章末综合测评(二) 向量的数量积与三角恒等变换
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若向量a＝(3，m)，b＝(2，－1)，a·b＝0，则实数m的值为( )
A．－
B．
C．2
D．6
D [a·b＝6－m＝0，∴m＝6.]
2．设向量a＝，若a的模长为
，则cos
2α等于( )
A．－
B．－
C．
D．
A [∵|a|＝＝，∴cos2α＝.
∴cos
2α＝2cos2α－1＝－.]
3．tan
17°＋tan
28°＋tan
17°tan
28°等于( )
A．－
B．
C．－1
D．1
D [tan
17°＋tan
28°＋tan
17°tan
28°
＝tan(17°＋28°)(1－tan
17°tan
28°)＋tan
17°tan
28°
＝1－tan
17°tan
28°＋tan
17°tan
28°＝1.]
4．若a，b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角θ是( )
A．
B．
C．
D．
B [因为a2－2a·b＝0，b2－2a·b＝0，
所以a2＝b2＝2a·b，|a|＝|b|，
所以cos
θ＝＝＝，所以θ＝.]
5．已知0<α<<β<π，又sin
α＝，cos(α＋β)＝－，则sin
β等于( )
A．0
B．0或
C．
D．±
C [因为0<α<<β<π且sin
α＝，cos
(α＋β)＝－，所以cos
α＝，<α＋β<π，
所以sin(α＋β)＝±，当sin(α＋β)＝时，
sin
β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos
α－cos(α＋β)sin
α＝×－×＝，
当sin(α＋β)＝－时，sin
β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos
α－cos(α＋β)sin
α
＝－×－×＝0.
又β∈，所以sin
β>0，故sin
β＝.]
6．若向量a＝，b＝(1，sin
75°)，则a·b＝( )
A．1
B．2
C．4
D．8
C [由向量a＝，b＝(1，sin
75°)，
所以a·b＝tan
15°＋＝＋＝＝＝4，故选C．]
7．设函数f(x)＝asin
xcos
x－2sin2x，若直线x＝是f(x)图像的一条对称轴，则( )
A．f(x)的最小正周期为π，最大值为1
B．f(x)的最小正周期为π，最大值为2
C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为1
D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为2
A [f(x)＝asin
xcos
x－2sin2x＝sin
2x＋cos
2x－1＝－1，
令cos
θ＝，sin
θ＝，则tan
θ＝，其中θ是参数，则f(x)＝sin(2x＋θ)－1，
则函数的最小正周期T＝＝π，因为直线x＝是f(x)图像的一条对称轴，
所以2×＋θ＝kπ＋，即θ＝kπ＋，
则tan
θ＝tan＝tan＝，
即＝，得a＝2，则函数f(x)的最大值为－1＝－1＝－1＝2－1＝1，故选A．]
8．设α，β为钝角，且sin
α＝，cos
β＝－，则α＋β的值为( )
A．
B．
C．
D．或
C [因为α，β为钝角，sin
α＝，
所以cos
α＝－
＝－eq
\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5))))＝－.
由cos
β＝－，得
sin
β＝＝eq
\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－3\r(10),10))))＝，
所以cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β
＝×－×＝.
又因为π<α＋β<2π，所以α＋β＝.]
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．下列计算正确的是( )
A．＝1
B．1－2sin275°＝
C．cos4－sin4＝
D．cos275°＋cos215°＋cos
75°cos
15°＝
ACD [对于选项A，＝tan
45°＝1；对于选项B,1－2sin275°＝cos
150°＝－；对于选项C，cos4－sin4＝
＝cos＝；对于选项D，原式＝sin215°＋cos215°＋sin
15°cos
15°＝1＋sin
30°＝1＋＝.]
10．若函数y＝sincos＋cos·sin，则( )
A．函数的周期为2π
B．函数的一个对称中心为
C．函数的一条对称轴为x＝π
D．函数的值域为[－1,1]
ACD [y＝sin·cos－cos
sin＝sin＝sin＝cos
x，故周期为2π，x＝π是函数y＝cos
x的一条对称轴，值域为[－1,1]．]
11．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论不正确的是( )
A．|b|＝1
B．a⊥b
C．a·b＝1
D．(4a＋b)⊥
ABC [在△ABC中，由＝－＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2.又|a|＝1，所以a·b＝|a||b|cos
120°＝－1，所以(4a＋b)·＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥.]
