浙江省宁波市2021届中考数学高频题型二（与圆有关的切线问题）（Word版 含答案）

1024890010477500浙江省宁波市中考数学高频题型（二）
与圆有关的切线问题
【中考真题】
1.（2018·浙江宁波·17）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为______．
165101295402.（2019·浙江宁波·17）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，点D在边BC上，CD=5，BD=13.点P是线段AD上一动点，当半径为6的圆P与△ABC的一边相切时，AP的长为 ▲ .
3.（2020·浙江宁波·15）如图，⊙O的半径OA＝2，B是⊙O上的动点（不与点A重合），过点B作⊙O的切线BC，BC＝OA，连结OC，AC．当△OAC是直角三角形时，其斜边长为　 　．
【解题指导】
①2018-2020年宁波数学中考真题中，切线的问题的考察是在圆的背景下，结合三角形或四边形的性质，题目位置靠近压轴题，属于较难题，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题；
②当题目中出现“相切”、“切线”、“切点”等包含“切”字的条件时，首先去连接圆心与切点，得到“垂直”（有切点直接连，无切点作垂直），有时需结合切线长定理。
【牛刀小试】
1．如图，⊙O内切于正方形ABCD，边AD、CD分别与⊙O切于点E、F，点M、N分别在线段DE、DF上，且MN与⊙O相切，若△MBN的面积为8，则⊙O的半径为（　　）
A． B．2 C． D．2
2．如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG．点F，G分别在边AD，BC上，连结OG，DG．若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论不成立的是（　　）
A．CD+DF＝4 B．CD﹣DF＝2﹣3 C．BC+AB＝2+4 D．BC﹣AB＝2
3．我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：false与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB＝30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
4．（2020?余姚市模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是对角线AC上的动点，以点P为圆心，PC长为半径作⊙P．当⊙P与矩形ABCD的边相切时，CP的长为　 ．
5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BA=6，P为AB上一动点，以P为圆心，2为半径画⊙P．点P从点A运动到点B，运动速度为1个单位长度/秒，设运动时间为t秒，则在运动过程中，⊙P与△ABC的边相切时的最短时间t的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6-false
6.如图，射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．动点P从Q出发，沿射线QN以每秒1cm?的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，falsecm为半径与△ABC的边相切（切点在边上），则t（单位：秒）可以取的一切值为（　　）
A．t=2 B．3≤t≤7 C．t=8 D．t=2或3≤t≤7或t=8
7.如图，已知⊙O的半径为6cm，射线PM经过点O，OP=10cm，射线PN与⊙O相切于点Q，A，B两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动．设运动时间为t（s）．当直线AB与⊙O相切时，t（s）的值是（　　）
A．0.5 B．3.5 C．0.5或2.5 D．0.5或3.5
8.如图，false中，false，false，false，点false从点false开始以每秒1个单位的速度沿false向点false运动，同时点false从点false开始以每秒2个单位的速度沿false向点false运动，过点false作直线false交false于点false，当运动　　秒时，直线false与以点false为圆心，false为半径的圆相切．
9.如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=6，AD=10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．
（1）如图2，当⊙P与边CD相切于点F时，求AP的长；
（2）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围　 　．
1024890010477500浙江省宁波市中考数学高频题型（二）
与圆有关的切线问题
【中考真题】
1.（2018·浙江宁波·17）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为______．
16510129540
分析：分两种情形分别求
如图1中，当⊙P与直线CD相切时；如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形；
解答：
如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC=PM=x.
在Rt△PBM中,∵PM2=BM2+PB2，
∴x2=42+(8?x)2，∴x=5，
∴PC=5，BP=BC?PC=8?5=3.
如图2中当⊙P与直线AD相切时。设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形。
∴PM=PK=CD=2BM，
∴BM=4，PM=8，
在Rt△PBM中,PBfalse.
综上所述,BP的长为3或false.
