课时分层作业(十四) 向量数量积的概念
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若e1，e2是两个互相平行的单位向量，则下列判断正确的是( )
A．e1·e2＝1
B．e1·e2＝－1
C．e1·e2＝±1
D．|e1·e2|<1
C [因为e1，e2是两个互相平行的单位向量，则当e1，e2方向相同时，e1·e2＝|e1||e2|cos
0°＝1；
当e1，e2方向相反时，e1·e2＝|e1||e2|cos
180°＝－1.
综上所述，得e1·e2＝±1.]
2．在△ABC中，·<0，则△ABC是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
C [因为·＝||||cos
A<0，
所以cos
A<0.所以角A是钝角．
所以△ABC是钝角三角形．]
3．已知|b|＝3，a在b方向上的投影的数量是，则a·b为( )
A．3
B．
C．2
D．
B [a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉＝|b|·|a|cos〈a，b〉＝3×＝.]
4．设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉等于( )
A．150°
B．120°
C．60°
D．30°
B [如图所示．因为|a|＝|b|＝|c|，
所以△OAB是等边三角形．
所以〈a，b〉＝120°.]
5．(多选题)给出下列判断，其中正确的是( )
A．若a2＋b2＝0，则a＝b＝0
B．已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝0，则|a·c|＝|b·c|
C．a，b共线?a·b＝|a||b|
D．|a||b|
AB [由于a2≥0，b2≥0，所以，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故A正确；若a＋b＝0，则a＝－b，又a，b，c是三个非零向量，所以a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，故B正确；a，b共线?a·b＝±|a||b|，所以C不正确；对于D应有|a||b|≥a·b，所以D不正确．故选AB．]
二、填空题
6．已知向量a·b＝15＝3|b|，则向量a在b
上投影的数量为______．
3 [因为a·b＝15＝3|b|，所以|b|＝5，则向量a在b上投影的数量为|a|cos〈a，b〉＝＝3.]
7．已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值是________．
－25 [
因为||2＝||2＋||2，
所以B＝90°，所以·＝0.
因为cos
C＝，cos
A＝，
所以·＝||·||cos(180°－C)
＝4×5×＝－16.
·＝||·||cos(180°－A)
＝5×
3×＝－9.
所以·＋·＋·＝－25.]
8．(一题两空)已知正方形ABCD的边长为2，则向量在上的投影的数量为________，在上的投影的数量为________．
0 － [法一：因为正方形ABCD的边长为2，⊥，则向量A在A上的投影的数量为||cos
90°＝0，A在上的投影的数量为||cos
135°＝2×＝－.
法二：如图，正方形ABCD的边长为2，⊥，则向量在上的投影的数量为0，在上的投影的数量为，所以在上的投影的数量为－.]
三、解答题
9．已知|a|＝2，b2＝3，在下列情况下分别求a·B．
(1)a∥b；
(2)a⊥b；
(3)a与b的夹角为150°.
[解] 因为|a|＝2，b2＝3，所以|b|＝.
(1)当a∥b时，
a·b＝|a||b|cos
0°＝2××1＝2或a·b＝|a||b|cos
180°＝2××(－1)＝－2.
(2)当a⊥b时，a·b＝|a||b|cos
90°＝2××0＝0.
(3)当a与b的夹角为150°时，
a·b＝|a||b|cos
150°＝2××＝－3.
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，D是BC边的中点，求：
(1)在方向上投影的数量；
(2)在方向上投影的数量．
[解] 连接AD，因为AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，
所以△ABC是等腰直角三角形．
又因为D是BC边的中点，所以AD⊥BC，∠ABD＝45°，
所以BD＝2.
延长AB到E(如图所示)，则与的夹角为∠DBE＝180°－45°＝135°.
因此，
(1)在方向上投影的数量是
||cos
135°＝4×＝－2.
(2)在方向上投影的数量是
||cos
135°＝2×＝－2.
11．如图，圆心为C的圆的半径为r，弦AB的长度为2，则
·的值为( )
A．r
B．2r
C．1
D．2
D [如图，作AB的中点H，连接CH，则向量在方向上的投影的数量为AH＝||cos
∠CAB，
所以·＝||||cos
∠CAB＝||||＝2.]
