模块综合测评(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知α是第二象限角，sin
α＝，则cos
α＝( )
A．－
B．－
C．
D．
A [因为α为第二象限角，所以cos
α＝－＝－.]
2．若|a|＝2cos
75°，|b|＝4cos
15°，a与b的夹角为30°，则a·b的值为( )
A．
B．
C．
D．2
C [因为|a|＝2cos
75°＝2sin
15°，|b|＝4cos
15°，
a与b的夹角为30°，
所以a·b＝|a||b|cos
30°＝2sin
15°·4cos
15°·cos
30°
＝4sin
30°cos
30°＝2sin
60°＝2×＝.]
3．函数y＝lg(x2＋10x＋6)的零点是x1＝tan
α和x2＝tan
β，则tan(α＋β)＝( )
A．
B．
C．－
D．－
B [因为y＝lg(x2＋10x＋6)的零点是x1＝tan
α和x2＝tan
β，所以x1，x2是方程x2＋10x＋5＝0的两根．由根与系数的关系得由两角和的正切公式得tan(α＋β)＝＝.]
4．已知点A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B在第二象限．记∠AOB＝θ且sin
θ＝，则＝( )
A．
B．
C．－
D．－
C [点A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B在第二象限，记∠AOB＝θ且sin
θ＝，可得θ∈，cos
θ＝－，tan
θ＝－，
则＝
＝＝－.]
5．将函数y＝sin
(2x＋φ)的图像沿x轴后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( )
A．
B．
C．0
D．－
B [y＝sin
(2x＋φ)y＝sin
＝sin.
当φ＝时，y＝sin
(2x＋π)＝－sin
2x，为奇函数；
当φ＝时，y＝sin＝cos
2x，为偶函数；
当φ＝0时，y＝sin，为非奇非偶函数；
当φ＝－时，y＝sin
2x，为奇函数．故选B．]
6．函数y＝xcos
x＋sin
x的图像大致为( )
D [当x＝时，y＝1＞0，排除C．
当x＝－时，y＝－1，排除B；或利用y＝xcos
x＋sin
x为奇函数，图像关于原点对称，排除B．
当x＝π时，y＝－π＜0，排除A．故选D．]
7．已知3a＋4b＋5c＝0，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则a·(b＋c)＝( )
A．0
B．－
C．
D．－
B [由3a＋4b＋5c＝0，得向量3a,4b,5c能组成三角形，又|a|＝|b|＝|c|＝1，所以三角形的三边长分别是3,4,5，故三角形为直角三角形，且a⊥b，所以a·(b＋c)＝a·c＝－.]
8．给出以下命题：
①若α，β均为第一象限角，且α＞β，则sin
α＞sin
β；
②若函数y＝2cos的最小正周期是4π，则a＝；
③函数y＝是奇函数；
④函数y＝的周期是π；
⑤函数y＝sin
x＋sin
|x|的值域是[0,2]．
其中正确命题的个数为( )
A．3
B．2
C．1
D．0
D [对于①来说，取α＝390°，β＝60°，均为第一象限角，而sin
60°＝，sin
390°＝sin
30°＝，故sin
α＜sin
β，故①错误；对于②，由三角函数的最小正周期公式T＝＝4π，得a＝±
，故②错误；对于③，该函数的定义域为{x|sin
x－1≠0}＝，因定义域不关于原点对称，故没有奇偶性，故③错误；对于④，记f(x)＝.若T＝π，则有f＝f，而f＝＝1.5，f＝＝0.5，显然不相等，故④错误；对于⑤，y＝sin
x＋sin
|x|＝
，而当f(x)＝2sin
x(x≥0)时，－2≤2sin
x≤2，故函数y＝sin
x＋sin
|x|的值域为[－2,2]，故⑤错误．综上可知选D．]
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．函数f(x)＝tan的图像的对称中心可以是( )
A．
B．
C．
D．
AB [由正切函数的对称中心，(k∈Z)可以推出f(x)对称中心的横坐标满足x＋＝?x＝－＋(k∈Z)，代入四个选项可知，当k＝0时，x＝－，当k＝1时，x＝.故，是图像的对称中心．]
10．下列四个选项，化简正确的是( )
A．cos(－15°)＝
B．cos
15°cos
105°＋sin
15°sin
105°＝cos(15°－105°)＝0
C．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos
60°＝
D．sin
14°cos
16°＋sin
76°cos
74°＝
BCD [对于A：法一：原式＝cos(30°－45°)＝cos
30°cos
45°＋sin
30°sin
45°
＝×＋×＝，A错误；
法二：原式＝cos
15°＝cos(45°－30°)
＝cos
45°cos
30°＋sin
45°sin
30°
＝×＋×＝.