12．已知锐角α，β满足sin
α－cos
α＝，tan
α＋tan
β＋tan
αtan
β＝，则( )
A．<α<
B．β<<α
C．<α<β
D．<β<α
AB [因为α为锐角，sin
α－cos
α＝>0，
所以<α<.
又tan
α＋tan
β＋tan
αtan
β＝，
所以tan(α＋β)＝＝，
所以α＋β＝，又α>，
所以β<<α.]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．若2sin(π＋x)－cos＝1，则cos
2x＝________.
[因为2sin(π＋x)－cos＝1，
所以－2sin
x－sin
x＝1，
所以sin
x＝－，
所以cos
2x＝1－2sin2x＝.]
14．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，若n⊥(－4m＋n)，则m，n夹角的余弦值为________
[因为非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，
n⊥(－4m＋n)，
所以|m|＝|n|，且n·(－4m＋n)＝n2－4m·n＝0，
即m·n＝.
设m，n夹角为θ，则cos
θ＝＝＝.]
15．已知tan(α＋β)＝，tan＝－2，则tan＝________，tan(α＋2β)＝________.(本题第一空2分，第二空3分)
－8 [tan＝tan＝
＝＝－8.
tan＝＝－2，tan
β＝－.
tan(α＋2β)＝＝.]
16．已知x∈，函数f(x)＝2sin2＋sin2x＋＋3m，若f(x)＜2恒成立，则m的取值范围是________．
[f(x)＝2sin2＋sin2x＋＋3m＝1－cos＋cos
2x＋3m
＝3m＋1－2sin，
因为≤x≤，所以≤2x－≤π，则3m－1≤f(x)≤3m＋1，
因为f(x)＜2恒成立，所以3m＋1＜2，解得m＜.
所以m的取值范围是.]
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知向量a＝(sin
x,1)，b＝，其中x∈(0，π)．
(1)若a∥b，求x的值；
(2)若tan
x＝－2，求|a＋b|的值．
[解] (1)因为a∥b，所以sin
xcos
x＝，
即sin
2x＝1.
因为x∈(0，π)，所以x＝.
(2)因为tan
x＝＝－2，
所以sin
x＝－2cos
x.
因为a＋b＝，
所以|a＋b|＝
＝＝.
18．(本小题满分12分)已知向量a＝(2cos
α，2sin
α)，b＝(cos
α－sin
α，cos
α＋sin
α)．
(1)求向量a与b的夹角；
(2)若(λb－a)⊥a，求实数λ的值．
[解] (1)|a|＝2，|b|＝，a·b＝2cos2α－2sin
αcos
α＋2sin
αcos
α＋2sin2α＝2，
所以cos〈a，b〉＝＝.
又0≤〈a，b〉≤π，所以a与b的夹角为.
(2)因为(λb－a)⊥a，
所以(λb－a)·a＝λa·b－a2＝2λ－4＝0，所以λ＝2.
19．(本小题满分12分)(1)求值：.
(2)已知sin
θ＋2cos
θ＝0，求的值．
[解] (1)原式＝
＝＝＝2＋.
(2)由sin
θ＋2cos
θ＝0，
得sin
θ＝－2cos
θ，又cos
θ≠0，
则tan
θ＝－2，
所以
＝
＝
＝
＝.
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(3x＋φ)(A>0，x∈(－∞
，＋∞)，0<φ<π)在x＝
时取得最大值4.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的解析式；
(3)若f＝
，求sin
α.
[解] (1)因为f(x)＝Asin(3x＋φ)，所以T＝，即f(x)的最小正周期为.
(2)因为当x＝时，f(x)有最大值4，所以A＝4.
所以4＝4sin，
所以sin＝1.
即＋φ＝2kπ＋，得φ＝2kπ＋(k∈Z)．
因为0<φ<π，所以φ＝.
所以f(x)＝4sin.
(3)因为f＝4sin
＝4sin＝4cos
2α.
由f＝，得4cos
2α＝，所以cos
2α＝，
所以sin2α＝(1－cos
2α)＝，
所以sin
α＝±.
21．(本小题满分12分)已知向量a＝(sin
x,1)，b＝(cos
x，－1)．
(1)若a∥b，求tan
2x的值；
(2)若f(x)＝(a＋b)·b，当x∈时，求函数f(x)的最大值．
[解] (1)因为向量a＝(sin
x,1)，b＝(cos
x，－1)，
又a∥b，所以1×cos
x＝－1×(sin
x)，
所以tan
x＝－，
所以tan
2x＝＝－.
