模块综合测评(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知角α的终边过点P(－4m,3m)(m≠0)，则2sin
α＋cos
α的值是( )
A．1或－1
B．或－
C．1或－
D．－1或
B [当m>0时，2sin
α＋cos
α＝2×＋＝；
当m<0时，2sin
α＋cos
α＝2×＋＝－.]
2．已知向量a＝(cos
75°，sin
75°)，b＝(cos
15°，sin
15°)，则|a－b|的值为( )
A．
B．1
C．2
D．3
B [如图，将向量a，b的起点都移到原点，即a＝，b＝，则|a－b|＝||且∠xOA＝75°，∠xOB＝15°，于是∠AOB＝60°，又因|a|＝|b|＝1，则△AOB为正三角形，从而||＝|a－b|＝1.]
3．函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图像如图所示，为了得到g(x)＝sin
2x的图像，可将f(x)的图像( )
A．向右平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向左平移个单位
A [因为f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)，函数图像过点，所以－1＝sin?φ＝，
因此函数f(x)＝sin的图像向右平移个单位得到函数g(x)＝sin
2x的图像，故选A．]
4．已知函数f(x)＝(1＋cos
2x)sin2x，x∈R，则f(x)是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为
的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为
的偶函数
D [f(x)＝(1＋cos
2x)＝(1－cos22x)＝－×＝－cos
4x，
所以T＝＝，f(－x)＝f(x)，故选D．]
5．如图所示是曾经在北京召开的国际数学家大会的会标，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则sin2θ－cos
2θ的值等于( )
A．1
B．－
C．
D．－
D [依题意可知拼图中的每个直角三角形的长直角边长cos
θ，短直角边为sin
θ，小正方形的边长为cos
θ－sin
θ，因小正方形的面积是，即(cos
θ－sin
θ)2＝，得cos
θ＝，sin
θ＝.
即sin2θ－cos2θ＝－.]
6．已知|p|＝2，|q|＝3，p，q的夹角为，如图，若＝5p＋2q，＝p－3q，D为BC的中点，则||为( )
A．
B．
C．7
D．18
A [因为＝(＋)＝(6p－q)，
所以||＝＝
＝
＝
＝.]
7．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像( )
A．关于点对称
B．关于点对称
C．关于直线x＝对称
D．关于直线x＝对称
C [因为T＝＝π，所以ω＝2，
于是f(x)＝sin，因为f(x)在对称轴上取到最值，
所以f＝sin＝1≠0，A不对；
f＝sin≠0，B不对；
又因为f＝sin＝1，C符合题意；f＝sin≠±1，D不对．]
8．如图所示，半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是( )
A．2
B．0
C．－1
D．－2
D [由平行四边形法则得＋＝2，
故(＋)·＝2·，又||＝2－||，且，反向，设||＝t(0≤t≤2)，
则(＋)·＝2·＝－2t(2－t)＝2(t2－2t)＝2[(t－1)2－1]．
因为0≤t≤2，所以当t＝1时，(＋)·有最小值，最小值为－2.]
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．已知|a|＝1，|b|＝2，a＝λb，λ∈R，则|a－b|可以为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
BD [由a＝λb可知：a∥b，即a与b夹角为0或π，
|a－b|2＝a2＋b2－2|a|·|b|·cos
0＝|a|2＋|b|2－2|a|·|b|＝1＋4－4＝1或|a－b|2＝a2＋b2－2|a|·|b|cos
π＝|a|2＋|b|2＋2|a|·|b|＝1＋4＋4＝9，
所以|a－b|＝1或3.]
10．下列选项中，值为的是( )
A．cos
72°cos
36°
B．sin
sin
C．＋
D．－cos215°
AB [对于A，cos
36°cos
72°＝
＝＝＝，故A正确；
对于B，sin
sin
＝sin
cos
＝·2sin
cos
＝sin
＝，故B正确；
对于C，原式＝
＝
＝＝＝4，故C错误；
对于D，－cos215°＝－(2cos215°－1)
＝－cos
30°＝－，故D错误．]
11．△ABC中，＝c，＝a，＝b，在下列命题中，是真命题的有( )
A．若a·b>0，则△ABC为锐角三角形
B．若a·b＝0，则△ABC为直角三角形
C．若a·b＝c·b，则△ABC为等腰三角形
D．若c·a＋c2＝0，则△ABC为直角三角形
BCD [如图所示
△ABC中，＝c，＝a，＝b，
①若a·b>0，则∠BCA是钝角，△ABC是钝角三角形，A错误；
②若a·b＝0，则⊥，△ABC为直角三角形，B正确；
③若a·b＝c·b，b·(a－c)＝0，
·(－)＝0，·(＋)＝0，取AC中点D，则·2＝0，所以BA＝BC，即△ABC为等腰三角形，C正确；
④因为c·a＋c2＝·＋2＝·(＋)＝0，所以·＝0，所以⊥，即D正确．故选BCD．]
12．对于函数f(x)＝cos，给出下列结论，正确的是( )
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在上的值域是
C．函数f(x)在上是减函数
D．函数f(x)的图像关于点对称
CD [由诱导公式可得：f(x)＝cos＝sin
2x，所以T＝＝＝π≠2π，A错误；若x∈，则2x∈，sin
2x∈，故函数f(x)在上的值域是，B错误；令＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)，即＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，函数f(x)在(k∈Z)上单调递减，当k＝0时，函数f(x)在上是减函数，所以C正确；令2x＝kπ(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，函数f(x)＝sin
2x的对称中心为(k∈Z)，当k＝－1时，函数f(x)的图像关于点对称，故D正确．]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知向量a＝(1－sin
θ，1)，b＝(θ为锐角)，且a∥b，则tan
θ＝________.
