模块综合测评(一)
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知角α的终边过点P(-4m,3m)(m≠0),则2sin
α+cos
α的值是( )
A.1或-1
B.或-
C.1或-
D.-1或
B [当m>0时,2sin
α+cos
α=2×+=;
当m<0时,2sin
α+cos
α=2×+=-.]
2.已知向量a=(cos
75°,sin
75°),b=(cos
15°,sin
15°),则|a-b|的值为( )
A.
B.1
C.2
D.3
B [如图,将向量a,b的起点都移到原点,即a=,b=,则|a-b|=||且∠xOA=75°,∠xOB=15°,于是∠AOB=60°,又因|a|=|b|=1,则△AOB为正三角形,从而||=|a-b|=1.]
3.函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图像如图所示,为了得到g(x)=sin
2x的图像,可将f(x)的图像( )
A.向右平移个单位
B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向左平移个单位
A [因为f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π),函数图像过点,所以-1=sin?φ=,
因此函数f(x)=sin的图像向右平移个单位得到函数g(x)=sin
2x的图像,故选A.]
4.已知函数f(x)=(1+cos
2x)sin2x,x∈R,则f(x)是( )
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为
的奇函数
C.最小正周期为π的偶函数
D.最小正周期为
的偶函数
D [f(x)=(1+cos
2x)=(1-cos22x)=-×=-cos
4x,
所以T==,f(-x)=f(x),故选D.]
5.如图所示是曾经在北京召开的国际数学家大会的会标,它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形,若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的面积是1,小正方形的面积是,则sin2θ-cos
2θ的值等于( )
A.1
B.-
C.
D.-
D [依题意可知拼图中的每个直角三角形的长直角边长cos
θ,短直角边为sin
θ,小正方形的边长为cos
θ-sin
θ,因小正方形的面积是,即(cos
θ-sin
θ)2=,得cos
θ=,sin
θ=.
即sin2θ-cos2θ=-.]
6.已知|p|=2,|q|=3,p,q的夹角为,如图,若=5p+2q,=p-3q,D为BC的中点,则||为( )
A.
B.
C.7
D.18
A [因为=(+)=(6p-q),
所以||==
=
=
=.]
7.已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图像( )
A.关于点对称
B.关于点对称
C.关于直线x=对称
D.关于直线x=对称
C [因为T==π,所以ω=2,
于是f(x)=sin,因为f(x)在对称轴上取到最值,
所以f=sin=1≠0,A不对;
f=sin≠0,B不对;
又因为f=sin=1,C符合题意;f=sin≠±1,D不对.]
8.如图所示,半圆的直径AB=4,O为圆心,C是半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(+)·的最小值是( )
A.2
B.0
C.-1
D.-2
D [由平行四边形法则得+=2,
故(+)·=2·,又||=2-||,且,反向,设||=t(0≤t≤2),
则(+)·=2·=-2t(2-t)=2(t2-2t)=2[(t-1)2-1].
因为0≤t≤2,所以当t=1时,(+)·有最小值,最小值为-2.]
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.已知|a|=1,|b|=2,a=λb,λ∈R,则|a-b|可以为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
BD [由a=λb可知:a∥b,即a与b夹角为0或π,
|a-b|2=a2+b2-2|a|·|b|·cos
0=|a|2+|b|2-2|a|·|b|=1+4-4=1或|a-b|2=a2+b2-2|a|·|b|cos
π=|a|2+|b|2+2|a|·|b|=1+4+4=9,
所以|a-b|=1或3.]
10.下列选项中,值为的是( )
A.cos
72°cos
36°
B.sin
sin
C.+
D.-cos215°
AB [对于A,cos
36°cos
72°=
===,故A正确;
对于B,sin
sin
=sin
cos
=·2sin
cos
=sin
=,故B正确;
对于C,原式=
=
===4,故C错误;
对于D,-cos215°=-(2cos215°-1)
=-cos
30°=-,故D错误.]
11.△ABC中,=c,=a,=b,在下列命题中,是真命题的有( )
A.若a·b>0,则△ABC为锐角三角形
B.若a·b=0,则△ABC为直角三角形
C.若a·b=c·b,则△ABC为等腰三角形
D.若c·a+c2=0,则△ABC为直角三角形
BCD [如图所示
△ABC中,=c,=a,=b,
①若a·b>0,则∠BCA是钝角,△ABC是钝角三角形,A错误;
②若a·b=0,则⊥,△ABC为直角三角形,B正确;
③若a·b=c·b,b·(a-c)=0,
·(-)=0,·(+)=0,取AC中点D,则·2=0,所以BA=BC,即△ABC为等腰三角形,C正确;
④因为c·a+c2=·+2=·(+)=0,所以·=0,所以⊥,即D正确.故选BCD.]
