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4
.3.3
余角和补角
教学目标：
1、在具体的现实情境中，认识一个角的余角与补角，掌握余角和补角的性质；了解方位角，能确定具体物体的方位。
2、进一步提高学生的抽象概括能力，发展空间观念和知识运用能力，学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行合理的猜想。
3、体会观察、归纳、推理对数学知识中获取数学猜想和论证的重要作用，初步数学中推理的严谨性和结论的确定性，能在独立思考和小组交流中获益。
重点：认识角的互余、互补关系及其性质，确定方位
难点：通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质
教学过程
一、引入新课
1、提出问题：
（1）在一副三角板中，每块都有一个角是90°，那么其余两个角的和是多少？
（2）已知∠1=36°，∠2=54°，那么∠1+∠2=？
学生活动：独立思考，小组交流，得出结论：都是90°．
2．提出问题．
（1）观察方格如下图中的两个角，你能猜想∠1+∠2等于多少度？
（2）如果∠1=144°，∠2=36°，那么∠1+∠2=？
学生活动：观察思考，小组交流，得出结论：都是180°．
教师活动：操作多媒体，移动∠2，使∠1、∠2顶点和一边重合，引导学生观察∠1，∠2的另一条边，观察到两角的另一条边成一条直线，验证学生的结论．
二、讲授新课
1、余角与补角．
教师活动：指导学生阅读课本有关内容，并讲解余角与补角的定义．
注：讲解余角和补角时，必须向学生说明互余、互补是指两个角的数量关系，即∠1+∠2=90°或∠1+∠2=180°，同时强调∠1是∠2的余角（或补角），那么∠2也是∠1的余角（或补角）．
2、巩固反思．
（1）填空：
①47°18′的余角是______，补角是_______．
②∠α（0°<∠α<90°）的余角是______，∠β（0°<β<180°）的补角是_______．
（2）已知一个角是它补角的3倍，求这个角．
注：这两个例题讲解时，应通过师生互动的方法进行教学，在学生思考后再讲解．
（3）课本练习．
学生活动：独立完成，并由三个学生进行板书，其余同学进行小组交流并进行小组评价．
教师活动：巡视学生完成练习的情况，并给予适当的评价．
3、余角与补角的性质．
（1）提出问题：
观察方格图，下图中∠1与∠3有什么关系？∠1与∠2，∠3与∠4有什么关系？
学生活动：观察图形，小组交流观察的结果：∠1=∠3，∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°．
教师活动：移动图中各角，对学生观察的结果进行验证，进一步提出问题：∠2与∠4有什么关系？
学生活动：观察思考后得出∠2=∠4．
（2）说明理由：
注：教学中，向学生说明，以上从观察图形得出的结论，还应从理论上说明其理由，并讲解课本例1．
例1．如上图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？
教师活动：指导学生分析题意，并写出说理过程，归纳性质．
学生活动：完成课本分析中的问题，并在教师指导下，用自己的语言描述余角、补角的性质．
板书：等角的补角相等．
师生互动：类比补角的性质，得出余角的性质．
板书：等角的余角相等．
三、巩固练习
1、如右图，∠EDC=∠CDF=90°，∠1=∠2．
（1）图中哪些角互为余角？哪些角互为补角？
（2）∠ADC与∠BDC有什么关系？为什么？
（3）∠ADF与∠BDE有什么关系？为什么？
学生活动：独立完成练习，并进行小组交流和自我评价．
教师活动：巡视学生完成练习情况，并进行个别指导，然后进行讲评．
2、认识方位角．
提出问题：课本例2．
如下图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上，同时，在它北偏东40°，南偏西10°，西北（即北偏西45°）方向上分别发现了客轮B、货轮C和海岛D．仿照表示灯塔方位的方法，画出客轮B、货轮C和海岛D方向的射线．
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数学人教版七年级上册
4.3.3
余角和补角
1.掌握余角和补角的定义和性质，并能熟练应用.