1 [因为a∥b，所以(1－sin
θ)(1＋sin
θ)－＝0.
所以cos
2θ＝，
因为θ为锐角，所以cos
θ＝，所以θ＝，
所以tan
θ＝1.]
14．已知A(1,2)，B(3,4)，C(－2,2)，D(－3,5)，则向量在上的投影的数量为________．
[＝(2,2)，＝(－1,3)．
所以在上的投影的数量为||cos〈，〉＝＝＝＝.]
15．函数y＝cos2x－4sin
x的最小值为________；最大值为________．(本题第一空2分，第二空3分)
－4 4 [y＝cos2x－4sin
x＝1－sin2x－4sin
x＝－(sin
x＋2)2＋5，
因为sin
x∈[－1,1]，
所以当sin
x＝－1时，ymax＝－1＋5＝4；
当sin
x＝1时，ymin＝－9＋5＝－4.]
16．若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图像如图所示，A(0，)，C(2,0)，并且AB∥x轴，则cos
∠ACB的值为________．
[由已知f(0)＝2sin
φ＝，又|φ|<，
所以φ＝，
所以f(x)＝2sin，
由f(2)＝0，即2sin＝0，
所以2ω＋＝2kπ＋π，k∈Z，
解得ω＝kπ＋，k∈Z，而0<ω<，
所以ω＝，
所以f(x)＝2sin，
令f(x)＝，得x＋＝2kπ＋或x＋＝2kπ＋，k∈Z，
所以x＝6k或x＝6k＋1，由题干图可知，B(1，)．
所以＝(－2，)，＝(－1，)，
所以||＝，||＝2，
所以cos
∠ACB＝＝＝.]
四、解答题(本大题共6小题，共70分.
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知向量a＝，b＝(cos
x，－1)．
(1)当a∥b时，求2cos
2x－sin
2x的值；
(2)求f(x)＝(a＋b)·b在上的最大值．
[解] (1)因为a∥b，所以cos
x＋sin
x＝0，
所以tan
x＝－，
2cos2x－sin
2x＝＝＝.
(2)f(x)＝(a＋b)·b＝sin.
因为－≤x≤0，所以－≤2x＋≤，
所以－1≤sin≤，
所以－≤f(x)≤，
所以f(x)max＝.
18．(本小题满分12分)设向量a＝(4cos
α，sin
α)，b＝(sin
β，4cos
β)，c＝(cos
β，－4sin
β)．
(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；
(2)求|b＋c|的最大值；
(3)若tan
αtan
β＝16，求证：a∥B．
[解] (1)因为a与b－2c垂直，
所以a·(b－2c)＝4cos
αsin
β－8cos
αcos
β＋4sin
αcos
β＋8sin
αsin
β＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，
因此tan(α＋β)＝2.
(2)由b＋c＝(sin
β＋cos
β，4cos
β－4sin
β)，得
|b＋c|＝
＝≤4.
又当β＝－时，等号成立，
所以|b＋c|的最大值为4.
(3)证明：由tan
αtan
β＝16得＝，
所以a∥B．
19．(本小题满分12分)已知向量a＝(sin
θ，－2)与b＝(1，cos
θ)互相垂直，其中θ∈.
(1)求sin
θ和cos
θ的值；
(2)若5cos(θ－φ)＝3cos
φ，0<φ<
，求cos
φ的值．
[解] (1)因为a·b＝0，所以a·b＝sin
θ－2cos
θ＝0，
即sin
θ＝2cos
θ.又因为sin2θ＋cos2θ＝1，
所以4cos2θ＋cos2θ＝1，
即cos2θ＝，所以sin2θ＝.
又θ∈，
所以sin
θ＝，cos
θ＝.
(2)因为5cos(θ－φ)＝5(cos
θcos
φ＋sin
θsin
φ)＝cos
φ＋2sin
φ＝3cos
φ，
所以cos
φ＝sin
φ.
所以cos2φ＝sin2φ＝1－cos2φ，即cos2φ＝.
又因为0<φ<，所以cos
φ＝.
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin(π－ωx)cos
ωx＋cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)将函数y＝f(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的
，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图像，求函数g(x)在区间上的最小值．
[解] (1)因为f(x)＝sin(π－ωx)cos
ωx＋cos2ωx，
所以f(x)＝sin
ωxcos
ωx＋＝sin
2ωx＋cos
2ωx＋＝sin＋.
