3.2函数的单调性（第1课时）教学设计（Word）

函数的单调性教学设计
教材分析
函数的单调性是人教A版普通高中教科书必修第一册第三章第二节第一课时的内容，是在学生已学函数的概念和表示法的基础上，对函数的进一步探究，是揭示函数变化中的不变性的第一个重要性质。
1.从内容层面看：本节课是函数单调性的第一课时，该课时主要学习增函数、减函数的定义，以及应用定义证明函数的单调性；
2.从地位与作用层面看：函数的单调性是对函数概念的延续和拓展，也是后续研究几类具体函数的基础；在比较数的大小、函数的定性分析以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用，它在整个高中数学中起着承上启下的作用，是函数部分最核心的知识之一；
3.从本节课方法论层面看：本节课渗透了数形结合、类比转化、特殊到一般等数学思想方法.
学情分析
从知识基础层面看：高一年级学生已学习了函数概念等有关基础知识，并且接触了一些特殊的单调函数；
从认知水平与能力层面看:高一学生已初步具有数形结合思维能力，能在教师的引导下独立地解决问题；
从任教班级学生特点层面看:基础扎实，思维较活跃，观察讨论，类比转化能力有待提高.
三．教学目标
1.知识与技能：
（1）理解增函数与减函数的定义；
（2）了解单调区间的概念并能根据图像说出函数的单调区间；
（3）会根据定义证明函数的单调性；
2.过程与方法：
（1）在函数单调性定义的形成过程中体会数形结合、类比归纳的思想方法；
（2）通过运用函数单调性的定义证明来提高学生的逻辑思维能力；
3.情感、态度与价值观：
（1）让学生积极参与课堂教学活动，从中体会成功的喜悦；
（2）让学生领会从特殊到一般再从一般到特殊的方法去观察分析事物.
四．教学重点与难点
1.教学重点：函数单调性的概念与判断；
2.教学难点：利用定义证明函数单调性.
教法与学法
（一）教学方法——问答式和探究式：
1.通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生主体参与的积极性；
2.在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用．具体体现在设问、讲评和规范书写等方面，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并成功地完成书面表达；
3.应用多媒体，
数学软件，增大教学容量和直观性；
（二）学法方法：
1.让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和解决问题的能力；
2.让学生利用图形直观性启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的一个飞跃.
六、教学过程
（一）创设情景
下图是某地区2020年元旦24小时内气温变化图，观察下图，回答以下两个问题：
说出气温在哪些时间段内是逐步升高或下降的？
怎样用数学语言来刻画上述时间段内“随着时间的增加气温逐步上升”这一特征？
【设计意图】
由于数学的一切发展都不同程度地归结为现实的需要，因此，创设实际生活的情境，能够让学生切实感受到数学是源于生活的，激发学生学习数学知识的兴趣，调动学生学习数学知识的欲望，唤起学生的“主角”意识。
（二）初步感知
画出下列函数的图象，观察其变化规律：
（1）f(x)
=
x
从左至右图象上升还是下降
______?
在区间
____________
上，随着x的增
大，f(x)的值随着
________
．
（2）f(x)
=
-x
从左至右图象上升还是下降
______?
在区间
____________
上，随着x的增
大，f(x)的值随着
________
．
（3）f(x)
=
x2
在区间
____________
上，
f(x)的值随着x的增大而
________
．
在区间
____________
上，f(x)的值随
着x的增大而
________
．
【设计意图】
通过学生的观察、分析、比较、归纳、抽象、概括来培养学生抽象概括能力；
由图象特征和数量特征阐述函数的单调性，为下一步严密数学语言描述做铺垫.