12．(多选题)对于非零向量a，b，c，下列命题正确的是( )
A．若a·b＝b·c，则a＝b
B．若a⊥b，则a·b＝(a·b)2
C．若a∥b，则a在b上的投影的数量为|a|
D．若λ1a＋λ2b＝0(λ1，λ2∈R，且λ1·λ2≠0)，则a∥b
BD [对于选项A，若a·b＝b·c，则(a－c)·b＝0，故A错误；对于选项B，若a⊥b，所以a·b＝0，则a·b＝(a·b)2，故B正确；对于选项C，若a∥b，则a在b上的投影的数量为±|a|，故C错误；对于选项D，若λ1a＋λ2b＝0(λ1，λ2∈R，且λ1·λ2≠0)，推出a＝－b，由平行向量基本定理可知a∥b，故D正确．故选BD．]
13．(一题两空)如图所示，一个大小为5
N，与水平方向夹角37°的拉力F作用在小车上，小车沿水平方向向右运动．运动过程中，小车受到的阻力大小为3
N，方向水平向左．小车向右运动的距离为2
m的过程中，小车受到的各个力都没有发生变化．求在此过程中：拉力F对小车做的功(取cos
37°≈0.8)为________．小车克服阻力做的功为________．
8
J 6
J [拉力F对小车做的功WF＝FScos
θ＝5×2×0.8
J＝8
J，
小车克服阻力做的功为W克f＝－Wf＝3×2
J＝6
J．]
14．已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝.若平面向量b满足b·(e1－e2)＝0，且b·e1＝1，则|b|＝________.
[因为e1·e2＝|e1|·|e2|cos〈e1，e2〉＝cos〈e1，e2〉＝.
又0°≤〈e1，e2〉≤180°，所以〈e1，e2〉＝60°.
因为b·(e1－e2)＝0，所以b与e1，e2的夹角均为30°，
所以b·e1＝|b||e1|cos
30°＝1，
从而|b|＝＝.
15．已知△ABC的面积为S满足≤2S≤3，且·＝3，与的夹角为θ.求与夹角的取值范围．
[解] 因为△ABC中，·＝3，与夹角θ＝π－B，所以·＝||||cos〈，〉＝3，即||||cos
θ＝3，得||||＝.
又S＝||||sin
B＝||||sin(π－θ)
＝||||sin
θ＝tan
θ，
由≤2S≤3得≤3tan
θ≤3，所以≤tan
θ≤1，由于θ∈[0,
π]，所以≤θ≤.
所以与夹角的取值范围是.
PAGE课时分层作业(十五) 向量数量积的运算律
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知向量|a|＝2，|b|＝，且向量a与b的夹角为150°，则a·b的值为( )
A．－
B．
C．－3
D．3
C [向量|a|＝2，|b|＝，且向量a与b的夹角为150°，
则a·b＝|a||b|cos
150°＝2××＝－3.故选C．]
2．在△ABC中，∠BAC＝，AB＝2，AC＝3，＝2，则·＝( )
A．－
B．－
C．
D．
C [因为＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，
所以·＝·(－)＝×32－×22＋·＝＋×2×3cos
＝.]
3．已知向量|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则a与b的夹角为( )
A．
B．
C．
D．
C [因为向量|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，所以a·b－a2＝a·b－1＝2，则a·b＝3，设a与b的夹角为θ，得cos
θ＝＝，因为θ∈[0,
π]，所以θ＝.]
4．已知|a|＝2，|b|＝1，a与b之间的夹角为60°，那么|a－4b|2＝( )
A．2
B．2
C．6
D．12
D [因为|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2＝22－8×2×1×cos
60°＋16×12＝12.]
5．(多选题)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论，其中正确的是( )
A．a·c－b·c＝(a－b)·c
B．(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直
C．|a|－|b|<|a－b|
D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
ACD [根据向量数量积的分配律知A正确；因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，
所以(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，B错误；
因为a，b不共线，所以|a|，|b|，|a－b|组成三角形三边，所以|a|－|b|<|a－b|成立，C正确；D正确．故选ACD．]
二、填空题
6．已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC中点，则||＝________.