2.正确地根据方位角确定方向.
1.互余和互补的概念：
余角：如果两个角的和等于___________，就说这两个角互为
余角(简称互余)，其中一个角是另一个角的_____.
补角：如果两个角的和等于____________，就说这两个角互
为补角(简称互补)，其中一个角是另一个角的_____.
90°(直角)
余角
180°(平角)
补角
2.余角和补角的性质：
如图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，且∠1=∠3，∠2与∠4
有什么关系？
因为∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，
所以∠1+∠2=______，∠3+∠4=______，
所以∠2=__________，∠4=__________，
又因为∠1=∠3，所以____=____.
180°
180°
180°-∠1
180°-∠3
∠2
∠4
【归纳】补角的性质：同角(等角)的补角_____.
余角的性质：同角(等角)的余角_____.
相等
相等
3.方位角：
方位角是以_____、_____方向为基准，描述物体运动方向的角.
正北
正南
(打“√”或“×”)
(1)互余的两角一定相等.(
)
(2)两个小于90°的角一定互余.(
)
(3)若∠1＜90°，则∠1的补角大于90°(
)
(4)相等且互补的两个角分别等于90°.(
)
(5)东南方向在东和南之间的任意一条射线上.(
)
×
×
√
√
×
知识点
1
余角和补角
【例1】如图，A，O，B三点在一条直线上，∠AOC=∠DOE=90°,
(1)图中互余的角有哪些？
(2)相等的角有哪些(小于90°的角)？
【思路点拨】(1)找出图中所有90°的角→找出两角之和等于90°的角→答案
(2)利用余角的性质找相等的角
【自主解答】(1)因为∠AOC=∠DOE=90°,所以∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，∠1+∠4=180°-∠DOE=90°.
又因为∠COB=180°-∠AOC=180°-90°=90°，
所以∠3+∠4=90°.
所以∠1与∠2互余、∠3与∠2互余、∠1与∠4互余、∠3与∠4互余.
(2)由同角的余角相等可得：∠1=∠3，∠2=∠4.
【总结提升】正确理解互余、互补
1.共同点：互余、互补都是反映两个角的数量关系，与角的位置无关，单独的一个角既不能互余也不能互补.
2.不同点：互余的两角之和等于90°，其中任何一角都小于90°；互补的两角之和等于180°，其中的两角不可能都小于90°，也不可能都大于90°.
知识点
2
方位角
【例2】在图中，有A,B,C三个城市，地图被损坏了一部分，使C的具体位置看不清楚了，但知道C在A地的北偏东30°，在B地的南偏东45°，请你帮助确定C的位置.
【解题探究】1.C在A的北偏东30°是绕点A以什么方向为基准，沿什么方向旋转30°.
提示：以正北方向为基准，沿顺时针方向旋转30°.
2.C在B南偏东45°是绕点B以什么方向为基准，沿什么方向旋转45°.
提示：以正南方向为基准，沿逆时针方向旋转45°.
3.点C与以上两个方向线有什么关系？
提示：以上两个方向线的交点就是点C.如图：
【总结提升】应用方位角注意的几点
1.画方位角时，一般以正北或正南方向作角的始边.
2.一定要分清东、南、西、北.
3.书写方位角时，先写北或南，再写偏东或偏西，如“北偏东”不要写成“东偏北”.
4.“东北”方向指正北与正东方向的角平分线，“西北”“东南”“西南”依此类推.
题组一：余角和补角
1.(2012·长沙中考)下列四个角中，最有可能与70°角互补的是(
)
【解析】选D.因为互补的两角之和是180°，所以70°角的补角应大于90°，故选D.
2.下列图形中，∠1和∠2互为余角的是(
)
【解析】选D.选项A中的两角和的度数不能确定，选项B中∠1和∠2互补，选项C中∠1和∠2相等，选项D中∠1和∠2互余.
