3.1 函数解析式 同步学案

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函数解析式的求解学案
一．学习目标
函数的三要素即为定义域、值域与解析式，在高中数学的学习过程中，常常会见到求解函数解析式的问题，本节课以典型的例子进行说明，介绍几种函数解析式的求解方法。
二．典例分析与性质总结
方法1：待定系数法求解函数解析式
待定系数法是一种应用范围很广的方法，比如在初中，求一次函数、二次函数解析式；通过设出函数的对应表达式，通过题意中的已知条件，求得待定系数的数值。
待定系数法适用于已知解析式形式的函数类型的情况。
例1：已知是一次函数，满足，求
[方法归纳]
待定系数法求函数解析式
①已知函数的类型(如一次函数、二次函数、多项式函数等)可用待定系数法；
②已知函数的具体解析式，但解析式中含有参数，可用待定系数法。
③要注意待定系数法的本质，即用方程的思想，把参数看做未知数解出来；有几个未知数，就需要几个方程。
方法2：代入法求解函数解析式
求复合函数解析式时，我们常用代入法进行求解，今天我们通过几个例题，深入理解一下此类方法，这种方法比较直观，思路也比较清晰。
例2：已知函数,，求和的解析式。
例3：已知；求的解析式
[方法归纳]
代入法求复合函数解析式，要注意复合的顺序，区别和；
如果有分段函数，要注意分段函数的分段区间与变量取值范围。
方法3：换元法求解函数解析式
换元法是数学中最常见的一种方法，它的应用范围很广。今天我们用它来求函数解析式，要注意什么样的函数适合用换元的方法，同时也要注意换元时参数和自变量的取值范围。
例4：若，求
例5：已知，求的解析式.
[方法归纳]
换元法求函数解析式
已知复合函数的解析式，可用换元法
要注意新元的取值范围，即的值域。
1.已知符合函数解析式求原函数解析式时，可以考虑换元法求解析式。
2.要注意换元以后，参数和自变量的取值范围。要求中间变量的值域。
方法4：配凑法求函数解析式
有些求解析式的问题，可能求解会遇到困难。这时就要抓住题目本身的特点，根据条件，通过“凑”、“配”，让题目条件转化为容易求解的形式。
例6：已知，求的解析式
例7：设函数满足，则的解析式为（
）
[方法归纳]
配凑法求函数解析式
由已知条件
可将改写成关于的表达式，然后以替代，便得的表达式。
①注意观察题目条件，合理配凑，使题目容易求解。
②注意配凑法与换元法的区别与联系，平时做题时要多思考。
方法5：方程组法求函数解析式
求解函数解析式，是研究函数中的一个重要话题。求解解析式的方法也很多，今天我们就来学习方程组法求函数解析式，这种方法很好理解，求解也并不复杂，要特别注意的是使用条件，以及使用过程中关于函数定义域的细节处理。
例8：已知满足，；求
例9：设函数满足，求的解析式。
[方法归纳]
1.明确自变量互为相反数，或互为倒数的式子，可以根据已知条件，考虑用构造出另外一个等式组成方程组通过解方程，求解的解析式。
2.通过函数自身的特点，构造方程组，进而求解。在求解方程组时，方法很多，本质是把无关的项消去，得到的解析式。
3.在转化自变量，以及解方程时，都要注意自变量的取值范围。
方法6：赋值法求函数解析式
赋值法是一种很常用的方法，对于涉及任意量词的题目，要特别注意是否可以通过赋特殊的值，求出函数的解析式。要注意如何选择所赋的值，从而成功得到解析式。
例10：已知函数满足，对任意实数有；求函数的解析式。
例11：已知函数对任意实数有，求函数的解析式。
[方法归纳]
赋值法求函数解析式
若函数的性质是用条件恒等式给出时，可用赋特殊值法求其解析式。
抓住任意性，对自变量合理的取特殊值，分析已知与结论之间的差异进行赋值，从而易于求出函数的表达式，这是求抽象函数解析式的常用方法。
赋什么值要根据题目条件决定，根据所缺少的内容进行赋值。不要死记硬背。