2 [因为＝(＋)＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，所以||2＝4(a－b)2＝4(a2－2a·b＋b2)＝4×(3－2×2××cos
＋4)＝4，则||＝2.]
7．如图，在等腰直角三角形AOB中，OA＝OB＝1，＝4，则·(－)＝________.
－ [由已知得||＝，||＝，则·(－)＝(＋)·
＝·＋·＝1×cos
＋×＝－.]
8．已知向量||＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30
°，设＝m＋n(m,
n∈R)，则＝________.
3 [||＝1，||＝，·＝0，
所以OA⊥OB，
所以||＝2＝2||，
所以∠OBC＝30°，
又因为∠AOC＝30°，所以⊥，
故(m＋n)·(－)＝0，
从而－m2＋n2＝0，
所以3n－m＝0，即m＝3n，
所以＝3.]
三、解答题
9．已知向量|a|＝1，|b|＝2.
(1)若a与b的夹角为，求|a＋2b|；
(2)若(2a－b)·(3a＋b)＝3，求a与b的夹角．
[解] (1)|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2
＝1＋4×1×2×cos
＋4×4
＝1＋4＋16＝21，
所以|a＋2b|＝.
(2)因为(2a－b)·(3a＋b)＝3，
所以6a2－3a·b＋2a·b－b2＝3，
所以6a2－a·b－b2＝3，
所以6－1×2×cos〈a，b〉－4＝3，
所以cos〈a，b〉＝－.
因为0≤〈a，b〉≤π，所以〈a，b〉＝.
10．利用向量法证明直径对的圆周角为直角．
已知：如图，圆的直径为AB，C为圆周上异于A，B的任意一点．求证：∠ACB＝90°.
[解] 设圆心为O，连接OC，则||＝||，＝(＋)，
所以||2＝||2，2＝(＋)2，得||2＝(＋)2，
即(－)2＝(＋)2，得2＋2－2·＝2＋2＋2·，
所以4·＝0，·＝0，所以⊥，
即∠ACB＝90°.
11．设单位向量e1，e2的夹角为，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e2，则b在a上投影的数量为( )
A．－
B．－
C．
D．
A [因为单位向量e1，e2的夹角为，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e2，得
e1·e2＝1×1×cos
＝－，|a|＝＝＝，
a·b＝(e1＋2e2)·(2e1－3e2)＝2e－6e＋e1·e2＝－，因此b在a上投影的数量为＝＝－，故选A．]
12．(多选题)对任意的两个向量a，b，定义一种向量运算“
”：a
b＝(a，b是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a，b，c，e，给出下列结论，其中正确的是( )
A．a
b＝b
a
B．λ(a
b)＝(λa)
b(λ∈R)
C．(a＋b)
c＝a
c＋b
c
D．若e是单位向量，则|a
e|≤|a|＋1.
AD [当a，b共线时，a
b＝|a－b|＝|b－a|＝b
a，当a，b不共线时，a
b＝a·b＝b·a＝b
a，故A是正确的；当λ＝0，b≠0时，λ(a
b)＝0，(λa)
b＝|0b|≠0，故B是错误的；当a＋b与c共线时，则存在a，b与c不共线，(a＋b)
c＝|a＋b－c|，a
c＋b
c＝a·c＋b·c，显然|a＋b－c|≠a·c＋b·c，故C是错误的；当e与a不共线时，|a
e|＝|a·e|＜|a|·|e|＜|a|＋1，当e与a共线时，设a＝ue，u∈R，|a
e|＝|a－e|＝|ue－e|＝|u－1|≤|u|＋1，故D是正确的．综上，结论一定正确的是AD
.]
13．(一题两空)已知△ABC中，AB＝6，AC＝4，O为△ABC所在平面内一点，满足||＝||＝||，则在方向上的投影的数量为________，·＝________.
3 －10 [因为||＝||＝||，
所以点O为△ABC的外心，
设∠OAB＝θ，可得∠OBA＝θ，
所以在方向上的投影的数量为||cos
θ，在方向上的投影的数量为||cos
θ.
由题意可知||cos
θ＋||cos
θ＝||＝6.