70485083820237172593345
2.（2019·浙江宁波·17）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，点D在边BC上，CD=5，BD=13.点P是线段AD上一动点，当半径为6的圆P与△ABC的一边相切时，AP的长为 ▲ .
【解答】解：在Rt△ACD中，∠C=90°，AC=12,CD=5, ∴AD=13；
在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=12,BC=CD+DB=18, ∴AB=6 ；
过点D作DM⊥AB于点M，∵AD=BD=13, ∴AM= ;
在Rt△ADM中，∵AD=13,AM= ?, ∴DM= ?；
∵当点P运动到点D时，点P到AC的距离最大为CD=5＜6，
∴半径为6的⊙P不可能与AC相切；
当半径为6的⊙P与BC相切时，设切点为E，连接PE，
∴PE⊥BC,且PE=6，
29146509525∵PE⊥BC，AC⊥BC,
?∴PE∥AC,
∴△ACD∽△PED，
∴PE∶AC=PD∶AD,
即6∶12=PD∶13,
∴PD=6.5,
∴AP=AD-PD=6.5;
当半径为6的⊙P与BA相切时，设切点为F，连接PF，
∴PF⊥AB,且PF=6，
∵PF⊥BA，DM⊥AB,
∴DM∥PF,
∴△APF∽△ADM，
∴AP∶AD=PF∶DM即AP∶13=6∶ ,
∴AP= ,
综上所述即可得出AP的长度为： false或false
3.（2020·浙江宁波·15）如图，⊙O的半径OA＝2，B是⊙O上的动点（不与点A重合），过点B作⊙O的切线BC，BC＝OA，连结OC，AC．当△OAC是直角三角形时，其斜边长为　 　．
【详解】解：连接OB，
∵BC是⊙O的切线，
338137532385∴∠OBC＝90°，
∵BC＝OA，
∴OB＝BC＝2，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠BCO＝45°，
∴∠ACO≤45°，
当∠AOC＝90°，△OAC直角三角形时，
3267075169545∴OC＝falseOB＝2false，
∴AC＝false＝false＝2false；
当∠OAC＝90°，四边形OACB是正方形，
OC=2false；
故答案为：2false或2false．
【解题指导】
①2018-2020年宁波数学中考真题中，切线的问题的考察是在圆的背景下，结合三角形或四边形的性质，题目位置靠近压轴题，属于较难题，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题；
②当题目中出现“相切”、“切线”、“切点”等包含“切”字的条件时，首先去连接圆心与切点，得到“垂直”（有切点直接连，无切点作垂直），有时需结合切线长定理。
【牛刀小试】
1．如图，⊙O内切于正方形ABCD，边AD、CD分别与⊙O切于点E、F，点M、N分别在线段DE、DF上，且MN与⊙O相切，若△MBN的面积为8，则⊙O的半径为（　　）
A． B．2 C． D．2
解答：
设⊙O与MN相切于点K，设正方形的边长为2a.
∵AD、CD、MN是切线，
∴AE=DE=DF=CF=a，MK=ME，NK=NF，设MK=ME=x，NK=NF=y，
3924300180975在Rt△DMN中，∵MN=x+y，DN=a?y，DM=a?x，
∴(x+y)2=(a?y)2+(a?x)2，
∴ax+ay+xy=a2，
∵S△BMN=S正方形ABCD?S△ABE?S△DMN?S△BCN=8，
∴4a2?false×2a×(a+x)?false(a?x)(a?y)?false×2a×(a+y)=8，
∴falsea2?false(ax+ay+xy)=8，
∴a2=8，
∴a=false，
∴AB=2a=false，
∴⊙O的半径为false，
故选：B.
2．如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG．点F，G分别在边AD，BC上，连结OG，DG．若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论不成立的是（　　）
A．CD+DF＝4 B．CD﹣DF＝2﹣3 C．BC+AB＝2+4 D．BC﹣AB＝2
解答：
答案：A.
如图，设⊙O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N.
∵将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，
∴OG=DG.
∵OG⊥DG，
∴∠MGO+∠DGC=90°.