方法7：利用奇偶性求函数解析式
当一个函数是奇函数或偶函数，那么它就具有一些对称性，如果给出了一个区间上的函数解析式，我们就可以通过对称性求另一个区间上的解析式。今天我们通过几个例子，看看这种题目如何进行求解。
例12：设偶函数满足，求在上的解析式。
例13：设是定义在上的奇函数，当时，.求在上的解析式。
[方法归纳]
利用奇偶性求函数解析式，此类问题的一般做法是：
①“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内．
②利用的奇偶性或．
③要利用已知区间的解析式进行代入，从而解出
．
1.利用奇偶性求函数解析式，实际上是利用对称性，求得函数的解析式。
2.从已知区间解析式入手，进行代入，求得未知区间的解析式。
3.所求函数的定义域要完整，不重不漏。
方法8：相关点法求函数解析式
一般地，一个动点在已知函数图象上运动，另一动点和已知动点有某种联系，我们称之为相关点。借助二者之间的联系，求得解析式的过程称为相关点法。这种方法技巧性比较高，但也是比较实用的一种方法。
例14：设函数的图象关于直线对称，若当时，；则当时，(
)
例15：函数的图象与函数的图象关于点对称,求函数的解析式。
[方法归纳]
相关点法求函数解析式
一个动点在已知函数图象上运动,另一动点和已知动点(称之为相关点)有某种联系，可用动点坐标表示相关点坐标,代入已知函数解析式中,求出未知动点满足的函数解析式。
1.要根据题目条件，建立两个动点间的某种联系。
2.注意表示方法，用未知动点，表示已知动点。代入已知解析式，得到所求解析式。
方法9：利用周期性求函数解析式
周期性是函数的一种性质，当我们通过题目的已知条件，能够判断函数是周期函数时，再相关性质，求函数的解析式，就能简单一些了。今天我们就根据实际例子，看看如何利用周期性，求函数的解析式。
例16：设是定义在上的奇函数，且其图象关于直线x=1对称，当时，；当时，求的解析式。
[方法归纳]
利用周期性求函数解析式时，一般采用区间转移的思路，将未知区间上的自变量加（或减）周期的整数倍后，转化到已知区间；进而求出该区间上的函数解析式。
1.根据题目条件，判断、证明函数为周期函数；
2.将未知区间上的自变量加（或减）周期的整数倍后，转化到已知区间；
3.根据题目条件，以及函数性质，确定所求区间上的解析式。
三．变式演练与提高
1.设是一次函数，且，求
2.若，，求：
3.已知，求的解析式。
4.已知，求
5.设对满足的所有实数，函数满足，求的解析式。
6.已知函数对任意实数，有，求函数的解析式。
7.设是偶函数,当时,
,求当时，的表达式。
8.已知函数，当点在的图象上运动时，点在函数的图象上运动，求的解析式
9.设函数的定义域为，且函数的图象关于点成中心对称图形，当时，，求时的的解析式.
四．反思总结
对于函数解析式的推演过程学习中，应注意掌握其基本思路与方法，通过不同的题目类型，选择相应的方法，得到函数解析式；在后期的学习中，应不断总结。
在解题过程中，换元思路在应用时，应注意分析考查新元的取值范围。
五．课后作业
1.已知,若且，则_________.
2.已知，则_______________________________.
3.已知，求．
4.设函数满足，则的解析式为(
)
5.设满足，求
6.已知，求
7.已知函数对任意的实数都有,且,若,试求的表达式.
8.已知：函数与的图象关于点对称，求的解析式．
9.已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数()是奇函数，又知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时，函数取得最小值，最小值为.
(1)证明:；
(2)试求,的解析式；
(3)试求在上的解析式.
