹣3，﹣4）；（2）证明见解析；（3）定点（4，3）；理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）由中心对称的性质可得OB＝OC＝5，点C（﹣a，﹣a﹣1），由两点距离公式可求a的值，即可求解；
（2）由两点距离公式可求AB，AC，BC的长，利用勾股定理的逆定理可求解；
（3）由旋转的性质可得DO＝BO＝CO，可得△BCD是直角三角形，以BC为直径，作⊙O，连接OH，DE与⊙O交于点H，由圆周角定理和角平分线的性质可得∠HBC＝∠CDE＝45°＝∠BDE＝∠BCH，可证CH＝BH，∠BHC＝90°，由两点距离公式可求解．
【详解】
解：（1）∵A（﹣5，0），OA＝OC，
∴OA＝OC＝5，
∵点B、C关于原点对称，点B（a，a+1）（a＞0），
∴OB＝OC＝5，点C（﹣a，﹣a﹣1），
∴5＝，
∴a＝3，
∴点B（3，4），
∴点C（﹣3，﹣4）；
（2）∵点B（3，4），点C（﹣3，﹣4），点A（﹣5，0），
∴BC＝10，AB＝4
，AC＝2，
∵BC2＝100，AB2+AC2＝80+20＝100，
∴BC2＝AB2+AC2，
∴∠BAC＝90°，
∴AB⊥AC；
（3）过定点，
理由如下：
∵将点C绕原点O顺时针旋转α度（0°＜α＜180°），得到点D，
∴CO＝DO，
又∵CO＝BO，
∴DO＝BO＝CO，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠BDC＝90°，
如图②，以BC为直径，作⊙O，连接OH，DE与⊙O交于点H，
∵DE平分∠BDC，
∴∠BDE＝∠CDE＝45°，
∴∠HBC＝∠CDE＝45°＝∠BDE＝∠BCH，
∴CH＝BH，∠BHC＝90°，
∵BC＝10，
∴BH＝CH＝5，OH＝OB＝OC＝5，
设点H（x，y），
∵点H在第四象限，
∴x＜0，y＞0，
∴x2+y2＝25，（x﹣3）2+（y﹣4）2＝50，
∴x＝4，y＝3，
∴点H（4，﹣3），
∴∠BDC的角平分线DE过定点H（4，3）．
【点评】
本题是几何变换综合题，考查了中心对称的性质，直角三角形的性质，角平分线的性质，圆的有关知识，勾股定理的逆定理，两点距离公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
下册综合检测（2）-2020-2021学年九年级数学下册单元复习一遍过（沪科版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列命题的逆命题是真命题的是( )
A．等边三角形是等腰三角形
B．若，则
C．成中心对称的两个图形全等
D．有两边相等的三角形是等腰三角形
2．如图，圆弧形弯道两边的直道在连接点处与弯道相切。测得，则这段圆弧弯道的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
3．下列图形中，不是中心对称图形的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．如图1是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将它左侧的小正方体移动后得到图2.关于移动前后的几何体的三视图，下列说法正确的是（
）
A．主视图相同
B．左视图相同
C．俯视图相同
D．三种视图都不相同
5．甲、乙两位同学在一次用频率估计概率的实验中统计了某一结果出现的频率，并绘出了如下统计图，则符合这一结果的实验可能是（
）
A．掷一枚正六面体的骰子，出现5点的概率
B．掷一枚硬币，出现正面朝上的概事
C．一个不透明的袋子中装着除颜色外都相同的两个红球和一个黄球，从中任意取出一个是黄球的概率
D．任意写出一个两位数，能被2整除的概率
6．如图，矩形的长为，宽为，点为矩形的中心，的半径为，于点，．若绕点按顺时针方向旋转，在旋转过程中，与矩形的边所在的直线相切的位置一共出现（
）
A．次
B．次
C．次
D．次
7．下列成语描述的事件是必然事件的是（
）
A．守株待兔
B．翁中捉鳖
C．画饼充饥
D．水中捞月
8．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（
）
A．
B．
C．
D．
9．下列语句说法正确的是
（
）
A．两锐角分别相等的两个直角三角形全等
B．经过旋转，对应线段平行且相等
C．一个命题是真命题，它的逆命题一定也是真命题
D．两条直角边分别相等的两直角三角形全等
10．如图，已知和关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（
）．
A．
B．
C．
D．
11．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是（a，b），经过第2019次变换后所得的点A的坐标是（ ）