3.(2011·广州中考)已知∠α=26°,则∠α的补角是____度.
【解析】因为∠α=26°,所以∠α的补角是180°-26°=154°.
答案：154
【变式备选】一个角是35°39′，则它的余角为_______，补角为_______.
【解析】90°-35°39′=54°21′，
180°-35°39′=144°21′.
答案:54°21′ 144°21′
4.∠A与∠B互补，∠B与∠C互补，∠C=80°，则∠A的度数是________.
【解析】因为同角的补角相等，所以∠A=∠C=80°.
答案:80°
5.如图，O是直线AB上的点，OC是∠AOB的平分线，OD是一条射线，
∠AOD的补角是
，余角是_______.
【解析】因为OC是∠AOB的平分线，
所以∠AOC=∠BOC=90°，
则∠AOD的补角是∠BOD，余角是∠COD.
答案:∠BOD ∠COD
6.∠A的余角和它的补角之比是1∶3，求∠A的度数.
【解析】设∠A的度数为x°，则180-x=3(90-x)，
解得x=45.所以∠A的度数是45°.
题组二：方位角
1.在点O北偏西60°的某处有一点A，在点O南偏西20°的某处有一点B，则∠AOB的度数是(
)
A.100°
B.70°
C.180°
D.140°
【解析】选A.如图,∠AOB=180°-20°-60°=100°.
2.从A看B的方向是北偏东21°，那么从B看A的方向是(
)
A.南偏东69°
B.南偏西69°
C.南偏东21°
D.南偏西21°
【解析】选D.如图,可知A点在B点的南偏西21°.
3.如图，点A,B在点O的方向分别是________.
【解析】由图可知点A在点O的北偏东30°，点B在点O的南偏东15°.
答案:北偏东30°，南偏东15°
4.画出射线OA，使射线OA在北偏西45°的方向上.
【解析】如图所示.
5.如图，一只蚂蚁从O点出发，沿东北方向爬行2.5
cm碰到障碍物B后，折向北偏西60°的方向爬行3
cm到C.
(1)画出蚂蚁的爬行路线.
(2)求出∠OBC的度数.
【解析】(1)先以O为顶点，表示正北方向的射线为角的一边，画45°的角，使它的一边OB′落在东与北之间，在射线OB′上取OB等于2.5
cm，同理以B点为顶点，画出BC=3
cm，则OB，BC是蚂蚁所爬行的路线.
如图所示：
(2)由题意知，点O在点B的西南方向，
所以∠DBO=45°，
因为∠CBE=60°，所以∠CBD=30°，
所以∠OBC=∠CBD+∠DBO
=30°+45°=75°.
【想一想错在哪？】如图，O是直线AB
上一点，OC为任意一条射线，OD平分
∠BOC，OE平分∠AOC.
(1)指出图中∠AOD与∠BOE的补角.
(2)试说明∠COD与∠COE具有怎样的数量关系.
提示：(1)本题找补角不全，互补的两个角与位置没有关系，不能只考虑图形中和是平角的两个角互补，还应该考虑和是180°的两个角也互补.(2)补角的性质是等角的补角相等，应用的条件是要考虑已知的两个角是不是相等.
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4．3．3
余角与补角（1）
学习目标：1．在具体情境中了解余角、补角的概念．
2．了解等角的余角与补角的性质，能运用这个性质解决简单的实际问题．
3．学习进行简单的推理，学习有条理的表达．
学习重点：等角的余角与补角的性质．
学习难点：推导“等角的余角与补角的性质”的过程．
一、自主学习：
1．①
如果∠1＝35°，∠2＝55°，那么∠1＋∠2＝_______.