对于B：原式＝cos(15°－105°)
＝cos(－90°)
＝cos
90°＝0，B正确；
对于C：原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]
＝cos(－60°)＝cos
60°＝，C正确；
对于D：原式＝cos
76°cos
16°＋sin
76°sin
16°
＝cos(76°－16°)
＝cos
60°
＝，D正确．]
11．定义两个非零平面向量的一种新运算a
b＝|a||b|·sin〈a，b〉，其中〈a，b〉表示a，b的夹角，则对于两个非零平面向量a，b，下列结论一定成立的有( )
A．a在b上的投影的数量为|a|·sin〈a，b〉
B．(a
b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2
C．λ(a
b)＝(λa)
b
D．若a
b＝0，则a与b平行
BD [①对于选项A，a在b上的投影的数量为|a|·cos〈a，b〉，故选项A错误，
②对于选项B，(a
b)2＋(a·b)2
＝|a|2|b|2(sin2〈a，b〉＋cos2〈a，b〉)
＝|a|2|b|2，故选项B正确，
③对于选项C，λ(a
b)＝λ|a||b|sin〈a，b〉，
λa
b＝|λa||b|sin〈λa，b〉，
当λ<0时，不成立，故选项C错误，
④由a
b＝0，
所以sin〈a，b〉＝0，
所以〈a，b〉＝0°或180°，
即a与b平行，故选项D正确．]
12．已知函数f(x)＝cos
2x－sin
2x，则下列说法正确的是( )
A．f(x)的周期为π
B．x＝是f(x)的一条对称轴
C．是f(x)的一个递增区间
D．是f(x)的一个递减区间
ABD [因为f(x)＝cos
2x－sin
2x＝－2sin，
所以f(x)的周期为π，故A正确；
因为f＝－2sin＝－2，
所以x＝是f(x)的一条对称轴，故B正确；
当x∈时，2x－∈，
函数f(x)在上不单调，故C错误；
当x∈时，2x－∈，
函数f(x)在上单调递减，故D正确．]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．在平面直角坐标系xOy中，已知＝(－1，t)，＝(2,2)．若∠ABO＝90°，则实数t的值为________．
5 [因为∠ABO＝90°，所以⊥，所以·＝0.又＝－＝(2,2)－(－1，t)＝(3,2－t)，
所以(2,2)·(3,2－t)＝6＋2(2－t)＝0，所以t＝5.]
14．函数f(x)＝cos在[0，π]的零点个数为__________．
3 [因为f(x)＝cos＝0，所以3x＋＝＋kπ，k∈Z，所以x＝＋kπ，k∈Z，
当k＝0时，x＝；当k＝1时，x＝π；
当k＝2时，x＝π；当k＝3时，x＝π.
因为x∈[0，π]，所以x＝或x＝π或x＝π，故零点的个数为3.]
15．已知2cos2x＋sin
2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0)，则A＝________，b＝________.(本题第一空2分，第二空3分)
1 [因为2cos2x＋sin
2x＝1＋cos
2x＋sin
2x
＝sin＋1
＝Asin(ωx＋φ)＋b，所以A＝，b＝1.]
16．若函数f(x)＝sin＋sin＋cos
x＋a的最大值是0，则实数a的值是________．
－2 [f(x)＝sin
xcos
＋cos
xsin
＋sin
xcos
－cos
xsin
＋cos
x＋a
＝sin
x＋cos
x＋a＝2sin＋a，
当x＝2kπ＋(k∈Z)时，f(x)max＝a＋2＝0，故a＝－2.]