深入探究
问题1：如何利用函数解析式f(x)=x2描述“在(－∞，0)上，随着自变量x的增大，相应的函数值f(x)随着减小？”
问题2：对比二次函数的图象和表格,你能发现什么？
问题3：当-2<-1时有f(-2)>f(-1),
你还能举出类似的例子吗？
问题4：存在x1f(x2)，可以推出f(x)是减函数吗？
问题5：通过前边的问题，你可以尝试给减函数下一个定义吗？
【设计意图】
将学生分成六人一组，通过观察图象，发现数量关系，由具体到抽象，由模糊到清晰,逐步归纳、概括、抽象出单调增函数概念的本质属性，并尝试用符号语言进行初步的表述。为了获得单调增函数概念，从不同的小组中抽取学生的进行表述，然后由老师进行分析、归类，引导学生得出单调增函数概念，并向学生指出关键词“区间内”、“任意”、“当x1＜x2时，都有f(x1
)＜f(x2)”．告诉他们“把满足这些条件的函数称之为单调增函数”，之后由老师与学生一起给出单调增函数概念的数学表述．然后请学生们类比单调增函数概念，给出单调减函数概念.最后老师完成单调性和单调区间概念的整体表述.
（四）形成定义
1.减函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x1)>f(x2)，那么说f(x)在区间D上
。
特别的，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是_______.
问题6：类比减函数的定义，你能概括出增函数的定义吗？
2．增函数
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1特别的，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是_________。
3．函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是_______或________，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的________。
【设计意图】
数学概念的形成来自解决实际问题和数学自身发展的需要．但概念的高度抽象，造成了难懂、难教和难学，这就需要让学生置身于符合自身实际的学习活动中去，从自己的经验和已有的知识基础出发，经历“数学化”、“再创造”的活动过程．刚升入高一的学生已经具备了一定的几何形象思维能力，但抽象思维能力不强．从日常的描述性语言概念升华到用数学符号语言精确刻画概念是本节课的难点．?
（五）典型例题
根据函数图象说明函数的单调性．
例1
：如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
练习1：根据以下函数图象，指出其单调区间
.
例2：
证明函数在为增函数.
练习2：证明函数在（1，+∞）上为增函数
总结：
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
①
取值：任取x1，x2∈D，且x1②
作差变形：f(x1)－f(x2)，并将差分解为几个因式的积或商；
③定号：判断差f(x1)－f(x2)的正负；
④结论：指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性。
【设计意图】
有效的数学学习过程，不能单纯的模仿与记忆，数学思想的领悟和学习过程更是如此．利用学生自己提出的问题，让学生在解题过程中亲身经历和实践体验，师生互动学习，生生合作交流，共同探究
（六）归纳总结
通过本节课的学习我们收获了哪些数学知识和思想方法？从以下几点来回顾：
1.增（减）函数的图象有什么特点？如何根据图象指出单调区间？
2.怎样用定义证明函数的单调性？
3.在增（减）函数概念的形成过程，你学习到了什么？
【设计意图】
体现“教师为主导，学生为主体”的思想；
通过小结使学生对本节课所学知识的结构有一个明晰的认识，从而实现对函数单调性认识的再次深化，以便于能抓住重点进行课后复习
（七）布置作业
课本P79练习：1,2,3,4题
【设计意图】
通过作业，使学生养成先看书，后做作业的习惯．课后作业是对课堂知识的深化理解．
七．教学反思
本节课是一节概念课，重点应放在概念的理解和运用上；首先创设情景，以一个现实生活中的例子引入本节课，激发学生的学习兴趣和探究的欲望；然后让学生动手作图，直观感知图象的上升和下降趋势，并用通俗的语言定性表述随着自变量的增大函数值的变化情况，为下一步用符号语言定量刻画做准备；紧接着深入探究函数单调性的定义，通过观察二次函数的图象和表格，在老师一个又一个问题的启发下，逐步得到减函数的概念，然后小组讨论得出增函数的概念；最后归纳出增、减函数的定义，强调关键词；然后通过例题讲解与练习深化概念，同学代表上台板演，老师指点迷津，规范书写格式；最后师生共同总结本节课所学知识与方法，布置课下作业。整节课环节层层递进，学生对函数单调性的认识由直观到抽象，由特殊到一般，逐步深化。如果在对课堂节奏的把控上，重点、难点的讲解上，以及例题的选取上知识把握的精准度上在再多一些功夫就会更上一层楼。
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