天津一中2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题 PDF版含答案

天津 一中2020－2021－1高一 年级 数学 学科 期中 质量 调查 试卷
本试 卷分 为第 I 卷（ 选择 题） 、第 II 卷（ 非选 择题 ）两 部分 ，共 100 分， 考试 用时 90 分
钟。 第 Ⅰ卷为 第 1 页， 第 Ⅱ卷为 第 2 页。 考生 务必 将答 案涂 写规 定的 位置 上， 答在 试卷 上的
无效 。
祝各 位考 生考 试顺 利 !
第 Ⅰ卷
一． 选择 题： （每 小题 3 分， 共 30 分） 在每 小题 给出 的四 个选 项中 ，只 有一 项是 符合 题目 要求
的．
2
1.已知 集合 xxZxA ?????? }02|{ ，则 集合A的真 子集 个数 为（ ）
A. 3 B. 4 C. 7 D. 8
2
2．命 题“? ?x (0, 1), x x? ?0”的否 定是 （ ）
2 2
A ．? ?x0 ( 0, 1), x x0 0? ?0 B．? ?x0 ( 0, 1), x x0 0? ?0
2 2
C ．? ?x0 ( 0, 1), x x0 0? ?0 D ．? ?x0 ( 0, 1), x x0 0? ?0
3.下列 命题 中， 不正 确的 是（ ）
A. 若a b? 2 2
，c d? ，则a d b c? ? ? B. 若a x a y? ，则x y?
1 1 1 1
C. 若a b? 2
，则 ? D. 若 ? ?0，则a b b?
a?b a a b
2
4．若 命题 “? ?x R，使x a x＋ － ＋1( ) 1 0? ”是假 命题 ，则 实数a的取 值范 围为 ( )
A ．1 3? ?a B．－3 3? ?a
C ．－1 3? ?a D ．－1 1? ?a
2 ? ?
5．若 x ??? x 2x 2
,14 则 ( )
2x?2
A．有 最小 值 1 B．有 最大 值 1
C．有 最小 值－ 1 D．有 最大 值－ 1
x
6．已 知 f( ?1)?2x?3，则 f( 6 )的值 为（ ）
2
A． 15 B．7 C ．31 D． 17
1
7 ． 已 知p： ≥ 1 ，q： |x－a|<1 ， 若p是q的 充 分 不 必 要 条 件 ， 则 实 数a的 取 值 范 围 为
x－ 2
（ ） ( )
A． (－∞ ，3] B．[2,3] C ．(2,3] D． (2,3)
? 2
?x? ?2,x?0
8．已 知函 数 f(x)?? x ，则 f x( )的最 大值 是( )
? 2
??x ?1,x?0
A．2?2 2 B．2?2 2 C．?1 D ．1
9 ． 若 关 于x 2 2
的 不 等 式 cbxax ??? 0的 解 集 为 xx ?? }31|{ ， 则 不 等 式 abxcx ??? 0的 解
集为 （ ）
? 1 ?
A ．?x x| 3 1? ? ? ? ? B．?x| ? x?1?
? 3 ?
1
C ．{x|x? 或x?1} D ．{ | 3x x? ? 或x ? ?1}
3
? 2
? , 2x?
10．已 知定 义域 为R的奇 函数 f x? ?，满 足 f x? ???2 3x? ，下 列叙 述正 确的 是
? 2
?x x x? ? ? ?2 2, 0 2
（ ）
A．不 存在 实数k，使 关于x的方 程 f x kx? ?? 有 7 个不 相等 的实 数根
B．当? ? ? ?1 1x x1 2 时， 恒有 f x f x? ? ? ?1 ? 2
? 5?
C．若 当x a??0, ?时， f x? ?的最 小值 为 1 ，则a??1, ?
? 2?
3 3
D．若 关于x的方 程 f x? ?? 和 f x m? ?? 的所 有实 数根 之和 为零 ，则m??
2 2
第 Ⅱ卷
二． 填空 题： （每 小题 4 分， 共 24 分）
0
x? )32(
11.函数 ? ?xf ? ._________
2 的定 义域 是
2 ?? xx
2 m?2
12．若 幂函 数 ??? )33( xmmy 的图 象关 于原 点对 称， 则m的取 值为_________．
y 2
13.若两 个正 实数 ,yx 满足4 ?? xyyx ，且 不等 式x? ? m ?3m恒成 立， 则实 数m的取 值范
4
围是_________．
2
??a x x x? ? ?1( 2 )
14.函数 f x? ??? 是R上的 单调 递减 函数 ，则 实数a的取 值范 围是
??? ? ?x x1 2? ?
