章末综合测评(二) 函数
(满分：150分 时间：120分钟)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数f＝的定义域为( )
A．[－1，2)∪(2，＋∞)
B．(－1，＋∞)
C．[－1，2)
D．[－1，＋∞)
2．函数f(x)＝的图象是( )
A B C D
3．设函数f(x)＝
，则f(f(3))＝( )
A．
B．3
C．
D．
4．函数f(x)＝＋，则函数f(x)图象( )
A．关于原点对称
B．关于直线y＝x对称
C．关于x轴对称
D．关于y轴对称
5．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)A．
B．
C．
D．
6．函数f(x)＝的最大值是
( )
A．
B．
C．
D．
7．已知函数f(x)＝ax2－x，若对任意x1，x2∈[2，＋∞)，且x1≠x2，不等式>0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
8．已知f(x)＝是定义在(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．
9．下列函数中与函数y＝x不相同的是( )
A．y＝x2
B．y＝
C．y＝
D．y＝
10．下列函数中，是奇函数(
)
A．y＝x＋1
B．y＝－x2
C．y＝
D．y＝x|x|
11．设函数D(x)＝
，则下列结论正确的是( )
A．D的定义域为R
B．D的值域为{0，1}
C．D是偶函数
D．D是单调函数
12．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
A．b＝－2a
B．a＋b＋c＜0
C．a－b＋c＞0
D．abc＜0
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上．
13．已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈N＋)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减少的，则m＝________.
14．函数f＝－的值域为________．
15．若函数f＝的定义域为R，则a的取值范围为________．
16．设函数f(x)＝，a∈R的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________．
四、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋1，求f(x)在x∈R上的表达式．
18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝x＋的图象过点A.
(1)求实数a的值；
(2)证明函数f(x)在(0，1)上是减函数．
19．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)的图象过点(0，4)，对任意x满足f(3－x)＝f(x)，且有最小值是.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求函数h(x)＝f(x)－(2t－3)x在区间[0，1]上的最小值，其中t∈R；
(3)在区间[－1，3]上，y＝f(x)的图象恒在函数y＝2x＋m的图象上方，试确定实数m的范围．
20．(本小题满分12分)如图所示，有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，且上底CD的端点在圆周上，写出梯形周长y关于腰长x的函数关系式，并求出它的定义域．
21．(本小题满分12分)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f－f，且当x>1时，f(x)<0.
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的单调性；
(3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)<－2.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝
(1)当a＝2时，求f(x)的定义域、值域；
(2)若存在x1≠x2，使f(x1)＝f(x2)，求a的取值范围．
PAGE章末综合测评(二) 函数
(满分：150分 时间：120分钟)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数f＝的定义域为( )
A．[－1，2)∪(2，＋∞)
B．(－1，＋∞)
C．[－1，2)
D．[－1，＋∞)
A [由解得x≥－1，且x≠2.]
2．函数f(x)＝的图象是( )
A B C D
C [因为f(x)＝＝所以其图象为C.]
3．设函数f(x)＝
，则f(f(3))＝( )
A．
B．3
C．
D．
D [因为f(3)＝，所以f(f(3))＝f()＝()2＋1＝＋1＝，故选D.]
4．函数f(x)＝＋，则函数f(x)图象( )
A．关于原点对称
B．关于直线y＝x对称
C．关于x轴对称
D．关于y轴对称
D [函数f(－x)＝|(－x)3＋1|＋|(－x)3－1|＝|1－x3|＋|－x3－1|＝|x3＋1|＋|x3－1|＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数，由函数性质知选项D正确．]
5．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)A．
B．
C．
D．
A [由题意得|2x－1|6．函数f(x)＝的最大值是
( )
A．
B．
C．
D．
D [∵1－x(1－x)＝x2－x＋1＝＋≥，∴≤.]
7．已知函数f(x)＝ax2－x，若对任意x1，x2∈[2，＋∞)，且x1≠x2，不等式>0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
D [不妨设x2>x1≥2，则＝
eq
\f(（ax－x1）－（ax－x2）,x1－x2)＝
eq
\f(a（x－x）－（x1－x2）,x1－x2)＝＝a(x1＋x2)－1.
∵对任意x1，x2∈[2，＋∞)，且x1≠x2，>0恒成立，
∴x2>x1≥2时，a(x1＋x2)－1>0，即a>恒成立．∵x2>x1≥2，∴＜.
∴a≥，即a的取值范围为.故选D.]
8．已知f(x)＝是定义在(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
A [由题意可得解得≤a<，故选A.]
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．
9．下列函数中与函数y＝x不相同的是( )
A．y＝x2
B．y＝
C．y＝
D．y＝
ACD [y＝＝t，t∈R，故只有B选项相同，故选ACD.]
10．下列函数中，是奇函数(
)
A．y＝x＋1
B．y＝－x2
C．y＝
D．y＝x|x|
CD [根据奇函数的定义知：C、D中函数是奇函数．]
11．设函数D(x)＝
，则下列结论正确的是( )
A．D的定义域为R
B．D的值域为{0，1}
C．D是偶函数
D．D是单调函数
ABC [A，B，C正确，由D＝D知，D不是单调函数．]
12．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
A．b＝－2a
B．a＋b＋c＜0
C．a－b＋c＞0
D．abc＜0
AD [由图象知a＜0，对称轴x＝－＝1，则b＝－2a，则b＞0.