又因为||＝||＝||，
所以||cos
θ＝3，即在方向上的投影的数量为3.
所以·＝||||cos
θ＝3||＝18，·＝8，
所以·＝·(－)＝·－·＝8－18＝－10.]
14．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是________．
[因为a⊥b，且|a|＝|b|＝1，所以a·b＝0，|a＋b|＝，
又因为(a－c)·(b－c)＝a·b＋c·c－(a＋b)·c＝c2－(a＋b)·c＝0，即|c|2＝(a＋b)·c＝|a＋b||c|·cos〈a＋b，c〉，所以|c|＝|a＋b|cos〈a＋b，c〉＝cos〈a＋b，c〉≤，故|c|的最大值为.]
15．设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
[解] 当夹角为π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，但此时夹角不是钝角．
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，
则所以
由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角，得cos
θ
＝<0，
所以(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，
化简得2t2＋15t＋7<0.
解得－7所以所求实数t的取值范围是
∪.
PAGE课时分层作业(十六) 向量数量积的坐标运算
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x等于( )
A．1
B．
C．－
D．－1
A [由向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，a·b＝1，得a·b＝(1，－1)·(2，x)＝2－x＝1，所以x＝1.]
2．已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上投影的数量是( )
A．－3
B．－
C．3
D．
A [依题意得，＝(－2，－1)，
＝(5,5)，·＝(－2，－1)·(5,5)＝－15，
||＝，因此向量在方向上投影的数量是＝＝－3，故选A．]
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于( )
A．
B．(－，－)
C．
D．
D [设c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2)，
又(c＋a)∥b，所以
2(y＋2)＋3(x＋1)＝0.①
又c⊥(a＋b)，所以(x，y)·(3，－1)＝3x－y＝0.②
联立①②解得x＝－，y＝－.
所以c＝.]
4．设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|等于( )
A．
B．
C．2
D．10
B [因为a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，
由a⊥c得a·c＝0，即2x－4＝0，所以
x＝2.
由b∥c，得1×(－4)－2y＝0，所以
y＝－2.
所以a＝(2,1)，b＝(1，－2)．
所以a＋b＝(3，－1)，
所以|a＋b|＝＝.]
5．(多选题)已知向量a＝(3,4)，b＝(－4，－3)，则下列说法正确的是( )
A．a与b的夹角是直角
B．|a＋b|为2
C．a＋b与a－b的夹角是直角
D．a在b上投影的数量等于b在a上投影的数量
CD [由向量a＝(3,4)，b＝(－4，－3)，得
a·b＝－24<0，所以a与b的夹角是钝角．
a＋b＝(－1,1)，所以|a＋b|＝＝.
(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，所以a＋b与a－b的夹角是直角．
a在b上投影的数量为|a|cos〈a，b〉＝＝－，b在a上投影的数量为|b|cos〈a，b〉＝＝－.]
二、填空题
6．已知向量a＝(1，－)，b＝(－，1)，则a与b夹角的大小为____．
[因为向量a＝(1，－)，b＝(－，1)，
所以a与b夹角θ满足
cos
θ＝＝－＝－，
又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.]
7．(一题两空)已知向量a＝(1,0)，b＝(x,1)，若a·b＝2，则x＝________；|a＋b|＝________.
2 [因为a·b＝2，所以x＝2.
因为a＋b＝(3,1)，所以|a＋b|＝.]
8．已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为________．
－ [因为a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，
所以λa＋b＝(－3λ－1,2λ)，a－2b＝(－1,2)．
又因为λa＋b与a－2b垂直，
所以(λa＋b)·(a－2b)＝(－3λ－1,2λ)·(－1,2)＝3λ＋1＋4λ＝0，
解得λ＝－.]
三、解答题
9．设a＝(1,2)，b＝(－2，－3)，又c＝2a＋b，d＝a＋mb，若c与d的夹角为45°，求实数m的值．
[解] 因为a＝(1,2)，b＝(－2，－3)，
所以c＝2a＋b＝2(1,2)＋(－2，－3)＝(0,1)，
d＝a＋mb＝(1,2)＋m(－2，－3)＝(1－2m,2－3m)，
所以c·d＝0×(1－2m)＋1×(2－3m)＝2－3m.
