2.4用公式法进行因式分解（1）

西湖中学双案教学设计
学科 数学 年级 八 时间 总序号
课题 §2.4用公式法进行因式分解(1) 主备人 芊芊
教学目标和学习目标 理解运用公式法因式分解的含义。2、会根据公式的特点，对某些能直接运用公式的多项式进行因式分解。
重点难点 重点：运用公式法因式分解。难点：能根据公式的特点，对某些能直接运用公式的多项式进行因式分解。
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（一）温故知新根据前面的学习，回答下列问题：1、我们学习了哪两个乘法公式？ 计算:(a-b)22、什么叫做因式分解？我们学习了哪一种因式分解的方法？（二）探索新知一问题思考：你能把下列各多项式进行因式分解吗？a2-b2 (2)a2+2ab+b2 （3）a2-2ab+b22、如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做 。3、下列多项式哪些可以用平方差公式进行因式分解？①x-y②- x+y③x+y④- x-y⑤16-3b⑥4x-9y4、交流与发现一：平方差公式a-b=(a+b)(a-b)的结构特征：左边的结构特征是 ；右边的结构特征是 ； 学生回答师板书计算补充：因式分解和整式乘法是互逆的过程师板书强调某些并不是所有的二项式都能运用平方差公式进行因式分解引导分析左边特征（1）几项式（2）次数（3）项的符号
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（三）巩固运用一例1试一试把下列各多项式进行因式分解：（1）4x2-25 (2)16a2-b2练习一把下列各多项式进行因式分解：x2-9 (2)4m2-n2(3)25-4x2y2 (4)x2-36y2（四）探索新知二 1、下列多项式哪些可以用完全平方公式进行因式分解？①x2+2xy-y2 ②- x2+2xy+y2③x2+xy+y2 ④x2-2xy+ y2⑤ x2+2x+1 ⑥ x2 -2x+1结论：形如a 2 +2ab+b2 或a 2—2ab+b 2 的式子称为完全平方式2、交流与发现二：完全平方公式a+2ab+b=(a+b) ，a 2—2ab+b 2=（a+b）2的结构特征？左边的结构特征是 ； ； ；右边的结构特征是 ；结论：形如a 2 +2ab+b2 或a 2—2ab+b 2 的式子称为完全平方式。（五）巩固运用二1、例2、试一试把下列各多项式进行因式分解：(1)25x2+20x+4 (2)9m2-3mn+n2 师生共同合作完成（1）提问生完成（2）独立完成练习师指导指名回答师补充并不是所有的三项式都能运用完全平方公式进行因式分解引导分析左边的结构（1）几项式（2）次数（3）项的符号师生共同完成例2强调积的2倍的符号
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2、练习二：把下列各多项式进行因式分解：a2+8a+16 (2)m2-4mn+4n2m2+mn+n2 (4)4x2-12xy+9y23、拓展：在下列各题的括号内填上适当的代数式，使这个式子是一个完全平方式。 n2-6n+( )（六）课堂小结当堂检测1、判断正误： （1）x2 –y 2 = (x–y) 2 ( ) （2）x 2 –2xy–y 2 = (x–y) 2 ( )2、下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是（ ） A x2-4y B x2+2x+4 C x2+4 Dx2-x+2、把下列各多项式进行因式分解： (1)25x2-36 (2) 1+6y+9y2 (3)a2-8ab+16b2挑战自我多项式4x2-x加上一个怎样的单项式，就成为一个完全平方式？多项式0.25x2+1呢？ 独立完成例师板书练习二师巡回指导思考让优等生回答畅谈收获独立完成出示答案
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板书设计 §2.4用公式法进行因式分解(1) 平方差公式 例题 完全平方公式
师生收获及反思
这节课同学们对完全平方公式的应用感觉到困难，尤其是积的2倍是负号时。
拓展应用,
4.思考：下列哪些式子是完全平方式？如果是，就把它们进行因式分解．
（1）x2–4xy+4y2 （2）x 2 +4xy–4y 2 （3）4m2 –6mn+9n 2 （4）m2 +6mn+9n 2
4.思考：下列哪些式子是完全平方式？如果是，就把它们进行因式分解．
（1）x2–4xy+4y2 （2）x 2 +4xy–4y 2 （3）4m2 –6mn+9n 2 （4）m2 +6mn+9n 2
1、口答：
把下列各式分解因式：
（1）x-4 (2)x-2x+1
(3)4x+4x+1 (4)n-6n+9
2、在下列各题的括号内填上适当的代数式，使这个式子是一个完全平方式。
(1)25x-( )+9 (2)9x-36x+( )
3、1-8y+( ) =【1-( 4y)】
2、下列多项式中，哪些是完全平方式？请把是完全平方式的多项式分解因式：
（1）x2–4x+4 （2）9a2 b2–3ab+1 （3） m 2 +3mn+9n2 （4）x 6 –10x 5+25
归纳：
（1） 先提公因式（有的话）；
（2） 利用公式（可以的话）；
（3） 分解因式时要分解到不能分解为止.
