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第
6课时
3.4
实际问题与一元一次方程
学习目的：1.
会分析亏盈问题中的数量关系，并能正确列出方程；
2．体念数学与生活的密切关系，提高学数学的意识和数学建模能力。
学习重点：如何找相等关系，并列出方程解应用题，如亏盈、增长率等问题。
学习难点：设未知数找量等关系.
一、自主学习：
1．商品经济中的盈利与亏损.
（1）
利润＝________
－
_________；
（2）
当_______＞________时，盈利，当________＜________时，亏本；
（3）
商品利润率＝__________／__________×100％；
2．一家商店将某种服装按成本价提高40％后标价，又以8折（即按标价的80％）优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本是多少元？
提示：每件商品的利润是商品售价与商品成本价的差，如果设每件商品的成本价为x元，那么每件服装的标价是__________
元，每件服装的实际售价为_____________元，每件服装的利润可表示为______________________
，则列方程：_____________________________
.
解这个方程，
得
x＝_____
.
因此，这种服装每件的成本价是______元。
3．牛刀小试：
（1）一件羊毛衫的进价为150元，销售价为180元，则该商品的销售利润为________元，利润率是_______。
（2）某人以八折的优惠价买一套服装省了25元，则这套服装实际用了（
）元。
（A）
31.25
(B)
60
(C)
125
(D)
100
二、合作探究：
设盈利的那件衣服的进价为x元，则它的利润是________元，根据售价、进价、利润三者的关系，列方程为：___________________________
，解之得：
x＝_____
.
类似地，可设另一件衣服的进价为y元，则它的商品利润是___________元，列出方程是：_____________________________
，解得：y＝_______
.
两件衣服的进价是x＋y＝_______
元，而两件衣服的总售价是________
元，于是，进价______售价（填＜、＞、＝），由此可知，卖出这两件衣服总的盈亏情况是__________
.
注意：解这类问题也可用下面的关系式：
进价×（1＋盈利率）＝售价
；
（2）进价×（1－亏损率）＝售价.
（3）
进价×（1＋利润率）＝标价×
.
（其中n为打折数）
2．做一做：
（1）一件衣服标价是132元，若以九折降价出售，仍可获利10％，这件衣服的进价是多少元？
（2）某商店有两个进价不同的篮球都买84元，其中一个盈利20％，另一个亏本20％，在这次买卖中，这家商店盈亏如何？
（3）某种风扇因季节原因准备打折出售，如果按标价的七五折出售将赔30元，如果按标价的九折出售，将赚24元，问这种风扇的标价是多少元？
3．填一填：
（1）一家商店将某件商品按成本价提高50%后，标价为450元，又以8折出售，则售出这件商品可得利润_______元。
（2）一种货物连续两次均以10％的幅度降价后，售价为486元，则降价前的售价是___元。
4．某种商品降价10％后的价格恰好比原来的一半多40元，问该商品的原价是多少元？
三、小组小结：
四、课后作业：
选做题：某商品第二次进货时比第一次进货价格便宜了8％，而售价不变，这时这种商品的利润率由原来的x％增加到（x＋10）％，试求x的值。
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3
.4实际问题与一元一次方程
教学目标：1、理解商品销售中所涉及的进价、原价、售价、利润及利润率等概念；能利用一元一次方程解决商品销售中的一些实际问题。
2、经历运用方程解决销售中的盈亏问题，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。
3、培养学生走向社会，适应社会的能力。
重点：运用方程解决实际问题
难点：如何把实际问题转化为数学问题，列方程解决实际问题
教学过程
一、引入新课
前面我们结合实际问题，讨论了如何分析数量关系，利用相等关系列方程以及如何解方程，可以看出方程是分析和解决问题的一种很有用的数学工具，本节我们将进一步探究如何用一元一次方程解决实际问题。
二、讲授新课
探究1：销售中的盈亏．
某商店的某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
要解决这类问题必须理解并熟记下列式子：
（1）商品利润=商品售价-商品进价
（2）=商品利润率
（3）打x折的售价=原售价×
对探究1提出的问题，你先大体估算盈亏，再通过准确计算检验你的判断．
分析：卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，取决于这两件衣服售价多少，进价多少，若售价大于进价，就盈利，反之就亏损．现已知这两件衣服总售价为60×2=120（元），现在要求出这两件衣服的进价．
这里盈利25%=，亏损25%就是盈利-25%．
本问题中，设盈利25%的那件衣服的进价是x元，它的商品利润就是0.25x元，根据进价+利润=售价，列方程得：
x+0.25x=60
解得
x=48
类似地，可以设另一件衣服的进价为y元，它的利润是-0.25y元；根据相等关系可列方程是y-0.25y=60解得y=80．
两件衣服共进价128元，而两件衣服的售价和为120元，进价大于售价，由此可知卖这两件衣服总的盈亏情况是亏损8元．
三、巩固练习
课本习题3．4第2题．
分析：（1）观察时间和温度的数据表，你能发现温度的变化与相对的时间的变化之间有什么关系吗？
不难发现：时间每增加5分，温度相应也增加15℃，因为温度的变化是均匀的，所以可得时间每增加1分，温度就增加3℃．
从表中知当时时间为20元，温度为70℃，因此，21分时温度为73℃．
（2）设x分时温度为34℃，时间每过1分钟温度增加3℃，那么x分，温度增加3x℃，原来的温度（时间为0）为10℃，相等关系是：原来温度+增加的温度=34。
列方程为：10+3x=34，解得x=8，所以8分时的温度为34℃。
四、课堂小结
本节课我们利用一元一次方程来解决商品销售中的一些实际问题，要解决商品销售的利润率问题类型的应用题，首先要弄清商品利润、商品进价、售价、标价，打折的意义。
五、布置作业
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数学人教版七年级上册
3.4
实际问题与一元一次方程
第1课时
1.理解配套问题、工程问题的背景.