六．参考答案
例1：解析：
因为是一次函数，所以可设
所以有
整理得：；可知
所以原函数解析式为：
例2：解析：
将中的都替换为
代入得：
将中的都替换为
代入得：
注意：这两个函数是有区别的，不恒等。所以运算时要注意先后顺序。
例3：解析：
先分别求出、的函数解析式
同理
注意：将替换时，自变量的取值范围也要随之改变
将所求出来的函数，再代入
特别注意函数的分类标准，分为3个区间分别考虑。
所以，；整理得：
例4：解析：
令解得：
将代入原函数则有
所以解析式为
例5：解析：
令：，得
将代入原函数则有
所以所求函数为：
例6：解析：
方法一：换元法
令，则；故而；
所以
方法二：配凑法
将等式右边上下同时除以有：
将用替换，即可得到函数解析式，即
例7：解析：
解：如果用换元法做这个题目
令，用换元法解的时候很困难，运用配凑法；
所以
注意：函数的定义域
因为，当时等号成立；所以函数定义域为
例8：解析：
因为，所以
所以用代替
有
联立求解可得：
整理可得：，
例9：解析：
把用替换，则可得
联立解得：
注意：在运算时要注意的取值范围。
例10：解析：
方法一：
令，得，而，
所以
方法二：
令，得
所以
提示：函数的对应法则与使用什么变量无关
例11：解析：
令得，
整理为
要求解析式还需要的值，通过分析题目条件，再一次赋值：
令得，，故而
所以函数解析式为
例12：解析：
因为求的是上的解析式，所以可以直接设出的范围
即设，则，所以
因为函数是偶函数，所以有：
所以函数在上的解析式为：
例13：解析：
已知的解析式，则根据基本步骤。
可以设，则，所以
根据奇函数的性质：
注意：还要讨论的情况：
因此函数在上的解析式为：
例14：解析：
根据已知，的解析式是二次函数的一部分，则的部分也应该是某个二次函数的一部分，如图：
在图象上做一平行轴的直线，与函数交于两点A、B
则它们关于对称，设
根据中点坐标公式有，；整理得
对于满足，将上式代入解析式，即
当，所以；整理得
例15：解析：
设已知点为，未知点为关于对称
可得
整理为：
将其代入的解析式可得：，所以
例16：解析：
首先通过题目条件，证明函数为周期函数
因为函数关于对称，
函数为奇函数，得
所以有
所以：
所以函数为周期函数，且周期
因为函数在上的解析式已知，所以
由，
可得：
三．变式演练与提升
1.解析：
设，则
所以；解得或
∴或
2.解析：
3.解析：
令：，；
此时：
可以解得
所以，所求函数为：
4.解析：
通过观察，复合函数内层为，则需要在等式右边也凑配出相同的形式
注意取值范围：
对于
转化为
再将替换为，可得：
，要注意自变量的取值范围
注意：配凑法的实质仍是换元（整体换元）
5.解析：
∵；
用代换得；
再用代换得；
联立可解得
6.解析：
令得，
令得，，故而
所以
7.解析：
可以设，则，所以
根据偶函数的性质：
因此函数在上的解析式为：
8.解析：
根据题意，点在未知函数上运动，利用相关点法
设
反解可得：，
将其代入函数的解析式中：
有
整理得：；所以
9.解析：
设已知点为（），未知点为（）关于对称
可得
整理为：
将其代入可得：；
所以当时，
四．课后作业
1.解析：
∵,若，可知.
又
∴
即；故，
解得
∴
2.解析：
；故
3.解析：
令，则，．
，
∴
∴
，
∴
．
4.解析：
因为
所以原函数化为
故而
5.解析：
因为，由函数特点知，
将替换为，则有
联立方程组，可得
6.解析：
记为①
因为，将替换为，可得
②；
再用代换，可得
③；
联立①②③，求解方程组，可得
7.解析：
令，则有
所以
……
故而
累加可得
8.解析：
设为上任一点，且为关于点的对称点．
则
，解得：
∵点在上，
把代入得：．
整理得，
所以
9.解析：
(1)证明:∵是以5为周期的周期函数，∴,
又()是奇函数，∴,
∴.
(2)解:当时，由题意，可设,由
得，解得,
∴.
(3)解：
因为函数()是奇函数，所以
又因为在上是一次函数，设
∵，所以可知
∴当时，
当时，
当时，,∴，
当时，,
∴
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