浙江省宁波市2021届中考数学高频题型一（整式的混合运算在几何图形面积、周长中的应用）（Word版 含答案）

浙江省宁波市中考数学高频题型
（一）
【中考真题】
1.（2017·浙江宁波·12）一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中，若知道九个小矩形中个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则的最小值是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2018·浙江宁波·12）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和false的正方形纸片按图1，图2两种方式放置false图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠false，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为false，图2中阴影部分的面积为false当false时，false的值为false　　false
A．2a B．2b C．false D．false
3．（2019·浙江宁波·12）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A．直角三角形的面积
B．最大正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积
D．最大正方形与直角三角形的面积和
4．（2020·浙江宁波·12）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（　　）
A．△ABC的周长 B．△AFH的周长
C．四边形FBGH的周长 D．四边形ADEC的周长
【牛刀小试】
1、如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙，无重叠的四边形
EFGH,设AB=a,BC=b,若AH=1,则()
A.?a2=4b?4 B.?a2=4b+4 C.?a=2b?1 D.?a=2b+1
如图，⊙O与矩形ABCD相切，切点分别为E、F、G，边BC与⊙O交于M、N两点。下列五组条件中，能求出⊙O半径的有（ ）
①已知AB、MN的长；②已知AB，BM的长；③已知AB，BN的长；④已知BE，BN的长，④已知BM，BN的长。
A.?2组 B.?3组 C.?4组 D.?5组
3、如图，四张大小不一的正方形纸片分别放置于长方形的四个角落，其中，①和②纸片既不重叠也无空隙，在长方形ABCD的周长已知的情况下，知道下列哪个正方形的边长，就可以求得阴影部分的周长（ ）
A.?① B.?② C.?③ D.?④
4．如图，已知大矩形ABCD由①②③④四个小矩形组成，其中AE＝CG，则只需要知道其中一个小矩形的面积就可以求出图中阴影部分的面积，这个小矩形是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
5．如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形．若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为（ ）
①② B．②③ C．①③ D．①②③
6．如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（　　）
A．4S1 B．4S2 C．4S2+S3 D．3S1+4S3
7．如图，梯形ABCD被分割成两个小梯形①②，和一个小正方形③，去掉③后，①和②可剪拼成一个新的梯形，若EF﹣AD＝2，BC﹣EF＝1，则AB的长是（ ）
A．6 B．3false C．9 D．3false
8．用线段EG，FH将正方形ABCD按如图1所示的方式分割成4个全等的四边形，且AE=BF=CG=DH，tan∠HFC=2，再将这四个四边形按如图2所示的方式拼成一个大正方形IJKL，若设正方形ABCD的面积为S1，正方形IJKL的面积为S2．小四边形MNPQ的面积为8，则 false 的值为（ ）
A．false B．false C．false D．false
9．如图，记图①中阴影部分面积为false，图②中阴影部分面积为false，设false，则（ ）
图① 图②
A．false B．false C．false D．false
10．一个大平行四边形按如图方式分割成九个小平行四边形且只有标号为①和②的两个小平行四边形为菱形，在满足条件的所有分割中，若知道九个小平行四边形中n个小平行四边形的周长，就一定能算出这个大平行四边形的长，则n的最小值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，4张如图1的长为a，宽为b（a＞b）长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，若S2＝2S1，则a，b满足（　　）
A．a＝false B．a＝2b C．a＝falseb D．a＝3b
11．如图①，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若直角三角形一个锐角为30°，将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”设AB＝a，则图中阴影部分面积为_____(用含a的代数式表示)
浙江省宁波市中考数学高频题型
（一）
【中考真题】
1.（2017·浙江宁波·12）一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中，若知道九个小矩形中个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则的最小值是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【详解】
解：如图所示：设①的周长为：4x，③的周长为2y，④的周长为2b，即可得出①的边长以及③和④的邻边和，
设②的周长为：4a，则②的边长为a，可得③和④中都有一条边为a，
则③和④的另一条边长分别为：y?a，b?a，
故大矩形的边长分别为：b?a＋x＋a＝b＋x，y?a＋x＋a＝y＋x，
故大矩形的面积为：（b＋x）（y＋x），其中b，x，y都为已知数，
故n的最小值是3．
故选：A．