∵⊙O与BC的切点为M，
∴OM⊥BC，
∴∠MOG+∠MGO=90°，
∴∠MOG=∠DGC.
∵在△OMG和△GCD中，∠OMG=∠GCD=90°，∠MOG=∠CGD，OG=DG，
∴△OMG≌△GCD，
∴OM=GC=1，CD=GM=BC-BM-GC=BC-2.
∵AB=CD，
∴BC-AB=2，故D正确.
设AB=a，BC=b，AC=c，⊙O的半径为r，⊙O是Rt△ABC的内切圆，则r=false(a+b-c)，
∴c=a+b-2.
在Rt△ABC中，由勾股定理可得a2+b2=(a+b-2)2，整理得2ab-4a-4b+4=0.
由于BC-AB=2，即b=2+a，将其代入上式可得2a(2+a)-4a-4(2+a)+4=0，
解得a1=1+false，a2=1-false（舍去），
∴a=1+false，b=3+false，
∴BC+AB=4+2false，故C正确.
再设DF=x.
∵在Rt△ONF中，FN=3+false-1-x，OF=x，ON=1+false-1=false，
∴(2+false-x)2+(false)2=x2，
解得x=4-false，
∴CD-DF=false+1-(4-false)=2false-3，CD+DF=false+1+4-false=5，故B正确，A错误.
故选A.
3．我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：false与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB＝30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
解答：∵直线l:false与x轴、y轴分别交于A.?B，
3657600111760∴B(0,false)，∴OB=false，
在RT△AOB中,∠OAB=30?，
∴OA=falseOBfalse×4false=12，
∵P与l相切，设切点为M，连接PM，则PM⊥AB，
∴PM=12PA，
设P(x,0)，
∴PA=12?x，
∴P的半径PM=12PA=6?12x，
∵x为整数，PM为整数，
∴x可以取0，2，4，6，8，10，6个数，
∴使得P成为整圆的点P个数是6.
故选：A.
4．（2020?余姚市模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是对角线AC上的动点，以点P为圆心，PC长为半径作⊙P．当⊙P与矩形ABCD的边相切时，CP的长为　 ．
解答：
作PE⊥AD于E,PF⊥AB于F,
在Rt△ABC中,AC=false，
由题意可知，⊙P只能与矩形ABCD的边AD、AB相切，
当⊙P与AD相切时，PE=PC，
3178810205105∵PE⊥AD，CD⊥AD，
∴PE∥CD，
∴△APE∽△ACD，
∴false,即false，
解得,CP=false，
当⊙P与AB相切时，PF=PC，
∵PF⊥AB，CB⊥AB，
∴PF∥BC，
∴△APE∽△ACD，
∴false,即false，
解得,CP=false，
综上所述,当⊙P与矩形ABCD的边相切时,CP的长158或209，
故答案为：false或false.
5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BA=6，P为AB上一动点，以P为圆心，2为半径画⊙P．点P从点A运动到点B，运动速度为1个单位长度/秒，设运动时间为t秒，则在运动过程中，⊙P与△ABC的边相切时的最短时间t的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6-false
解答：
3181350359410①当⊙P与AC相切时，如图1所示：
设切点为D，连接PD，
则PD⊥AC，PD=2，
∵∠A=30?，
∴PA=2OD=4，
∴t=4；
②当⊙P与BC相切时,如图2所示：
设切点为E，连接PE，
则PE⊥BC，PE=2，
∵∠A=30?，
∴PE=falseBE，PB=2BE，
3376295285115∴PB=false，
∴AP=AB?PB=6?false，
∴t=6?false；
∵4>6?false，
∴⊙P与△ABC的边相切时的最短时间t的值为6?false；
故选：D.