四、解答题(本大题共6小题，共70分.
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知|a|＝1，|b|＝，a与b的夹角为θ.
(1)若a∥b，求a·b；
(2)若a－b与a垂直，求θ.
[解] (1)因为a∥b，所以θ＝0°或180°，
所以a·b＝|a||b|cos
θ＝±.
(2)因为a－b与a垂直，
所以(a－b)·a＝0，即|a|2－a·b＝1－cos
θ＝0，
所以cos
θ＝.
又0°≤
θ
≤
180°，所以θ＝45°.
18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin
x，cos
x)，x∈.
(1)若m⊥n，求tan
x的值；
(2)若m与n的夹角为
，求x的值．
[解] (1)若m⊥n，则m·n＝0.
由向量数量积的坐标公式得
sin
x－
cos
x＝0，
所以tan
x＝1.
(2)因为m与n的夹角为
，
所以m·n＝|m|·|n|cos
，
即
sin
x－
cos
x＝
，所以sin＝
.
又因为x∈，所以x－
∈，
所以x－
＝
，即x＝
.
19．(本小题满分12分)已知α，β为锐角，tan
α＝，cos
(α＋β)＝－.
(1)求cos
2α的值；
(2)求tan
(α－β)的值．
[解] (1)因为tan
α＝，tan
α＝，
所以sin
α＝cos
α.
因为sin2
α＋cos2
α＝1，
所以cos2α＝，
因此cos
2α＝2cos2α－1＝－.
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．
又因为cos
(α＋β)＝－，
所以sin
(α＋β)＝＝，
因此tan
(α＋β)＝－2.
因为tan
α＝，
所以tan
2α＝＝－.
因此，tan
(α－β)＝tan
[2α－(α＋β)]
＝＝－.
20．(本小题满分12分)设函数f(x)＝－sinsinx＋－cos2x＋，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期和对称中心；
(2)若函数g(x)＝f，求函数g(x)在区间上的最值．
[解] (1)由已知，有f(x)＝cos
xsin
x＋cos
x－cos2x＋
＝sin
xcos
x－cos2x＋＝sin
2x－(1＋cos
2x)＋＝sin
2x－cos
2x
＝sin.
所以最小正周期为T＝π，
由2x－＝kπ，得x＝＋，k∈Z.
所以对称中心为k∈Z.
(2)由g(x)＝f，得g(x)＝sin，
当x∈时，2x＋∈，可得g(x)在区间上单调递增，
当x∈时，2x＋∈，可得g(x)在区间上单调递减．
所以g(x)max＝g＝.
又g＝－＜g＝，
所以g(x)min＝－.
21．(本小题满分12分)如图所示，在平面直角坐标系中，锐角α，β(β>α)的终边分别与单位圆交于A，B两点，点A.
(1)若点B，求cos(α＋β)的值；
(2)若·＝，求sin
β.
[解] (1)因为α是锐角，且A，B在单位圆上，所以sin
α＝，cos
α＝，sin
β＝，cos
β＝，故cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β＝×－×＝－.
(2)因为·＝，
所以||·||cos(β－α)＝，
且||＝||＝1，所以cos(β－α)＝，
可得sin(β－α)＝(β>α)，且cos
α＝，sin
α＝，
故sin
β＝sin[α＋(β－α)]＝sin
αcos(β－α)＋cos
αsin(β－α)＝×＋×＝.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin
(ωx＋φ)＋B的一系列对应值如下表：
x
－
y
－1
1
3
1
－1
1
3
(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式；
(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k＞0)的最小正周期为，当x∈时，方程f(kx)＝m恰好有两个不同的解，求实数m的取值范围．
[解] (1)设f(x)的最小正周期为T，
则T＝－＝2π，
由T＝，得ω＝1.
又
解得
令ω·＋φ＝，即＋φ＝，
解得φ＝－，
所以f(x)＝2sin＋1.