由x＝0时，y＝c＞0，
∴abc＜0，
由x＝－1时，y＜0，即a－b＋c＜0，
由x＝1时，y＞0，则a＋b＋c＞0，
故选AD.]
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上．
13．已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈N＋)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减少的，则m＝________.
1 [由题意知m2－2m－3为负的偶数，
由m2－2m－3＝(m－1)2－4<0?|m－1|<2.
∴－1又m∈N＋，∴m＝1或m＝2.
代入m2－2m－3使其为偶数，只有m＝1.]
14．函数f＝－的值域为________．
[由f＝，知f是减函数．又f的定义域是，
所以，f的最大值是f＝，又f>0，
所以，f的值域为
.]
15．若函数f＝的定义域为R，则a的取值范围为________．
[函数f的定义域为R，所以2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，即x2＋2ax－a≥0恒成立，
因此有Δ＝＋4a≤0，解得－1≤a≤0.]
16．设函数f(x)＝，a∈R的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________．
2 [f(x)＝＝1＋，
令g(x)＝，则y＝g(x)是奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0.
所以M＋m＝[1＋g(x)max＋[1＋g(x)min]＝2.]
四、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋1，求f(x)在x∈R上的表达式．
[解] 因为f(x)是定义域在R上的奇函数，所以f(0)＝0，
当x<0时，－x>0，
由已知得，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋1＝x2＋2x＋1＝－f(x)，
所以f(x)＝－x2－2x－1，
所以f(x)＝
18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝x＋的图象过点A.
(1)求实数a的值；
(2)证明函数f(x)在(0，1)上是减函数．
[解] (1)因为函数f(x)＝x＋的图象过点A，所以＝2＋?a＝1.
于是，f(x)＝x＋.
(2)证明：设x1，x2是(0，1)上的任意两个实数，且x1由x1，x2∈(0，1)，得0于是f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).
所以函数f(x)在(0，1)上是减函数．
19．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)的图象过点(0，4)，对任意x满足f(3－x)＝f(x)，且有最小值是.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求函数h(x)＝f(x)－(2t－3)x在区间[0，1]上的最小值，其中t∈R；
(3)在区间[－1，3]上，y＝f(x)的图象恒在函数y＝2x＋m的图象上方，试确定实数m的范围．
[解] (1)由题知二次函数图象的对称轴为x＝，又最小值是，则可设f(x)＝a＋(a≠0).
又图象过点(0，4)，
则a＋＝4，解得a＝1，
∴f(x)＝＋＝x2－3x＋4.
(2)h(x)＝f(x)－(2t－3)x＝x2－2tx＋4＝(x－t)2＋4－t2，其对称轴x＝t.
①t≤0时，函数h(x)在[0，1]上单调递增，最小值为h(0)＝4；
②当0③当t≥1时，函数h(x)在[0，1]上单调递减，最小值为h(1)＝5－2t，
所以h(x)min＝
(3)由已知，f(x)>2x＋m对x∈[－1，3]恒成立，
∴m∴m<(x2－5x＋4)min(x∈[－1，3]).
∵g(x)＝x2－5x＋4在x∈[－1，3]上的最小值为－，
∴m<－.
20．(本小题满分12分)如图所示，有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，且上底CD的端点在圆周上，写出梯形周长y关于腰长x的函数关系式，并求出它的定义域．
[解] AB＝2R，C、D在⊙O的半圆周上，设腰长AD＝BC＝x，作DE⊥AB，
垂足为E，连接BD，则∠ADB是直角，
∴Rt△ADE∽Rt△ABD.
AD2＝AE×AB，即AE＝，
∴
CD＝AB－2AE＝2R－，
所以y＝2R＋2x＋，
即y＝－＋2x＋4R.
再由
，解得0＜x＜R.
所以y＝－＋2x＋4R，定义域为(0，R).
21．(本小题满分12分)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f－f，且当x>1时，f(x)<0.
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的单调性；
(3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)<－2.
[解]
(1)令x1＝x2>0，
代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.
(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1，
由于当x>1时，f(x)<0，
所以f<0，即f(x1)－f(x2)<0，
因此f(x1)所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．
(3)由f＝f－f得f＝f－f，而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2.
由于函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数，
由f(|x|)9，∴x>9或x<－9.
因此不等式的解集为{x|x>9或x<－9}．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝
(1)当a＝2时，求f(x)的定义域、值域；
(2)若存在x1≠x2，使f(x1)＝f(x2)，求a的取值范围．
[解] (1)f(x)的定义域为(－∞，a]∪(a，＋∞)＝R.
当a＝2时，y＝x3在(－∞，2]上是增加的，
∴x3∈(－∞，8].
y＝x2在(2，＋∞)上是增加的，∴x2∈(4，＋∞).
∴f(x)的值域为(－∞，8]∪(4，＋∞)＝R.
(2)当a<0时，f(x)在(a，＋∞)上不单调，
∴存在x1≠x2使f(x1)＝f(x2).
当a＝0时，f(x)在R上是增函数，
∴不存在x1≠x2，使f(x1)＝f(x2).
当a>0时，f(x)在(－∞，a]，(a，＋∞)上都是增加的，
要使x1≠x2时，f(x1)＝f(x2)，
需a3>a2，即a>1.
综上，a的取值范围是(－∞，0)∪(1，＋∞).
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