2.分清有关数量关系，能正确找出作为列方程依据的主要等量关系.(重点)
3.掌握用一元一次方程解决实际问题的基本过程.(重点)
1.配套问题：
某车间工人生产螺钉和螺母，一个螺钉要配两个螺母，要使
生产的产品刚好配套，则应生产的螺母数量恰好是螺钉数量
的__倍.
2
2.工程问题：
(1)工作时间、工作效率、工作量之间的关系:
①工作量=_________×_________.
②工作时间=_______÷_________.
③工作效率=_______÷_________.
(2)通常设完成全部工作的总工作量为__,如果一项工作分几个
阶段完成,那么各阶段工作量的和=_________,这是工程问题列
方程的依据.
工作时间
工作效率
工作量
工作效率
工作量
工作时间
1
总工作量
(3)一项工作，甲用a小时完成，若总工作量可看成1，则甲的
工作效率是
.若这项工作乙用b小时完成，则乙的工作效率
是
.
(4)人均工作效率:人均工作效率表示平均每人单位时间完成的
工作量.例如，一项工作由m个人用n小时完成，那么人均工作
效率为
.
a个人b小时完成的工作量=人均工作效率×__×__.
a
b
(打“√”或“×”)
(1)用纸板折无盖的纸盒，则一个盒身与两个盒底配套.(
)
(2)一件工作，某人5小时单独完成，其工作效率为
(
)
(3)一项工程，甲单独做4小时能完成，乙单独做3小时能完
成，则两人合作1小时完成全部工作的
(
)
×
√
×
知识点
1
用一元一次方程解决配套问题
【例1】用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个或制盒底
40个，1个盒身与2个盒底配成1个罐头盒.现有36张白铁皮，用
多少张制盒身，多少张制盒底可以使盒身与盒底正好配套?
【解题探究】1.设x张铁皮制盒身，则_____张铁皮制盒底.
2.用x怎样表示所制盒身、盒底的个数？
提示：由题意可知制盒身25x个，盒底40(36-x)个.
36-x
3.制成的盒身与盒底有什么数量关系？
提示：盒身个数的2倍=盒底的个数.
4.所以可列方程：________________.
5.解方程，得：_____.
6.用___张制盒身，___张制盒底.
2×25x=40(36-x)
x=16
16
20
【总结提升】配套问题的两个未知量及两个等量关系
1.两个未知量：
这类问题有两个未知数，设其中哪个为x都可以，另一个用含x的代数式表示，两种设法所列方程没有繁简或难易的区别.
2.两个等量关系：
例如本题,一个是“制盒身的铁皮张数+制盒底的铁皮张数=36”，此关系用来设未知数.另一个是制成的盒身数与盒底数的倍数关系，这是用来列方程的等量关系.
知识点
2
用一元一次方程解决工程问题
【例2】一本稿件，甲打字员单独打20天可以完成，甲、乙两打字员合打，12天可以完成，现由两人合打7天后，余下部分由乙打，还需多少天完成？
【思路点拨】先求出甲一天的工作效率
甲、乙合作一天
的工作效率
及甲乙合打7天的工作量，再求出乙一天的
工作效率，设乙还需x天完成，用含x的代数式表示乙x天的工
作量，根据“两人合打7天的工作量+乙x天的工作量=1”，列
出方程，求解并作答.
【自主解答】设乙还需x天完成，根据题意，得
解这个方程,得x=12.5.