(2)因为函数y＝f(kx)＝2sin＋1的最小正周期为，
又k＞0，所以k＝3，令t＝3x－，
因为x∈，t∈，
若sin
t＝s在t∈上有两个不同的解，
则s∈，
所以方程f(kx)＝m在x∈上恰好有两个不同的解，
则m∈[＋1,3)，
即实数m的取值范围是[＋1,3)．
PAGE模块综合测评(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知α是第二象限角，sin
α＝，则cos
α＝( )
A．－
B．－
C．
D．
2．若|a|＝2cos
75°，|b|＝4cos
15°，a与b的夹角为30°，则a·b的值为( )
A．
B．
C．
D．2
3．函数y＝lg(x2＋10x＋6)的零点是x1＝tan
α和x2＝tan
β，则tan(α＋β)＝( )
A．
B．
C．－
D．－
4．已知点A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B在第二象限．记∠AOB＝θ且sin
θ＝，则＝( )
A．
B．
C．－
D．－
5．将函数y＝sin
(2x＋φ)的图像沿x轴后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( )
A．
B．
C．0
D．－
6．函数y＝xcos
x＋sin
x的图像大致为( )
7．已知3a＋4b＋5c＝0，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则a·(b＋c)＝( )
A．0
B．－
C．
D．－
8．给出以下命题：
①若α，β均为第一象限角，且α＞β，则sin
α＞sin
β；
②若函数y＝2cos的最小正周期是4π，则a＝；
③函数y＝是奇函数；
④函数y＝的周期是π；
⑤函数y＝sin
x＋sin
|x|的值域是[0,2]．
其中正确命题的个数为( )
A．3
B．2
C．1
D．0
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．函数f(x)＝tan的图像的对称中心可以是( )
A．
B．
C．
D．
10．下列四个选项，化简正确的是( )
A．cos(－15°)＝
B．cos
15°cos
105°＋sin
15°sin
105°＝cos(15°－105°)＝0
C．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos
60°＝
D．sin
14°cos
16°＋sin
76°cos
74°＝
11．定义两个非零平面向量的一种新运算a
b＝|a||b|·sin〈a，b〉，其中〈a，b〉表示a，b的夹角，则对于两个非零平面向量a，b，下列结论一定成立的有( )
A．a在b上的投影的数量为|a|·sin〈a，b〉
B．(a
b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2
C．λ(a
b)＝(λa)
b
D．若a
b＝0，则a与b平行
12．已知函数f(x)＝cos
2x－sin
2x，则下列说法正确的是( )
A．f(x)的周期为π
B．x＝是f(x)的一条对称轴
C．是f(x)的一个递增区间
D．是f(x)的一个递减区间
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．在平面直角坐标系xOy中，已知＝(－1，t)，＝(2,2)．若∠ABO＝90°，则实数t的值为________．
14．函数f(x)＝cos在[0，π]的零点个数为__________．
15．已知2cos2x＋sin
2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0)，则A＝________，b＝________.(本题第一空2分，第二空3分)
16．若函数f(x)＝sin＋sin＋cos
x＋a的最大值是0，则实数a的值是________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分.
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知|a|＝1，|b|＝，a与b的夹角为θ.
(1)若a∥b，求a·b；
(2)若a－b与a垂直，求θ.
18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin
x，cos
x)，x∈.
(1)若m⊥n，求tan
x的值；
(2)若m与n的夹角为
，求x的值．
19．(本小题满分12分)已知α，β为锐角，tan
α＝，cos
(α＋β)＝－.
(1)求cos
2α的值；
(2)求tan
(α－β)的值．
20．(本小题满分12分)设函数f(x)＝－sinsinx＋－cos2x＋，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期和对称中心；
(2)若函数g(x)＝f，求函数g(x)在区间上的最值．
21．(本小题满分12分)如图所示，在平面直角坐标系中，锐角α，β(β>α)的终边分别与单位圆交于A，B两点，点A.
(1)若点B，求cos(α＋β)的值；
(2)若·＝，求sin
β.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin
(ωx＋φ)＋B的一系列对应值如下表：
x
－
y
－1
1
3
1
－1
1
3
(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式；
(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k＞0)的最小正周期为，当x∈时，方程f(kx)＝m恰好有两个不同的解，求实数m的取值范围．
PAGE