2．（2018·浙江宁波·12）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和false的正方形纸片按图1，图2两种方式放置false图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠false，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为false，图2中阴影部分的面积为false当false时，false的值为false　　false
A．2a B．2b C．false D．false
【答案】B
【解析】
【分析】利用面积的和差分别表示出false和false，然后利用整式的混合运算计算它们的差．
【详解】false，
false，
false，
false，
false，
false，
false，
故选B．
3．（2019·浙江宁波·12）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A．直角三角形的面积
B．最大正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积
D．最大正方形与直角三角形的面积和
【答案】C
【分析】
根据勾股定理得到c2=a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可．
【详解】
设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，
由勾股定理得，c2=a2+b2，
阴影部分的面积=c2-b2-a（c-b）=a2-ac+ab=a（a+b-c），
较小两个正方形重叠部分的长=a-（c-b），宽=a，
则较小两个正方形重叠部分底面积=a（a+b-c），
∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，
故选C．
4．（2020·浙江宁波·12）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（　　）
A．△ABC的周长 B．△AFH的周长
C．四边形FBGH的周长 D．四边形ADEC的周长
【分析】
由等边三角形的性质和三角形的内角和定理可得：FH＝GH，∠ACB＝∠A＝60°，∠AHF＝∠HGC，进而可根据AAS证明△AFH≌△CHG，可得AF＝CH，然后根据等量代换和线段间的和差关系即可推出五边形DECHF的周长＝AB+BC，从而可得结论．
【详解】
3324225135255解：∵△GFH为等边三角形，
∴FH＝GH，∠FHG＝60°，
∴∠AHF+∠GHC＝120°，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，
∴∠GHC+∠HGC＝120°，
∴∠AHF＝∠HGC，
∴△AFH≌△CHG（AAS），
∴AF＝CH．
∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，
∴BE＝FH，
∴五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+FH+DF
＝BD+CE+AF+BE+DF
＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），
＝AB+BC．
∴只需知道△ABC的周长即可．
故选：A．
【解题指导】通过设未知数，表示所求几何图形的周长或面积，结合提给条件，快速得到结论。
【牛刀小试】
1、如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙，无重叠的四边形
EFGH,设AB=a,BC=b,若AH=1,则()
A.?a2=4b?4 B.?a2=4b+4 C.?a=2b?1 D.?a=2b+1
如图，⊙O与矩形ABCD相切，切点分别为E、F、G，边BC与⊙O交于M、N两点。下列五组条件中，能求出⊙O半径的有（ ）
①已知AB、MN的长；②已知AB，BM的长；③已知AB，BN的长；④已知BE，BN的长，④已知BM，BN的长。
A.?2组 B.?3组 C.?4组 D.?5组
3、如图，四张大小不一的正方形纸片分别放置于长方形的四个角落，其中，①和②纸片既不重叠也无空隙，在长方形ABCD的周长已知的情况下，知道下列哪个正方形的边长，就可以求得阴影部分的周长（ ）
A.?① B.?② C.?③ D.?④
4．如图，已知大矩形ABCD由①②③④四个小矩形组成，其中AE＝CG，则只需要知道其中一个小矩形的面积就可以求出图中阴影部分的面积，这个小矩形是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】
由矩形的性质得出AB=CD，FP=CG，则BE=DG，求出阴影部分的面积=△BFD的面积-△BFP的面积=falseBF×BE=false矩形②面积，即可得出答案．
【详解】
解：如图所示：
∵四边形ABCD和四边形③是矩形，
∴AB＝CD，FP＝CG，
∵AE＝CG，
∴BE＝DG，
∴阴影部分的面积＝△BFD的面积﹣△BFP的面积
＝falseBF×CD﹣falseBF×FP＝falseBF×（CD﹣CG）＝falseBF×DG＝falseBF×BE＝false矩形②面积，
故选：B．
5．如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形．若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为（ ）
①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】A
【解析】试题分析：如图，
，
∵长方形被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形，∴A的对应点是A′，B的对应点是B′，∴AB=A′B′，∵①的长和②的边长的和等于原长方形的长，①的宽和②的边长的和等于原长方形的宽，∴①②的周长和等于原长方形的周长，∴分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为①②，其余的图形的周长不用测量无法判断．故选A．

6．如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（　　）
A．4S1 B．4S2 C．4S2+S3 D．3S1+4S3
【答案】A
【详解】
设等腰直角三角形的直角边长为a，中间小正方形的边长为b，则另两个直角三角形的边长分别为a-b，a+b，
∴false，false，false，
平行四边形的面积=2S1+2S2+S3false，
故答案选A.