由于ω>0，依题意得＝π，所以ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝sin＋，
所以g(x)＝f(2x)＝sin＋.
当0≤x≤时，≤4x＋≤，
所以≤sin≤1.
因此1≤g(x)≤.
故g(x)在区间上的最小值为1.
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝
.
(1)求f的值；
(2)当x∈时，求g(x)＝
f(x)＋sin
2x的最大值和最小值．
[解] (1)f(x)＝＝＝
＝＝2cos
2x，
所以f＝2cos＝2cos
＝.
(2)g(x)＝cos
2x＋sin
2x＝sin.
因为x∈，
所以2x＋∈.
所以当x＝时，g(x)max＝，当x＝0时，g(x)min＝1.
22．(本小题满分12分)已知向量a＝(cos
α，sin
α)，b＝(cos
β，sin
β)，|a－b|＝
.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)若0<α<
，－<β<0，且sin
β＝－
，求sin
α.
[解] (1)因为|a|＝1，|b|＝1，
|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝|a|2＋|b|2－2(cos
αcos
β＋sin
αsin
β)＝1＋1－2cos(α－β)，
|a－b|2＝＝，
所以2－2cos(α－β)＝，得cos(α－β)＝.
(2)因为－<β<0<α<，
所以0<α－β<π.
由cos(α－β)＝得sin(α－β)＝，
由sin
β＝－得cos
β＝.
所以sin
α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos
β＋cos(α－β)sin
β＝×＋×＝.
PAGE模块综合测评(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知角α的终边过点P(－4m,3m)(m≠0)，则2sin
α＋cos
α的值是( )
A．1或－1
B．或－
C．1或－
D．－1或
2．已知向量a＝(cos
75°，sin
75°)，b＝(cos
15°，sin
15°)，则|a－b|的值为( )
A．
B．1
C．2
D．3
3．函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图像如图所示，为了得到g(x)＝sin
2x的图像，可将f(x)的图像( )
A．向右平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向左平移个单位
4．已知函数f(x)＝(1＋cos
2x)sin2x，x∈R，则f(x)是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为
的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为
的偶函数
5．如图所示是曾经在北京召开的国际数学家大会的会标，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则sin2θ－cos
2θ的值等于( )
A．1
B．－
C．
D．－
6．已知|p|＝2，|q|＝3，p，q的夹角为，如图，若＝5p＋2q，＝p－3q，D为BC的中点，则||为( )
A．
B．
C．7
D．18
7．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像( )
A．关于点对称
B．关于点对称
C．关于直线x＝对称
D．关于直线x＝对称
8．如图所示，半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是( )
A．2
B．0
C．－1
D．－2
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．已知|a|＝1，|b|＝2，a＝λb，λ∈R，则|a－b|可以为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
10．下列选项中，值为的是( )
A．cos
72°cos
36°
B．sin
sin
C．＋
D．－cos215°
11．△ABC中，＝c，＝a，＝b，在下列命题中，是真命题的有( )
A．若a·b>0，则△ABC为锐角三角形
B．若a·b＝0，则△ABC为直角三角形
C．若a·b＝c·b，则△ABC为等腰三角形
D．若c·a＋c2＝0，则△ABC为直角三角形
12．对于函数f(x)＝cos，给出下列结论，正确的是( )
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在上的值域是
C．函数f(x)在上是减函数
D．函数f(x)的图像关于点对称
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知向量a＝(1－sin
θ，1)，b＝(θ为锐角)，且a∥b，则tan
θ＝________.
14．已知A(1,2)，B(3,4)，C(－2,2)，D(－3,5)，则向量在上的投影的数量为________．
15．函数y＝cos2x－4sin
x的最小值为________；最大值为________．(本题第一空2分，第二空3分)
16．若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图像如图所示，A(0，)，C(2,0)，并且AB∥x轴，则cos
∠ACB的值为________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分.
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知向量a＝，b＝(cos
x，－1)．
(1)当a∥b时，求2cos
2x－sin
2x的值；
(2)求f(x)＝(a＋b)·b在上的最大值．
18．(本小题满分12分)设向量a＝(4cos
α，sin
α)，b＝(sin
β，4cos
β)，c＝(cos
β，－4sin
β)．
(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；
(2)求|b＋c|的最大值；
(3)若tan
αtan
β＝16，求证：a∥B．
19．(本小题满分12分)已知向量a＝(sin
θ，－2)与b＝(1，cos
θ)互相垂直，其中θ∈.
(1)求sin
θ和cos
θ的值；
(2)若5cos(θ－φ)＝3cos
φ，0<φ<
，求cos
φ的值．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin(π－ωx)cos
ωx＋cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)将函数y＝f(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的
，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图像，求函数g(x)在区间上的最小值．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝
.
(1)求f的值；
(2)当x∈时，求g(x)＝
f(x)＋sin
2x的最大值和最小值．
22．(本小题满分12分)已知向量a＝(cos
α，sin
α)，b＝(cos
β，sin
β)，|a－b|＝
.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)若0<α<
，－<β<0，且sin
β＝－
，求sin
α.
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