把代数式2x2+4xy+2y2= ( )
A.(2x+y)2 B.(x+2y)2
C.(2x+2y)2 D.2(x+y)2xialie
凡是符合平方差公式特点的二项式，都可以运用平方差公式进行因式分解。如：x2-y2,a2-1，（x+1）2-(y+1)2,4x2-9,-16a2+(b+c)2等都可以运用平方差公式进行因式分解。
公式中所说的“两个数”是a,b,而不是a2,b其中a，b表示不仅可以表示数，而且可以表示其它的任意的代数式。（单项式，多项式等）。
因式分解的最后结果必须做到不能再分解为止。
把乘法公式中的完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2反过来，就得到因式分解的完全平方公式：
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
也就是说，
两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和的平方。
两个数的平方和减去这两个数的积的2倍，等于这两个数的差的平方。
凡符合完全平方公式左边特点的三项式，都可以运用完全平方公式进行因式分解。如：x2+2xy+y2,x2-2x+1,(m+n)2-4(m+n)+4等都可以运用完全平方公式进行因式分解。
公式中的a,b,即“这两个数”可以表示任意的代数式。
左边首尾两项是两个数（或代数式）的平方，而中间一项是这两个数（或代数式）的积的2倍或积的2倍的相反数；右边为这两个数（或代数式）的和或差的平方。
当一个多项式满足下述条件时便可以用完全平方公式因式分解：
（1）能用完全平方公式分解的多项式必须是三项式，（2）（其中有两项的符号相同，且这两项的绝对值均可以转化某两数或代数式的平方（3）第三项为2中这两个数（或代数式）的积的2倍或积的2倍的相反数。）其中首末两项和是两个数的平方和的形式，而中间的一项是这两个数的积的2倍，运用公式时，必须弄清那一项相当于公式中的第一项，那一项相当与公式中的第三项，哪一项相当于公式中的第二项（乘积项）
需要注意：（1）初学的同学很容易忽视完全平方式的中间的项，而错误的认为：a2+b2=(a+b)尤其对a2-2ab+b2=(a-b)2型的式子和平方差公式混淆。
（2）形如a2+2ab+b2（a2-2ab+b2）的式子称为完全平方式。
在对多项式进行因式分解时，先看有没有公因式，若有公因式，应先提出公因式，再用公式法分解因式。
例1：选择恰当的公式将下列各式进行因式分解：
（1）x4-16 (2)-x2+4x-4
(3)(m+n)2+2(m+n)+1
(1)当二次三项式中的二次项系数是负数时，为方便分解，可先提出“-”号，使二次项系数变为整数。
(2)二项式一般考虑用平方差公式分解，三项式一般考虑用完全平方公式分解。
经常会用到因式分解的方法进行简便运算，所以在计算时应注意观察算式特点。
因式分解的一般思路是：“一提”，即先看是否有公因式可提，若有，先提公因式；“二”套，即考虑是否能套用公式。
因式分解一定要彻底，即要分解到不能再分解为止。
技巧平台：
运用公式法分解多项式的关键在于把给出的多项式转化为符合公式的形式，并确定对应与公式中字母“a”“b” 对应的数（或含有字母的代数式），并不是所有的多项式都可以运用公式进行分解的，只有当给出的多项式完全符合公式的形式时，才能运用公式进行分解。
三个因式分解公式在项数和次数方面都有各自的特点，例如：平方差公式适用于两项的多项式的分解，而完全平方公式适用于三项的多项式的分解，掌握了这些特点，在解题时，就简单多了。
用公式法进
行因式分解
因式分解中平方差公式的特点：左边是两个数的平方（或代数式）差，右边是这两个数的和与差的积。
每一项的绝对值均可化为某个数的平方，即多项式可以转化为平方差的形式。
对比总结：
平方差公式与完全平方公式
联系：都是将多项式转化为乘积的形式
区别：
1：平方差公式的左边是两数（项）平方的差，右边是这两数（项）和与差的乘积
2：完全平方公式左边是三项得和----首平方，尾平方，积的2倍夹中央，右边是两数（项）和的平方。乘积的两倍在中央
若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值可是以是（ ）
A. 4 B. -4 C. +2或-2 D.+4或-4
x2+mx+4=x2+2×(±2)·x+(±2)2
误区警示：
（1）弄错结果中“乘积的2倍”这一项的符号或漏掉“乘积的2倍”这一项。
（2）漏掉乘积项中的因数“2”
（3）把平方和与两数和的完全平方混淆，如a2+b2=(a+b)2
因式分解的定义及整式乘法的关系
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解。
因式分解是把多项式化成几个整式的乘积，这与整式的乘法的过程相反，整式的乘法是“积化成和差”，而因式分解是“和差化为积”，两者变形相反，但却不是互逆运算。