7．如图，梯形ABCD被分割成两个小梯形①②，和一个小正方形③，去掉③后，①和②可剪拼成一个新的梯形，若EF﹣AD＝2，BC﹣EF＝1，则AB的长是（ ）
A．6 B．3false C．9 D．3false
【答案】C
【分析】
连接AH交EF于点K，根据EF﹣AD＝2，BC﹣EF＝1，可得BC﹣AD＝3，由图象剪拼观察可得，AD＝HC，四边形AHCD是平行四边形，再证明△AEK∽△ABH，可得AB的长．
【详解】
解：如图，
2514600268605连接AH交EF于点K，
∵EF﹣AD＝2，BC﹣EF＝1，
∴BC﹣AD＝3，
由图象剪拼观察可知：
AD＝HC，
∴四边形AHCD是平行四边形，
∴BC﹣AD＝BC﹣HC＝3，
KF＝AD，EK＝2，
∵③为正方形，
∴EB＝BH＝3，
∵EK∥BH，
∵△AEK∽△ABH，
∴false，
即false，
解得AB＝9．
故选：C．
8．用线段EG，FH将正方形ABCD按如图1所示的方式分割成4个全等的四边形，且AE=BF=CG=DH，tan∠HFC=2，再将这四个四边形按如图2所示的方式拼成一个大正方形IJKL，若设正方形ABCD的面积为S1，正方形IJKL的面积为S2．小四边形MNPQ的面积为8，则 false 的值为（ ）
A．false B．false C．false D．false
【答案】C
【分析】过点H作HH1⊥BC于点H1，设AE=BF=CG=DH=a，AB=CD=BC=AD=b，用含a，b的代数式表示出FH1，H1H，利用解直角三角形求出b=4a，可得到S1；再利用SAS证明△AEH≌△DHG，利用全等三角形的性质，可得到EH=HG，∠AHE=∠DGH，就可推出△EHG是等腰直角三角形，利用解直角三角形可得到EG=falseEH，然后由勾股定理就可求出正方形IJKL的边长，利用正方形的面积公式求出S2，然后求出两正方形的面积的比值.
295275059055【详解】
过点H作HH1⊥BC于点H1，
设AE=BF=CG=DH=a，AB=CD=BC=AD=b，??
∴FH1=b-2a，H1H=CD=b，
在Rt△H1HF中，
false，
∴b=4a，
∴S1=16a2；
∵AH=DG，∠A=∠D=90°，AE=HD，
∴△AEH≌△DHG（SAS），
∴EH=HG，∠AHE=∠DGH，
∵∠DHG+∠DGH=90°=∠DHG+∠AHE，
∴∠EHG=90°，
∴△EHG是等腰直角三角形，
EG=falseEH，
在Rt△AEH中，AH=AD-DH=4a-a=3a，
false，
∴正方形IJKL的边长为EG=false.
∴S2=false，
∴false.
故选：C.
9．如图，记图①中阴影部分面积为false，图②中阴影部分面积为false，设false，则（ ）
图① 图②
A．false B．false C．false D．false
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据图象用含a、b的代数式表示出k，然后结合a＞b＞0可求出k的取值范围．
【详解】
解：由图可得，false，
∵a＞b＞0，
∴false，
故选B．
10．一个大平行四边形按如图方式分割成九个小平行四边形且只有标号为①和②的两个小平行四边形为菱形，在满足条件的所有分割中，若知道九个小平行四边形中n个小平行四边形的周长，就一定能算出这个大平行四边形的长，则n的最小值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】
设菱形①的边长为a，菱形②的周长为b，平行四边形③的周长为c．由题意易知大平行四边形的周长＝a+b+c，由此即可判断．
【详解】
如图所示：
设菱形①的边长为a，菱形②的周长为b，平行四边形③的周长为c．
由题意易知大平行四边形的周长＝a+b+c，
∴知道九个小平行四边形中小平行四边形①②③的周长，就一定能算出这个大平行四边形的周长，
∴n的最小值为3．
故选B．
9．如图，4张如图1的长为a，宽为b（a＞b）长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，若S2＝2S1，则a，b满足（　　）
A．a＝false B．a＝2b C．a＝falseb D．a＝3b
【答案】B
【分析】
从图形可知空白部分的面积为S2是中间边长为（a﹣b）的正方形面积与上下两个直角边为（a+b）和b的直角三角形的面积，再与左右两个直角边为a和b的直角三角形面积的总和，阴影部分的面积为S1是大正方形面积与空白部分面积之差，再由S2＝2S1，便可得解．
【详解】
由图形可知，
S2=（a-b）2+b（a+b）+ab=a2+2b2，
S1=（a+b）2-S2=2ab-b2，
∵S2＝2S1，
∴a2+2b2＝2（2ab﹣b2），
∴a2﹣4ab+4b2＝0，
即（a﹣2b）2＝0，
∴a＝2b，
故选B．
11．如图①，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若直角三角形一个锐角为30°，将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”设AB＝a，则图中阴影部分面积为_____(用含a的代数式表示)
【答案】(2false)a2
【分析】
设AC＝x，则BC＝AD＝a+x，利用30°的正切得到xfalse，即ACfalse，得到阴影部分面积为4falseAC2＝4false)2＝(2false)a2
【详解】
3124200264795解：如图，
设AC＝x，则BC＝AD＝a+x，
∵∠ADC＝30°，
∴ADfalseAC，
∴a+xfalsex，
∴xfalse，
∴ACfalse，
∴图中阴影部分面积＝4falseAC2＝4false)2＝(2false)a2．
故答案为(2false)a2．