_________．
15．已 知 是定 义在 ?bb ]1,2[ 上的 偶函 数， 且在 b ]0,2[ 上单 调递 增， 则 ?? xfxf )2()1( 的
解集 为_________．
16．设 函数 f x( )的定 义域 为D，如 果对 于任 意的x D1? ，存 在唯 一的x D2? ，使
f x f x? ? ? ?1 ? 2 ?c（c为常 数） ，则 称函 数 f x( )在D上的 均值 为c.给出 下列 五个 函数 ： ①
2
y x? 2 1 1
；② y x?| |；③ y x= ；④y? ；⑤y? x? .则满 足在 其定 义域 上均 值为 2 的所 有函
x x
数是 _____ _（填 写正 确的 序号 ）
三． 解答 题： (本大 题共 4 小题 共 46 分。 解答 应写 出文 字说 明， 证明 过程 或演 算步 骤。 )
? x?3 ?
17．设 全集 ? RU ，集 合A??x ?0?,B ??xx?1?,C ??x2a? x?a?3?.
? x?2 ?
(1)求 UAC 和 ?BA ；
(2) 若 ?? ACA ，求 实数a的取 值范 围．
2
18.已知 函数 )( mxxxf ??? 4，
（1 ）当 x?? 21 时， 求函 数 xf )( 的最 大值 ；
（2 ）当 x?? 21 时， xf ? 0)( 恒成 立， 求实 数m的取 值范 围。
2
?? ? ?x x x2 , 0,
?
19． 已知 函数 f x( ) 0,?? x?0,是奇 函数 .
? 2
?x m x x? ?, 0
（1 ）求 实数m的值 ；
（2 ）若 函数 f x( )在区 间[ 1, 2]? ?a 上单 调递 增， 求实 数a的取 值范 围；
f(x)? f(?x)
（3 ）求 不等 式 ?0的解 集 .
x
2
x ?2x?a
20．已 知函 数 f(x) ? ．
x
(1) 若 xfxg ?? 2)()( ，判 断 xg )( 的奇 偶性 并加 以证 明．
1
(2) 当a ? 时， 先判 断函 数f(x)在 [1，＋ ∞) 上的 单调 性并用 单调 性的 定义 加以 证明，再 求函
2
数 xf )( 在 [1，＋ ∞)上的 最小 值．
(3) 若对 任意 xfx ???? 0)(),,1[ 恒成 立， 求实 数a的取 值范 围。
参考 答案
1.A
2.B
3.C
4.C
5.D
6.C
【解 析】
x
令 ?1?t，则x t? ?2 2
2
x
将x t? ?2 2代入 f( ?1)?2x?3，
2
得 f t t t( ) 2( 2 2) 3 4 7? ? ? ? ?
所以 f x x( ) 4 7? ? ，所 以 f(6) 4 6 7 31? ? ? ? .
故选 ：C
7． C
8． B
2
【解 析】（ 1）当x?0时， f(x)? x? ?2，任 取x x1 2? ?0，
x
? 2 ? ? 2 ? ? 2 ?
则 f(x1)? f(x2)??x1? ?2???x2 ? ?2??(x1?x2)?1? ?，
? x1 ? ? x2 ? ? x1x2 ?
? 2 ?
当x1 ? x2 ?? 2时，(x1?x2)?1? ??0，即 f x f x( ) ( )1 ? 2 ，函 数 f x( )单调 递增 ；
? x1x2 ?
? 2 ?
当? 2 ? x1 ? x2 ?0时，(x1?x2)?1? ??0，即 f x f x( ) ( )1 ? 2 ，函 数 f x( )单调 递减 ；
? x1x2 ?
所以 f(x)max ? f(? 2)?2?2 2；
2
（2 ）当x?0时， f x x( ) 1? ? ? 单调 递减 ，所 以 f x f( ) ( 0) 1max ? ? ? ；
而2?2 2 ? ?1，所 以 f(x)max ?2?2 2，
9． B
10． C
【解 析】 因为 该函 数是 奇函 数， 故 f x? ?在R上的 解析 式为 ：
? 2
? , ( 2)x? ?
2 3x?
? 2
?? ? ? ? ? ?x x x2 2, ( 2 0)
?
f x? ??? 0, 1? ?x?
? 2
x x x? ? ? ?2 2, ( 0 2)
?
? 2
? , ( 2)x?
? 2 3x?
