1.1.3 四种命题间的相互关系

(共20张PPT)
授课班级：高二（7）班
1、命题：一般地，在数学中用语言、符号或式子表
达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。
其中，判断为真的语句叫做真命题，
判断为假的语句叫做假命题。
2、命题的形式：
“若p，则q”
其中，p叫做命题的条件，q叫做命题的结论。
复 习
交换原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的 ________
同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的________
交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是 原命题的__________
逆命题。
否命题。
逆否命题。
3、四种命题：原命题
逆命题
否命题
逆否命题
若 p，则 q
若 q，则 p
若﹁ p, 则﹁ q
若﹁ q, 则﹁ p
若p, 则q
原命题
若q, 则p
逆命题
否命题
若﹁ p, 则﹁ q
逆否命题
若﹁ q, 则﹁p
互 为 逆 否
互 为 逆 否
互 逆
互 逆
互 否
互 否
？
？
？
原命题：若 a>b， 则 a+c>b+c .
逆命题：
逆否命题：
否命题：
若 a+c>b+c，则 a>b.
若 a≤b，则 a+c≤b+c.
若 a+c≤b+c，则 a≤b.
练习：分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否
命题，并判断它们的真假。
(真)
(真)
(真)
(真)
四种命题之间的真假性是否有一定的相互关系？
问题 1——互为逆命题的两个命题间的真假关系
①原命题：若 a>b，则 a+c>b+c。
逆命题：若 a+c>b+c，则 a>b。
②原命题：若四边形是正方形，则四边形的两对角线互相垂直。
逆命题：若四边形的两对角线互相垂直，则四边形是正方形。
③原命题：若 a>b，则 ac2>bc2。
逆命题：若 ac2>bc2，则 a>b。
④原命题：若四边形的对角线相等，则四边形是平行四边形。
逆命题：若四边形是平行四边形，则四边形的对角线相等。
真
真
真
假
假
真
假
假
1、写出下列命题的逆命题，并判断命题的真假。
结 论 1
原命题的真假和逆命题的真假没有关系。
也就是说，两个命题为互逆命题，它们的真假性没有关系。
问题 2——互为否命题的两个命题间的真假关系
①原命题：若 a>b，则 a+c>b+c。
②原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线互相垂直。
③原命题：若 a>b，则 ac2>bc2。
④原命题：若四边形的对角线相等，则四边形是平行四边形。
真
真
真
假
假
真
假
假
2、写出下列命题的否命题，并判断命题的真假。
否命题：若a≤b，则 a+c≤b+c。
否命题：若四边形不是正方形，则四边形两对角线互相不垂直。
否命题：若a≤b，则 ac2≤bc2。
否命题：若四边形对角线不相等，则四边形不是平行四边形。
结 论 2
原命题的真假和否命题的真假没有关系。
也就是说，两个命题为互否命题，它们的真假性没有关系。
问题 3——互为逆否命题的两个命题间的真假关系
①原命题：若 a>b，则 a+c>b+c。
②原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线互相垂直。
③原命题：若 a>b，则 ac2>bc2。
④原命题：若四边形的对角线相等，则四边形是平行四边形。
真
真
真
真
假
假
假
假
3、 写出下列命题的逆否命题，并判断命题的真假。
逆否命题：若 a+c≤b+c，则 a≤b。
逆否命题：若四边形两对角线互相不垂直，则四边形不是正方形。
逆否命题：若 ac2≤bc2，则 a≤b。
逆否命题：若四边形不是平行四边形，则四边形的对角线不相等。
结 论 3
原命题和逆否命题同真同假。 也就是说， 两个命题互为逆否命题，它们的真假性相同。
四种命题的真假性之间的关系如下：
1、两个命题互为逆否命题，它们的真假性相同；
2、两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。
四种命题的真假性,有且只有下面四种情况:
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
真
真
真
真
真
假
假
假
假
假
假
假
假
例1：以“若x -3x+2=0，则x=2”为原命题，写出它的
逆命题、否命题与逆否命题，并判断真假。
逆命题：若x=2，则x -3x+2=0.
否命题：若x -3x+2≠0，则x≠2.
逆否命题：若x≠2，则x -3x+2≠0.
（真）
（真）
（假）
分析：原命题的条件p:x -3x+2=0，结论q:x=2.
找出原命题的
条件p和结论q
按照四种命题的
结构写出所以命题
判断真假
（互为逆否命题的两个命题真假性相同）
解： 原命题：若x -3x+2=0，则x=2.
（假）
练习：写出命题“若x>5，则x>0”的逆命题、否命题
与逆否命题，并判断真假。
分析：原命题的条件p:x>5，结论q:x>0.
逆命题：若x>0， 则x>5.
否命题：若x≤5，则x≤0.
逆否命题：若x≤0，则x≤5.
（假）
（假）
（真）
解：原命题：若x>5， 则x>0.
（真）
例2：证明：若x +y =0，则x=y=0.
分析：在判断一个命题的真假有困难时，我们可以判断其
等价命题——逆否命题的真假。因为互为逆否命题
的两个命题真假性相同。
解：原命题的逆否命题:
“若x，y中至少有一个不为0，则x +y ≠0”.
因此，不妨设 x≠0，则 x >0，
所以 x +y >0，
原命题的逆否命题是真命题，原命题也为真命题。
即 x +y ≠0.
P8 证明：若a -b +2a-4b-3≠0，则a-b≠1.
练 习
证明：原命题的逆否命题是:
“若a-b=1 ，则a -b +2a-4b-3=0”.
∵ a-b=1，
∴ a -b +2a-4b-3=(a+b)(a-b)+2a-4b-3
=a+b+2a-4b-3
=3a-3b-3
=3(a-b)-3
=0
所以，原命题的逆否命题是真命题，原命题也为真命题。
课堂小结
若p, 则q
原命题
若q, 则p
逆命题
否命题
若﹁ p, 则﹁ q
逆否命题
若﹁ q, 则﹁p
互为逆否
互为逆否
互逆
互 否
真假无关
真假无关
互逆
真假无关
互 否
真假无关
同真同假
同真同假
作业：P8 A组
T 3、4