A．（﹣a，b）
B．（﹣a，﹣b）
C．（a，﹣b）
D．（a，b）
12．如图，在中，直径垂直弦于点，且.点为上一点（点不与点，重合），连结，，，，.过点作于点.给出下列结论:①是等边三角形；②在点从的运动过程中，的值始终等于.则下列说法正确的是（
）
A．①，②都对
B．①对，②错
C．①错，②对
D．①，②都错
二、填空题
13．如图，菱形ABCD中，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，当菱形的边长为10，一条对角线为12时，则阴影部分的面积为_____．
14．某批篮球的质量检验结果如下：
抽取的篮球数
优等品的频数
优等品的频率
从这批篮球中，任意抽取一只篮球是优等品的概率的估计值为______．
15．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转50°后得到△COD，如果∠AOB＝15°，那么∠AOD的度数为_____．
16．有五张正面分别标有数﹣2，0，1，3，4的纸片做成无差别的纸团，洗匀后从中任取一个纸团，若展开后将纸片上的数记为a，则使关于x的方程ax﹣1﹣3（x+1）＝﹣3x的解是正整数的概率为_____．
17．如图，小正方形方格的边长都是1，点A、B、C、D、O都是小正方形的顶点．若COD是由AOB绕点O按顺时针方向旋转一次得到的，则至少需要旋转______°．
18．如图，是锐角的外接圆，是的切线，切点为，，连结交于，的平分线交于，连结．下列结论：①平分；②连接，点为的外心；③；④若点，分别是和上的动点，则的最小值是．其中一定正确的是__________(把你认为正确结论的序号都填上)．
三、解答题
19．如图，正方形ABCD，△ABE是等边三角形，M是正方形ABCD对角线AC（不含点A）上任意一点，将线段AM绕点A逆时针旋转60°得到AN，连接EN、DM．求证：EN＝DM．
20．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝30°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若AD＝，求DB的长．
21．如图，是以为直径的圆，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，交于点，直线交的延长线于点，连结．
(1)求证：平分；
(2)若的半径为5，且，求的长．
22．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形)．
（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出点B2、C2的坐标；
（3）在平面内有一动点P，使得以P、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，满足条件的点P的个数为_______．
23．把我们常用的一副三角尺按照如图方式摆放：
（1）如图1，两个三角尺的直角边OA、OD摆放在同一直线上，
①易知AB//CD，理由是____________________________；
②求出∠BOC的度数；
（2）如图2，如果把图1所示的以O为中心顺时针旋转得到∠OA'B'，当∠为多少度时，OB'平分；
（3）如图3，两个三角尺的直角边OA、OD摆放在同一直线上，另一条直角边OB、OC也在同一条直线上，如果把以O为中心顺时针旋转一周，当旋转多少度时，两条斜边AB∥CD，请直接写出答案
24．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．
（1）以点为旋转中心，将旋转180°后得到，请画出；
（2）平移，使点的对应点的坐标为，请画出．
（3）若将绕点旋转可得到，则点的坐标为
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB＝10，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连接CP、OP．
（1）求证：点D为BC的中点；
（2）求AP的长度；
（3）求证：CP是⊙O的切线．
26．如图①，A（﹣5，0），OA＝OC，点B、C关于原点对称，点B（a，a+1）（a＞0）．
（1）求B、C坐标；
（2）求证：BA⊥AC；
（3）如图②，将点C绕原点O顺时针旋转α度（0°＜α＜180°），得到点D，连接DC，问：∠BDC的角平分线DE，是否过一定点？若是，请求出该点的坐标；若不是，请说明理由．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
