1.4 三角函数的图象与性质 同步练习（含解析）

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人教新课标A版
必修四
1.4
三角函数的图象与性质
一、单选题
1.下列函数中，周期是
的偶函数为（???
）.
A.???????????????????????????B.???????????????????????????C.???????????????????????????D.?
2.函数
的定义域是（???
）
A.???????????????????????????????B.?
C.??????????????????????????D.?
3.函数y＝tan
的定域是（???
）
A.???????????B.???????????C.???????????D.?
4.函数
图象的对称中心坐标为（??
?）
A.?????????????????B.?????????????????C.?????????????????D.?
5.关于函数
在以下说法中正确的是（???
）
A.?
上是增函数??????B.?
上是减函数??????C.?
上是减函数??????D.?
上是减函数
6.不等式
的解集是（???
）
A.??????????????????????????B.?
C.??????????????????????D.?
7.设
，
，
，则（??
?）
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????D.?
8.函数
，
的单调递减区间是（???
）
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
9.
的一条对称轴是（???
）
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
10.若函数
是偶函数，则
的一个值可能是（???
）
A.?0??????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
11.已知
在
上有最小值，则实数t的取值范围可以是（???
）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
二、填空题
12.函数
的最小值为________.
13.关于下列命题：
①若
是第一象限角，且
，则
；
②函数
是偶函数；
③函数
的一个对称中心是
；
④函数
在
上是增函数，
所有正确命题的序号是________．
14.函数
，
的值域________．
15.函数
的图象与直线y＝－3及y轴围成的图形的面积为________．
三、解答题
16.已知
（1）若
时，
的最大值为
，求
的值；
（2）求函数
的单调递增区间.
17.已知函数
（1）求出函数的最大值及取得最大值时的
的值；
（2）求出函数在
上的单调区间；
（3）当
时，求函数
的值域。
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
C
【解析】【解答】A选项，函数
的定义域为R，且
，所以函数
为偶函数，周期为
；
B选项，函数
的定义域为R，且
，所以函数
为奇函数，周期为
；
C选项，函数
的定义与为R，且
，所以函数
为偶函数，周期为
；
D选项，函数
的定义域为R，且
，所以函数
为偶函数，不具有周期性.
故答案为：C
【分析】分别根据定义判断各选项中函数的奇偶性与周期性，即可选出正确答案.
2.【答案】
C
【解析】【解答】解：由
得：
.
所以函数
的定义域是
.
故答案为：C.
【分析】根据函数的定义域得到：
，求解不等式即可得出定义域.
3.【答案】
C
【解析】【解答】
，
，
，
，
，
函数的定义域是
，
故答案为：C．
【分析】由正切函数的定义得，
，
，求出x的取值范围．
4.【答案】
D
【解析】【解答】令
，则
，
所以函数
图象的对称中心坐标为
.
故答案为：D.
【分析】由题意结合正切函数的图象与性质可得
，即可得解.
5.【答案】
B
【解析】【解答】
，它在
上是减函数．
故答案为：B．
【分析】用诱导公式化简后结合余弦函数的性质判断．
6.【答案】
A
【解析】【解答】
当
时，
，
且
单调递增，
所以
，
因为
的周期为
，
所以不等式的解集为
.
故答案为：A.
【分析】先得到
内满足不等式的x的范围，再根据正切函数的周期性，得到答案.
7.【答案】
D
【解析】【解答】因为
，
，所以
，
，且
，所以
，
，所以
,
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合诱导公式、同角三角函数基本关系式，再利用正弦函数、余弦函数和正切函数的图象，结合中间量比较法，从而推出a,b,c三者的大小关系。
8.【答案】
A
【解析】【解答】由题意,令
,解得
,
取
,得
,
则函数
在
的单调递减区间是
.
故答案为：A.
【分析】令
,可求得函数的单调递减区间,进而取
可求出答案.
9.【答案】
C
【解析】【解答】由题意，
=kπ+
，
∴x=2kπ+
，（k∈Z），
∴
的一条对称轴是x=
，
故答案为：C．
【分析】利用换元法将三角型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数图象，从而求出三角型函数
的一条对称轴。
10.【答案】
B
【解析】【解答】
函数
是偶函数，
，即
，
或
，
，
当
时，可得
，不满足偶函数定义中的任意性；
当
时，
，
，
当
时，
.
故答案为：B.
【分析】由函数的奇偶性的定义可得
需满足的条件为
，
，结合选项可得答案．
11.【答案】
D
【解析】【解答】因为
，
所以
，
因为
有最小值，结合
的图像与性质可得
，即
，
故t的范围可以是
，
故答案为：D
【分析】根据x的范围，可求出
的范围，结合
的图像与性质，即可求解。
二、填空题
12.【答案】
-3
【解析】【解答】
，
，
，
所以函数的最小值为-3.
故答案为：-3
【分析】根据余弦型函数的图象与性质即可求解.
13.【答案】
②③
【解析】【解答】对于①，若α，β是第一象限角，且α>β，可令α=390°，β=30°，则sin
α=sin
β，所以①错误；
对于②，函数y=sin
=-cos
πx，f(
x)=-cos(
πx)=f(x)，则为偶函数，所以②正确；
对于③，令2x-
=kπ，解得x=
(k∈Z)，所以函数y=sin
的对称中心为
，
当k=0时，可得对称中心为
，所以③正确；
对于④，函数
，当
时，
，所以函数
在区间
上单调递减，所以④不正确．
综上，命题②③正确．
【分析】结合相关知识对给出的每个选项分别进行分析、判断可得正确的命题．
14.【答案】
【解析】【解答】
，
当
时，令
，则
，
二次函数
的图象开口向下，对称轴为直线
，
则函数
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
当
时，函数
取得最大值，即
；
当
或
时，函数
取得最小值，即
.
因此，函数
，
的值域为
.
故答案为：
.
【分析】令
，可得出
，可转化为二次函数
在
上的值域问题，利用二次函数的基本性质求解即可.
15.【答案】
【解析】【解答】已知两函数的图象如下，
根据三角函数图象的对称性，
可知所求图形面积为矩形面积的一半，
又矩形面积为
，故所求图形面积为
，
故答案为：.
【分析】利用三角型函数图象的对称性得知所求图形面积为矩形面积的一半，再利用矩形的面积公式，从而求出函数??的图象与直线y＝－3及y轴围成的图形的面积。
三、解答题
16.【答案】
（1）解：由题得函数的最大值为
，
（2）解：对于
，令
，求得
，可得
的单调递增区间为
，
，
【解析】【分析】（1）由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得
在R上的最大值，再根据最大值为4，求得
的值；（2）由题意利用正弦函数的单调性，求得
的单调递增区间．
17.【答案】
（1）解：
（2）解：
（3）解：因为
，
所以，
，所以函数
的值域为
【解析】【分析】（1）结合三角函数的基本性质，在对称轴取到最大值,即可得出答案。（2）结合正弦函数单调性，判断正弦型函数单调性,即可得出答案。（3）计算出的范围，结合三角函数性质,即可得出答案。
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