又|c|＝1，|d|＝，c与d的夹角为45°，
所以2－3m＝1×cos
45°，
即＝(2－3m)，
等价于
解得m＝.
10．已知平面上三点A，B，C，满足＝(2,4)，B＝(2－k,3)．
(1)如果A，B，C三点不能构成三角形，求实数k满足的条件；
(2)如果A，B，C三点构成直角三角形，求实数k的值．
[解] (1)因为A，B，C三点不能构成三角形，所以A，B，C三点共线，即∥B，得4(2－k)＝6，解得k＝.
(2)因为＝(2－k,3)，所以＝(k－2，－3)，所以
＝＋C＝(
k,1)．
由于A，B，C三点构成直角三角形，所以
当A是直角时，⊥，所以
·＝0，得2k＋4＝0，解得
k＝－2；
当B是直角时，⊥，所以
·＝0，得
k2－2k－3＝0，解得
k＝3或
k＝－1；
当C是直角时，⊥，所以
·＝0,16－2k＝0，解得
k＝8.
综上所述，实数k的值为－2，－1,3,8.
11．(多选题)设m，n是两个非零向量，且m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，则以下等式中与m⊥n等价的为( )
①m·n＝0；②x1x2＝y1y2；
③|m＋n|＝|m－n|；④|m＋n|＝.
A．①
B．②
C．③
D．④
ACD [由公式知①正确，②错误；对③④两边平方，化简，得m·n＝0，因此也是正确的，故选ACD．]
12．角α顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，点P在α的终边上，点Q(－3，－4)，且tan
α＝－2，则与夹角的余弦值为( )
A．－
B．
C．或－
D．或
C [因为tan
α＝－2，所以可设P(x，－2x)，cos〈，〉＝＝，
当x＞0时，cos〈，〉＝，当x＜0时，cos〈，〉＝－.故选C．]
13．(一题两空)已知向量m＝(λ＋2,1)，n＝(λ＋1,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则向量m，n的夹角的余弦值为__________，m＋n在n方向上的投影的数量为________．
[由题意知向量m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(1，－1)，
因为(m＋n)⊥(m－n)，所以λ＝0.
所以m＝(2,1)，n＝(1,2)，cos〈m·n〉＝，m＋n＝(3,3)．
m＋n在n方向上的投影的数量为|m＋n|cos〈m＋n，n〉＝＝.]
14．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·＝4，·＝－1，则B·C的值是________．
[法一：以D为坐标原点，BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，设B(－a,0)，C(a,0)，A(b，c)，则E，F，
＝(b＋a，c)，＝(b－a，c)，
＝，＝，
＝，C＝，
由·＝b2－a2＋c2＝4，
·＝－a2＋＝－1，
解得b2＋c2＝，a2＝，
则·＝(b2＋c2)－a2＝.
法二：设＝a，＝b，则
·＝(a＋3b)·(－a＋3b)＝9|b|2－|a|2＝4，
·＝(a＋b)·(－a＋b)＝|b|2－|a|2＝－1，
解得|a|2＝，|b|2＝，
则·＝(a＋2b)·(－a＋2b)＝4|b|2－|a|2＝.]
15．已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，c＝a＋λb，λ∈R.
(1)求λ为何值时，
|c|最小？此时b与c的位置关系如何？
(2)求λ为何值时，
a与c的夹角最小？
此时a与c的位置关系如何？
[解] (1)由a＝(1,2)，b＝(－3,4)，得
c＝a＋λb＝(1－3λ，2＋4λ)，
|c|2＝c2＝(1－3λ)2＋(2＋4λ)2＝5＋10λ＋25λ2
＝25＋4，
当λ＝－时，|c|最小，此时c＝，
b·c＝0，所以b⊥c.
(2)设向量a与c的夹角为θ，则
cos
θ＝＝＝，
要使向量a与c的夹角最小，则cos
θ最大，
由于θ∈[0,
π]，所以cos
θ的最大值为1，此时θ＝0，＝1，
解得λ＝0，c＝(1,2)．
所以当λ＝0时，a与c的夹角最小，此时a＝c.
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