12.对于函数f(x)=cos,给出下列结论,正确的是( )
A.函数f(x)的最小正周期为2π
B.函数f(x)在上的值域是
C.函数f(x)在上是减函数
D.函数f(x)的图像关于点对称
CD [由诱导公式可得:f(x)=cos=sin
2x,所以T===π≠2π,A错误;若x∈,则2x∈,sin
2x∈,故函数f(x)在上的值域是,B错误;令+2kπ≤2x≤+2kπ(k∈Z),即+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),函数f(x)在(k∈Z)上单调递减,当k=0时,函数f(x)在上是减函数,所以C正确;令2x=kπ(k∈Z),则x=(k∈Z),函数f(x)=sin
2x的对称中心为(k∈Z),当k=-1时,函数f(x)的图像关于点对称,故D正确.]
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)
13.已知向量a=(1-sin
θ,1),b=(θ为锐角),且a∥b,则tan
θ=________.
1 [因为a∥b,所以(1-sin
θ)(1+sin
θ)-=0.
所以cos
2θ=,
因为θ为锐角,所以cos
θ=,所以θ=,
所以tan
θ=1.]
14.已知A(1,2),B(3,4),C(-2,2),D(-3,5),则向量在上的投影的数量为________.
[=(2,2),=(-1,3).
所以在上的投影的数量为||cos〈,〉====.]
15.函数y=cos2x-4sin
x的最小值为________;最大值为________.(本题第一空2分,第二空3分)
-4 4 [y=cos2x-4sin
x=1-sin2x-4sin
x=-(sin
x+2)2+5,
因为sin
x∈[-1,1],
所以当sin
x=-1时,ymax=-1+5=4;
当sin
x=1时,ymin=-9+5=-4.]
16.若函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图像如图所示,A(0,),C(2,0),并且AB∥x轴,则cos
∠ACB的值为________.
[由已知f(0)=2sin
φ=,又|φ|<,
所以φ=,
所以f(x)=2sin,
由f(2)=0,即2sin=0,
所以2ω+=2kπ+π,k∈Z,
解得ω=kπ+,k∈Z,而0<ω<,
所以ω=,
所以f(x)=2sin,
令f(x)=,得x+=2kπ+或x+=2kπ+,k∈Z,
所以x=6k或x=6k+1,由题干图可知,B(1,).
所以=(-2,),=(-1,),
所以||=,||=2,
所以cos
∠ACB===.]
四、解答题(本大题共6小题,共70分.
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知向量a=,b=(cos
x,-1).
(1)当a∥b时,求2cos
2x-sin
2x的值;
(2)求f(x)=(a+b)·b在上的最大值.
[解] (1)因为a∥b,所以cos
x+sin
x=0,
所以tan
x=-,
2cos2x-sin
2x===.
(2)f(x)=(a+b)·b=sin.
因为-≤x≤0,所以-≤2x+≤,
所以-1≤sin≤,
所以-≤f(x)≤,
所以f(x)max=.
18.(本小题满分12分)设向量a=(4cos
α,sin
α),b=(sin
β,4cos
β),c=(cos
β,-4sin
β).
(1)若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的值;
(2)求|b+c|的最大值;
(3)若tan
αtan
β=16,求证:a∥B.
[解] (1)因为a与b-2c垂直,
所以a·(b-2c)=4cos
αsin
β-8cos
αcos
β+4sin
αcos
β+8sin
αsin
β=4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,
因此tan(α+β)=2.
(2)由b+c=(sin
β+cos
β,4cos
β-4sin
β),得
|b+c|=
=≤4.
又当β=-时,等号成立,
所以|b+c|的最大值为4.
(3)证明:由tan
αtan
β=16得=,
所以a∥B.
19.(本小题满分12分)已知向量a=(sin
θ,-2)与b=(1,cos
θ)互相垂直,其中θ∈.
(1)求sin
θ和cos
θ的值;
(2)若5cos(θ-φ)=3cos
φ,0<φ<
,求cos
φ的值.
[解] (1)因为a·b=0,所以a·b=sin
θ-2cos
θ=0,
即sin
θ=2cos
θ.又因为sin2θ+cos2θ=1,
所以4cos2θ+cos2θ=1,
即cos2θ=,所以sin2θ=.
又θ∈,
所以sin
θ=,cos
θ=.
(2)因为5cos(θ-φ)=5(cos
θcos
φ+sin
θsin
φ)=cos
φ+2sin
φ=3cos
φ,
所以cos
φ=sin
φ.
所以cos2φ=sin2φ=1-cos2φ,即cos2φ=.
又因为0<φ<,所以cos
φ=.
20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=sin(π-ωx)cos
ωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)将函数y=f(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的
,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图像,求函数g(x)在区间上的最小值.
[解] (1)因为f(x)=sin(π-ωx)cos
ωx+cos2ωx,
所以f(x)=sin
ωxcos
ωx+=sin
2ωx+cos
2ωx+=sin+.
由于ω>0,依题意得=π,所以ω=1.
(2)由(1)知f(x)=sin+,
所以g(x)=f(2x)=sin+.
当0≤x≤时,≤4x+≤,
所以≤sin≤1.
因此1≤g(x)≤.
故g(x)在区间上的最小值为1.
