人教版数学八年级上册13.4最短路 径问题教案

课题 13.4课题学习：最短路径——造桥选址问题 主备人 　
教学 目标 教学知识点
能利用平移解决造桥选址问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用;感悟转化思想。
能力训练要求
在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力培养学生的创新意识及应用意识。
情感与价值观要求
通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性,培养学生乐于探索的学习态度，体现人人都学有所用的数学。
重点 利用平移变换解决造桥选址问题并利用“两点之间，线段最短”公理进行证明
难点 利用平移变换解决问题
关键 平移变换将折线转化为直线　
教学 环节 教师有效问题设计 学生活动设计 设计意图
一、情境引入（5分钟）
二、自主探究、 合作交流
旧知回顾：
师：上节课我们探究了最短路径问题，请你用所学知识解决下面的问题。
问题：要在公路m旁建一所小学，到A村和B村的距离和最小？应该建在什么位置？为什么？
（1）
（2）
2、导入：
在现实生活中还有很多涉及到选择最短路径的问题,本节我们将再利
用数学知识来探究 数学中有名的“造桥选址问题”
出示问题：
造桥选址问题：
A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥建在何处才能使从A到B的路径AMNB最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)
教师出示引导分析：
先将实际问题抽象为几何模型，
直接连接AB行吗？为什么？
路径是哪些线段之和？
桥的位置发生变化后，路径中哪些线段是不变的，哪些在变？
4、路径最短就是哪些线段之和最小？
5、路径中的线段可以转化吗？
课件演示：将直线L一分为二，上面部分向上平移变为如图，再将上面部分向下平移回到直线异侧两点的情况。
（意图：让学生认识到为什么要将A点沿桥的方向平移一个桥长）
引导学生充分探究后，教师归纳：如图，平移A到A1，使ＡA1等于河宽，连接A1Ｂ交河岸于Ｎ点，建桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.（课件展示）
这是最短吗？
引导证明
理由:另任作桥M1N1,连接AM1,BN1,A1N1. 由平移性质可知,AM=A1N,AA1=MN=M1N1,AM1=A1N1. AM+MN+BN转化为AA1+A1B,而AM1+M1N1+BN1 转化为AA1+A1N1+BN1. 在△A1N1B中,由线段公理知A1N1+BN1>A1B.因此AM1+M1N1+BN1> AM+MN+BN,
是
师：还有不同的方法吗？
回顾第一课时内容，思考问题，并回答问题
（抽学生回答，教师出示作图课件）
学生看完题后抽象出如下模型，
思考，交流并回答问题
桥就与河岸不垂直了，
AM+MN+BN，
MN不变，AM、BN在变，
AM+BN
根据老师的提示画图
回顾“将军饮马问题”的证明方法
学生可能会想到平移B点，教师已可稍作提示。
对问题的探索做准备，
激发学生兴趣
通过层层递进将问题逐步简化，让学生能真正参与到教学活动之中。
展示幻灯片达到直观，并能作为归纳的作用
让学生认识到为什么要将A点沿桥的方向平移一个桥长
三、反馈训练，拓展延伸 1、如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）
按上面的思路进行引导，尽量让学生思考解决。
2、如图，A和B两地之间有三条河，现要在两条河上各造一座桥MN、PQ和GH.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）
当有n条河时呢？
让学生自主思考，并归纳 按上面的方法思考、讨论、交流解决问题
沿垂直于河岸方向依次把Ａ点移到Ａ１、Ａ１点移到Ａ２，使ＡＡ１＝ＭＮ，Ａ１Ａ２　＝ＰＱ　；
连接Ａ２Ｂ交于Ｂ点相邻河岸于Ｑ点，建桥ＰＱ；
连接Ａ１Ｐ交Ａ１的对岸于Ｎ点，建桥ＭＮ；
从Ａ点到Ｂ点的最短路径为ＡM＋MN＋ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ．
2
起到对知识检验，创新思维培养的作用
四、归纳小结 本节课我们学习了什么？你有何体会？ 学生发言归纳，相互补充