绘制 该函 数的 图像 如下 所示 ：
对A：如 图所 示直 线l1与该 函数 有 7 个交 点， 故A正确 ；
对B：当? ? ? ?1 1x x1 2 时， 函数 不是 减函 数， 故B错误 ；
? ?5
对C：如 图直 线l y2 : 1? ，与 函数 图交 于? ?1, 1 , , 1? ?，
? ?2
? 5?
故当 f x? ?的最 小值 为 1 时，a??1,? ?，故C正确 ；
? 2?
3
对D： f x? ?? 时， 若使 得其 与 f x m? ?? 的所 有零 点之 和为 0 ，
2
3 3
则m?? ，或m ? ? ，如 图直 线l3，故D错误 .
2 8
3 3
11.(?2,? )?(? ,1) 12． 1
2 2
13.【 -1,4】
1
a??
14. 2
? a?0
2 ? 1
??a x x x? ? ?1( 2 ) ? ? ?2
f x? ??? ? 2a 1
??
??? ? ?x x1 2? ? ?1?4a? a
1
解析 ：因 为 是 R 上的 增函 数， ∴? ，解 得 2
1
[?1, ]
15． 3
【答 案】
【解 析】 是定 义在 上的 偶函 数， ，
在 上为 增函 数， 函数 在 上为 增函 数， 故函 数 在 上为 减函
数，
则由 ，可 得 ，即 ，求 得
因为 定义 域为 ，所 以 ，解 得 综上 ，
16． ①
17．（ 10 ）解 析： (1)A＝ {x|－2A＝ {x|x≤－2 或x≥3} ，A∩B＝{x|1≤x<3} ……4
? U
(2) 由A∪C＝A知C?A ……5
当 2a>a＋ 3 时， 即a>3 时，C＝ ，满 足条 件； . ……… …7
?
当 2a≤a＋ 3 时， 即a≤3 时， 2a>－2 且a＋3<3 ，∴ －1综上 ，a>3 或－ 118.
（1 ）解 ：
m 3
①当- ? 时，即m??3时
2 2
?f(x)max ? f(2)?8?2m
m 3
②当- ? 时 即m??3时
2 2
f(x)max ? f(1)?5?m
2
(2)①(参量分离)Qmx??x ?4对?x?[1,2]恒成立
4
?m??(x? )对?x?[1,2]恒成立
x
4
又Q y??(x? )在(1,2]单增
x
?m??5为所求
2
②（函数方法）Q f(x)? x ?mx?4?0时?x?[1,2]恒成立
?f(1)?0 ?5?m?0
?只需? 即? ?m??5
?f(2)?0 ?8?2m?0
19．
2
【解 析】（ 1）设x?0，则? ?x 0，所 以 f x x x( ) 2? ? ? ?
2
因为 f x( )是奇 函数 ，所 以 f x f x x x( ) ( ) 2? ? ? ? ?
所以m ? 2
（2 ） f x( )的图 像为
因为 函数 f x( )在区 间[ 1, 2]? ?a 上单 调递 增
所以? ? ? ?1 2 1a
所以1 3< ?a
f(x)? f(?x) 2f(x)
（3 ）由 ?0可得 ?0，即xf x? ??0
x x
当x?0时 f x? ??0，由 图像 可得x?2
当x?0时 f x? ??0，由 图像 可得x? ?2
综上 ：x? ?? ? ??? ? ? ?, 2 2,?
20．解 ：
a *
（1）Q g(x)=x+ 定义域R
x
a
Q g(?x)??x? ??g(x)
x
?g(x)为奇函数
1
(2)Qa ? 2
1
? f(x)? x? ?2 ? f(x)在[1,??)上单增
2x
证明：?x1 ? x2且x1,x2?[1,??)
1 1
? f(x1)? f(x2)?(x1? ?2)?(x2? ?2)
2x1 2x2
1 1 1
?(x1?x2)? ( ? )
2 x1 x2
1
?(x1?x2)(1? )
2x?x2
2x1x2 ?1
?(x1?x2)? 2x1x2
Q1? x1 ?2 ?x1?x2 ?0 ?2x1x2 ?1?0
2x1x2 ?0
? f(x1)? f(x2)?0 ? f(x1)? f(x2)
7
? f(x)在[1,??)上? ? f(x)min ? f(1)? 2
(3)Q f(x) ?0对?x?[1,??)恒成立
2
x ?2x?a
? ? 0对?x?[1,??)恒成立
x
2
?a??(x ?2x)……
2
Q g(x)??(x?1) ?1?(??,?3]
?a??3为所求.