6.如图，射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．动点P从Q出发，沿射线QN以每秒1cm?的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，falsecm为半径与△ABC的边相切（切点在边上），则t（单位：秒）可以取的一切值为（　　）
A．t=2 B．3≤t≤7 C．t=8 D．t=2或3≤t≤7或t=8
解答：
Q以每秒2cm的速度向左移动，△ABC也沿射线PN以每秒1cm的速度向左移动，
相当于△ABC静止，Q以每秒1cm的速度向左移动，
3143250146050①当Q与AC相切时,因为半径为false，所以QF=2，
则PQ=2，即t=2，
②作CD⊥PN，BH⊥PN，
∵BE=2，
∴BH=false，HE=1，
同理CD=false，DF=1，
∴当Q在由D到H的过程中与BC相切，此时3?t?7，
③当Q与AB相切时,因为半径为false，所以GE=2，即t=8，
综上所述，t=2或3?t?7或t=8.
故选：D.
7.如图，已知⊙O的半径为6cm，射线PM经过点O，OP=10cm，射线PN与⊙O相切于点Q，A，B两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动．设运动时间为t（s）．当直线AB与⊙O相切时，t（s）的值是（　　）
A．0.5 B．3.5 C．0.5或2.5 D．0.5或3.5
解答：
连接OQ，
3481705107950∵PN与⊙O相切于点Q，
∴OQ⊥PN,
即∠OQP=90?，
∵OP=10，OQ=6，
∴PQ=8(cm)，
过点O作OC⊥AB，垂足为C，
∵点A的运动速度为5cm/s，点B的运动速度为4cm/s，运动时间为ts，
∴PA=5t，PB=4t，
∵PO=10，PQ=8，
367919056515∴false，
∵∠P=∠P，
∴△PAB∽△POQ,
∴∠PBA=∠PQO=90?，
∵∠BQO=∠CBQ=∠OCB=90?，
∴四边形OCBQ为矩形。
∴BQ=OC.
∵⊙O的半径为6，
∴BQ=OC=6时，直线AB与⊙O相切。
①当AB运动到如图1所示的位置，
BQ=PQ?PB=8?4t，
∵BQ=6，
∴8?4t=6，
∴t=0.5(s).
②当AB运动到如图2所示的位置，
BQ=PB?PQ=4t?8，
∵BQ=6，
∴4t?8=6，
∴t=3.5(s).
∴当t为0.5s或3.5s时直线AB与⊙O相切。
故选D.
8.如图，false中，false，false，false，点false从点false开始以每秒1个单位的速度沿false向点false运动，同时点false从点false开始以每秒2个单位的速度沿false向点false运动，过点false作直线false交false于点false，当运动　　秒时，直线false与以点false为圆心，false为半径的圆相切．
解答：
如图，作BM⊥AC于M，设直线EF与⊙D相切于点N，连接DN.
∵S△ABC=falseAC·BM=false
3648075110490∴BM=false，
∵FE∥AC，
∴∠DEN=∠C，∵∠DNE=∠BMC，
∴△DNE∽△BMC，
∴false，
∴false，
∴DE=false，
∵BC=BD+DE+EC，
∴5=x+false+2x，
∴x=false
故答案为false.
9.如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=6，AD=10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．
（1）如图2，当⊙P与边CD相切于点F时，求AP的长；
（2）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围　 　．
解答：
(1)∵平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，
∴BC=AD=10，
∵AB⊥AC，
∴在Rt△ABC中,由勾股定理得：AC=8，
故答案为：8；
(2)如图2所示,连接PF,
3167380184150设AP=x，则DP=10?x，PF=x，
∵⊙P与边CD相切于点F，
∴PF⊥CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵AB⊥AC，
∴AC⊥CD，
∴AC∥PF,
∴△DPF∽△DAC，
∴PFAC=PDAD，
∴false，
∴x=false，
即AP=false；
(3)当⊙P与BC相切时,设切点为G,如图3,
S?ABCD=false×6×8×2=10PG，
∴PG=false，
①当⊙P与边AD、CD分别有两个公共点时,false②⊙P过点A. C.?D三点，如图4，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，此时AP=5，
综上所述,AP的值的取值范围是：false故答案为：false3190875207010120015203200