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=
.
(1)求f的值;
(2)当x∈时,求g(x)=
f(x)+sin
2x的最大值和最小值.
[解] (1)f(x)===
==2cos
2x,
所以f=2cos=2cos
=.
(2)g(x)=cos
2x+sin
2x=sin.
因为x∈,
所以2x+∈.
所以当x=时,g(x)max=,当x=0时,g(x)min=1.
22.(本小题满分12分)已知向量a=(cos
α,sin
α),b=(cos
β,sin
β),|a-b|=
.
(1)求cos(α-β)的值;
(2)若0<α<
,-<β<0,且sin
β=-
,求sin
α.
[解] (1)因为|a|=1,|b|=1,
|a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2=|a|2+|b|2-2(cos
αcos
β+sin
αsin
β)=1+1-2cos(α-β),
|a-b|2==,
所以2-2cos(α-β)=,得cos(α-β)=.
(2)因为-<β<0<α<,
所以0<α-β<π.
由cos(α-β)=得sin(α-β)=,
由sin
β=-得cos
β=.
所以sin
α=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cos
β+cos(α-β)sin
β=×+×=.
PAGE模块综合测评(一)
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知角α的终边过点P(-4m,3m)(m≠0),则2sin
α+cos
α的值是( )
A.1或-1
B.或-
C.1或-
D.-1或
2.已知向量a=(cos
75°,sin
75°),b=(cos
15°,sin
15°),则|a-b|的值为( )
A.
B.1
C.2
D.3
3.函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图像如图所示,为了得到g(x)=sin
2x的图像,可将f(x)的图像( )
A.向右平移个单位
B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向左平移个单位
4.已知函数f(x)=(1+cos
2x)sin2x,x∈R,则f(x)是( )
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为
的奇函数
C.最小正周期为π的偶函数
D.最小正周期为
的偶函数
5.如图所示是曾经在北京召开的国际数学家大会的会标,它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形,若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的面积是1,小正方形的面积是,则sin2θ-cos
2θ的值等于( )
A.1
B.-
C.
D.-
6.已知|p|=2,|q|=3,p,q的夹角为,如图,若=5p+2q,=p-3q,D为BC的中点,则||为( )
A.
B.
C.7
D.18
7.已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图像( )
A.关于点对称
B.关于点对称
C.关于直线x=对称
D.关于直线x=对称
8.如图所示,半圆的直径AB=4,O为圆心,C是半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(+)·的最小值是( )
A.2
B.0
C.-1
D.-2
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.已知|a|=1,|b|=2,a=λb,λ∈R,则|a-b|可以为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
10.下列选项中,值为的是( )
A.cos
72°cos
36°
B.sin
sin
C.+
D.-cos215°
11.△ABC中,=c,=a,=b,在下列命题中,是真命题的有( )
A.若a·b>0,则△ABC为锐角三角形
B.若a·b=0,则△ABC为直角三角形
C.若a·b=c·b,则△ABC为等腰三角形
D.若c·a+c2=0,则△ABC为直角三角形
12.对于函数f(x)=cos,给出下列结论,正确的是( )
A.函数f(x)的最小正周期为2π
B.函数f(x)在上的值域是
C.函数f(x)在上是减函数
D.函数f(x)的图像关于点对称
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)
13.已知向量a=(1-sin
θ,1),b=(θ为锐角),且a∥b,则tan
θ=________.
14.已知A(1,2),B(3,4),C(-2,2),D(-3,5),则向量在上的投影的数量为________.
15.函数y=cos2x-4sin
x的最小值为________;最大值为________.(本题第一空2分,第二空3分)
16.若函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图像如图所示,A(0,),C(2,0),并且AB∥x轴,则cos
∠ACB的值为________.
四、解答题(本大题共6小题,共70分.
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知向量a=,b=(cos
x,-1).
(1)当a∥b时,求2cos
2x-sin
2x的值;
(2)求f(x)=(a+b)·b在上的最大值.
18.(本小题满分12分)设向量a=(4cos
α,sin
α),b=(sin
β,4cos
β),c=(cos
β,-4sin
β).
(1)若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的值;
(2)求|b+c|的最大值;
(3)若tan
αtan
β=16,求证:a∥B.
19.(本小题满分12分)已知向量a=(sin
θ,-2)与b=(1,cos
θ)互相垂直,其中θ∈.
(1)求sin
θ和cos
θ的值;
(2)若5cos(θ-φ)=3cos
φ,0<φ<
,求cos
φ的值.
20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=sin(π-ωx)cos
ωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)将函数y=f(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的
,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图像,求函数g(x)在区间上的最小值.
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=
.
(1)求f的值;
(2)当x∈时,求g(x)=
f(x)+sin
2x的最大值和最小值.
22.(本小题满分12分)已知向量a=(cos
α,sin
α),b=(cos
β,sin
β),|a-b|=
.
(1)求cos(α-β)的值;
(2)若0<α<
,-<β<0,且sin
β=-
,求sin
α.
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