如果∠A＝42°，那么当∠B＝_______时，∠A＋∠B＝90°．
②
三角尺中，有一个角是直角(90°),那么另两个角的和是________度．
③
度量图4.3-13的两个角，∠3＝____，∠4＝____，计算：∠3＋∠4＝_____．
一般地，如果两个角的和等于90°（直角），我们就说这两个角互为余角，称其中的一个角是另一个角的余角．
2．（1）在上面的这些角中，哪两个角是互为余角的？
（2）已知∠A＝72°，那么∠A的余角是______度．
（3）已知∠A的余角是∠A的两倍，你能求出∠A的度数吗？说说你的想法．
3．度量图4.3-14的两个角，∠1＝____，∠2＝____，计算：∠1＋∠2＝_____．
一般地，如果两个角的和等于180°（平角），我们就说这两个角互为补角，称其中一个角是另一个角的补角．
（1）上面的∠1与∠2互为补角吗？
（2）试举出两个互为补角的例子．
（3）①
已知∠A＝72°，则∠A的补角＝______度．
②
如果∠＝62°23′，则∠的余角＝______，则∠的补角＝______．
③
已知∠A的补角是∠A的两倍，你还能求出∠A的度数吗？
④
已知一个角的补角是这个角的余角的3倍，求这个角的度数．
二、当堂检测：练习第1、2、3题．
三、合作探究：
1．如果∠1与∠2互余，∠1与∠3互余，那么∠2与∠3相等吗？为什么？
2．如果∠1与∠2互补，∠1与∠3互补，那么∠2与∠3相等吗？为什么？
3．如果∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，并且∠1＝∠3，那么∠2与∠4相等吗？
4．如果∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，并且∠1＝∠3，那么∠2与∠4相等吗？
5．余角的性质：
补角的性质：
四、学习小结：
4．3．3
余角与补角（2）
学习目标：1．了解用于表现方向的角——方位角的意义．，．
2．初步掌握方位角的判别，体会方位角在生活中的应用．
学习重点：方位角的判别与应用．
学习难点：方位角的判别与应用．
一、自主学习：
1．海上缉私艇发现离它50海里处停着一艘可疑船只（如图），缉私艇要立即赶往检查．
（1）试画出缉私艇的航线．
（2）如果是真在海面上，你能确定船的航向吗？
2．在航行、测绘等日常生活中，我们经常会碰到上述类似的问题，即如何描述一个物体的方位．描述一个物体的方位，通常要用到表示方位的角——方位角．
方位角的表示习惯上以正北、正南方向为基准来描述物体的方向．即用“北偏东多少度”、“北偏西多少度”或者“南偏东多少度”、“南偏西多少度”来表示方向．
如图，（1）射线OA的方向是南偏西40°，或者说点A在点O的南偏西40°方向．
（2）射线OB的方向是北偏东45°，或者说点B在点O的________方向．
注：北偏东45°的方向又称为“东北方向”．所以，我们也可以称点B在点O的________方向．
（3）在图中画出北偏西50°方向射线OC．
3．在第1个问题中，我们规定“上北下南，左西右东”，试确定缉私艇的航向．
二、合作探究：
1．已知点O在点A的南偏东65°方向，那么点A应在点O的______________方向.
2．某同学参观展览馆A后，想去景点B，但他不知道如何走，你能借助右图，告诉他去景点B应朝什么方向，大约走多远吗？
（图中1厘米代表1千米）
3．如图，A、B、C三点分别代表邮局、商店和学校．
邮局和商店分别在学校的北偏西方向，邮局又在商店的北偏东方向．那么，图中A点应该是
,B点应该是
，C点应该是______.
4．考察队从P地出发，沿北偏东60°前进5千米到达A地，再沿东南方向前进到达C地，C恰好在P地的正东方．
（1）用1㎝代表2千米，画出考察队的行进路线图．
（2）量得∠PAC＝________，∠ACP＝_______．（精确到1°）
5．灯塔A在灯塔B的南偏西60°，距离20海里，轮船C在灯塔B的西北方向，距离40海里．用1㎝表示10海里画出示意图，试确定货船C在灯塔A的什么方向，距A多远？
三、学习小结：
四、作业：
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