(2)因为f(x)＝(a＋b)·b，所以f(x)＝sin
xcos
x＋cos2x＝sin
2x＋cos
2x＋＝sin＋，
因为x∈，
所以2x＋∈，
当2x＋＝，即x＝时，函数取最大值为.
22．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD是边长为10的正方形，以点A为圆心，9为半径画弧，分别交AB，AD于点E，F，P为上一动点，过点P分别作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N，求矩形PMCN的面积的最小值．
[解] 连接PA，设∠PAE＝θ，如图所示．
设矩形PMCN的面积为S，延长NP交AB于点H，
则PM＝HB＝AB－AH＝10－9cos
θ，
PN＝HN－HP＝10－9sin
θ.
所以S＝PM·PN
＝(10－9cos
θ)(10－9sin
θ)
＝100－90sin
θ－90cos
θ＋81sin
θcos
θ.
设sin
θ＋cos
θ＝t.
则S＝100－90t＋(t2－1)
＝t2－90t＋
＝＋.
因为θ∈，
所以t＝sin
θ＋cos
θ＝sin∈[1，]，
所以当t＝时，Smin＝，
故矩形PMCN的面积的最小值为.
PAGE章末综合测评(二) 向量的数量积与三角恒等变换
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若向量a＝(3，m)，b＝(2，－1)，a·b＝0，则实数m的值为( )
A．－
B．
C．2
D．6
2．设向量a＝，若a的模长为
，则cos
2α等于( )
A．－
B．－
C．
D．
3．tan
17°＋tan
28°＋tan
17°tan
28°等于( )
A．－
B．
C．－1
D．1
4．若a，b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角θ是( )
A．
B．
C．
D．
5．已知0<α<<β<π，又sin
α＝，cos(α＋β)＝－，则sin
β等于( )
A．0
B．0或
C．
D．±
6．若向量a＝，b＝(1，sin
75°)，则a·b＝( )
A．1
B．2
C．4
D．8
7．设函数f(x)＝asin
xcos
x－2sin2x，若直线x＝是f(x)图像的一条对称轴，则( )
A．f(x)的最小正周期为π，最大值为1
B．f(x)的最小正周期为π，最大值为2
C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为1
D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为2
8．设α，β为钝角，且sin
α＝，cos
β＝－，则α＋β的值为( )
A．
B．
C．
D．或
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．下列计算正确的是( )
A．＝1
B．1－2sin275°＝
C．cos4－sin4＝
D．cos275°＋cos215°＋cos
75°cos
15°＝
10．若函数y＝sincos＋cos·sin，则( )
A．函数的周期为2π
B．函数的一个对称中心为
C．函数的一条对称轴为x＝π
D．函数的值域为[－1,1]
11．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论不正确的是( )
A．|b|＝1
B．a⊥b
C．a·b＝1
D．(4a＋b)⊥
12．已知锐角α，β满足sin
α－cos
α＝，tan
α＋tan
β＋tan
αtan
β＝，则( )
A．<α<
B．β<<α
C．<α<β
D．<β<α
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．若2sin(π＋x)－cos＝1，则cos
2x＝________.
14．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，若n⊥(－4m＋n)，则m，n夹角的余弦值为________
15．已知tan(α＋β)＝，tan＝－2，则tan＝________，tan(α＋2β)＝________.(本题第一空2分，第二空3分)
16．已知x∈，函数f(x)＝2sin2＋sin2x＋＋3m，若f(x)＜2恒成立，则m的取值范围是________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知向量a＝(sin
x,1)，b＝，其中x∈(0，π)．
(1)若a∥b，求x的值；
(2)若tan
x＝－2，求|a＋b|的值．
18．(本小题满分12分)已知向量a＝(2cos
α，2sin
α)，b＝(cos
α－sin
α，cos
α＋sin
α)．
(1)求向量a与b的夹角；
(2)若(λb－a)⊥a，求实数λ的值．
19．(本小题满分12分)(1)求值：.
(2)已知sin
θ＋2cos
θ＝0，求的值．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(3x＋φ)(A>0，x∈(－∞
，＋∞)，0<φ<π)在x＝
时取得最大值4.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的解析式；
(3)若f＝
，求sin
α.
21．(本小题满分12分)已知向量a＝(sin
x,1)，b＝(cos
x，－1)．
(1)若a∥b，求tan
2x的值；
(2)若f(x)＝(a＋b)·b，当x∈时，求函数f(x)的最大值．
22．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD是边长为10的正方形，以点A为圆心，9为半径画弧，分别交AB，AD于点E，F，P为上一动点，过点P分别作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N，求矩形PMCN的面积的最小值．
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