答：乙还需12.5天完成.
【总结提升】解决工程问题的思路
1.三个基本量：
工程问题中的三个基本量：工作量、工作效率、工作时间，它
们之间的关系是：工作量=工作效率×工作时间.
若把工作量看作1，则工作效率=
2.相等关系：
(1)按工作时间，各时间段的工作量之和=完成的工作量.(2)按
工作者，若一项工作有甲、乙两人参与，则甲的工作量+乙的
工作量=完成的工作量.
题组一：用一元一次方程解决配套问题
1.某土建工程共需动用15台挖运机械，每台机械每小时能挖土3
m3或者运土2
m3，为了使挖土和运土工作同时结束，安排了x台机械运土，这里x应满足的方程是(
)
A.2x=3(15-x)
B.3x=2(15-x)
C.15-2x=3x
D.3x-2x=15
【解析】选A.安排x台机械运土，则安排(15-x)台机械挖土，故共挖土3(15-x)
m3,运土2x
m3,故所列方程为2x=3(15-x).
2.甲队有27人，乙队有19人共同完成一项工作.由于工作时间需提前，现从其他队抽调20人支援，使甲队人数是乙队人数的2倍，应调往甲队_____人，乙队_____人.
【解析】设调往甲队x人，则调往乙队(20-x)人.
根据题意，得：27+x=2(19+20-x)，
解得x=17，所以20-x=20-17=3.
答案:17
3
3.加工某种产品需要两个工序，第一道工序每人每天可完成900件，第二道工序每人每天可完成1
200件.现有7位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、第二道工序所完成的件数相等？
【解析】设应安排x人在第一道工序，
则安排(7-x)人在第二道工序.
根据题意，得：900x=1
200(7-x)，
解得：x=4,所以7-x=3.
答：应安排4人在第一道工序，安排3人在第二道工序.
4.红光服装厂要生产某种型号学生服一批，已知每3米长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用600米长的这种布料生产学生服，应分别用多少布料生产上衣和裤子，才能使上衣和裤子恰好配套？共能生产多少套？
【解析】设用x米布料生产上衣，根据题意得
解得x=360.
600-x=600-360=240,
答：用360米布料生产上衣，用240米布料生产裤子，共能生产
240套.
5.某家具厂生产一种方桌，1立方米的木材可做50个桌面或300条桌腿，现有10立方米的木材，怎样分配生产桌面和桌腿使用的木材，才能使桌面、桌腿刚好配套，共可生产多少张方桌？(一张方桌有1个桌面，4条桌腿)
【解析】设用x立方米的木材做桌面，则用(10-x)立方米的木材做桌腿.
根据题意，得4×50x=300(10-x)，
解得，x=6，所以10-x=4，
可做方桌为50×6=300(张).
答：用6立方米的木材做桌面，4立方米的木材做桌腿，可做300张方桌.
题组二：用一元一次方程解决工程问题
1.加工1
500个零件，甲单独做需要12小时，乙单独做需要
15小时，若两人合做x小时可以完工，依题意可列方程为(
)
【解析】选B.甲每小时加工
个零件，乙每小时加工
零件，故甲、乙合做1小时可加工
个零件，而两
人合做x小时完工,即x小时共加工1
500个零件，所以列方程为
2.某工程由甲、乙两队单独施工分别需要3小时和5小时，若两
队合做这项工程的80%，需______小时.
【解析】设需x小时，则
解得x=1.5.
答案:1.5
3.一项工作，甲独做需18天，乙独做需24天，如果两人合做
8天后，余下的工作再由甲独做x天完成，那么所列方程为
_______.
【解析】按做工的先后时间考虑：两人合做8天，甲做了全部
工作的
乙做了全部工作的
甲做x天做了全部工作的
所以所列方程为
答案:
【一题多解】从整个工作考虑：甲做了(x+8)天，故其完成了
全部工作的
乙做了8天，故其完成了全部工作的
所以所列方程为
4.甲车由A城到B城需4小时，乙车由B城到A城需6小时，若两车
同时出发，相向而行，
小时在中途相遇.
【解析】设x小时后在中途相遇，则
所以
答案：
5.一项工作，由1人做要40小时完成，现计划由2人先做4小
时，剩下的工作要8小时完成，问还需增加几人？(假定每个
人的工作效率都相同)
【解析】设还需增加x人，根据题意，得
解得x=2.
答：还需增加2人.
【想一想错在哪？】某人一天能加工甲种零件50个或加工乙种
零件20个，1个甲零件与2个乙零件配成一套，30天制作最多的
成套产品，若设x天制作甲，则可列方程为
.
提示：两种零件的倍数关系颠倒而出现错误.
谢谢
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